Soal dan Pembahasan - Kombinasi Linear
Kombinasi Linear adalah vektor yang dapat dibentuk dengan mengalikan skalar pada vektor-vektor lalu menjumlahkan hasilnya. Kombinasi linear ini penting untuk dipelajari, karena dipakai dalam mendefinisikan istilah lain dalam ruang vektor, seperti himpunan bebas linear dan himpunan yang merentang ruang vektor. Kedua hal ini merupakan syarat dari sebuah basis ruang vektor.
Definisi Kombinasi Linear
Mari memulai dengan definisi formal dari kombinasi linear.
Definisi
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $\textbf{w} \in V$. Vektor $\textbf{w}$ disebut kombinasi linear dari $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n \in V$ jika $\textbf{w}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $$\textbf{w}=k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_n\textbf{v}_n$$ untuk suatu skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$. Skalar-skalar ini disebut koefisien dari kombinasi linear.
Berdasarkan definisi di atas, kombinasi linear vektor $\textbf{u}$ adalah $k\textbf{u}$, yaitu kelipatan-kelipatan skalar dari vektor $\textbf{u}$. Himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor dalam $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ disimbolkan sebagai $$\text{span}\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\} \quad \text{atau} \quad \text{span}(S)$$
Jika dikaitkan dengan materi subruang vektor, maka $\text{span}(S)$ merupakan subruang dari $V$. Menariknya, $\text{span}(S)$ merupakan subruang minimal yang memuat vektor-vektor dalam $S$. Dengan kata lain, semua subruang yang memuat vektor-vektor dalam $S$ pasti memuat $\text{span}(S)$.
Contoh Kombinasi Linear
Pertama, perhatikan ruang vektor $\mathbb{R}^2$ dan $(1,0),(0,1) \in \mathbb{R}^2$. Berdasarkan definisi, kombinasi linear dari $(1,0)$ dan $(0,1)$ adalah vektor-vektor dalam bentuk $$k_1(1,0)+k_2(0,1), \quad k_1\text{ dan }k_2 \text{ skalar}$$
Dengan mengganti nilai $k_1$ dan $k_2$, dapat diperoleh contoh kombinasi linear dari $(1,0)$ dan $(0,1)$. Misalnya untuk $k_1=2$ dan $k_2=3$ kita peroleh vektor $$2(1,0)+3(0,1)=(2,0)+(0,3)=(2,3)$$
Kita telah membahas contoh kombinasi linear pada ruang vektor euclidean. Berikutnya, kita bahas contoh pada ruang vektor lain, misalnya himpunan matriks $2\times 2$ dengan entri-entri real. Perhatikan dua matriks berikut. $$A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad B=\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}$$
Dengan memilih skalar $k_1=2$ dan $k_2=-1$, diperoleh kombinasi linear $$\begin{aligned} 2A+(-1)B &= 2A-B \\[5pt] &= 2\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}2&4\\0&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}2-1&4-0\\0-3&2-1\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}1&4\\-3&1\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Dengan memilih skalar yang berbeda, kita bisa menentukan kombinasi linear lain dari $A$ dan $B$.
Contoh Soal Kombinasi Linear
Periksa apakah $\textbf{w}=(3,-5)$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1=(0,2)$ dan $\textbf{v}_2=(3,1)$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi $\textbf{w}=k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2$, yaitu $$\begin{aligned} (3,-5) &= k_1(0,2)+k_2(3,1) \\ &= (0,2k_1)+(3k_2,k_2) \\ &= (3k_2,2k_1+k_2) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor di $\mathbb{R}^2$, diperoleh $$\begin{aligned} 3k_2 &= 3 \\ 2k_1+k_2 &= -5 \end{aligned}$$
Dari persamaan pertama, diperoleh $k_2=1$. Substitusi pada persamaan kedua, sehingga diperoleh $$2k_1+1=-5 \quad \Longrightarrow \quad k_1=-3$$
Karena persamaan $\textbf{w}=k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2$ mempunyai solusi, maka $\textbf{w}$ adalah kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$ dan $\textbf{v}_2$.
Periksa apakah $\textbf{w}=(-4,5,4)$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1=(2,1,0)$ dan $\textbf{v}_2=(-1,3,2)$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi $\textbf{w}=k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2$, yaitu $$\begin{aligned} (-4,5,4) &= k_1(2,1,0)+k_2(-1,3,2) \\ &= (2k_1,k_1,0)+(-k_2,3k_2,2k_2) \\ &= (2k_1-k_2,k_1+3k_2,2k_2) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor di $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\begin{aligned} 2k_1-k_2 &= -4 \\ k_1+3k_2 &= 5 \\ 2k_2 &= 4 \end{aligned}$$
Dari persamaan ketiga, diperoleh $k_2=2$. Substitusi $k_2=2$ ke persamaan kedua, sehingga $$k_1+3\cdot 2=5 \quad \Longrightarrow \quad k_1=-1$$
Dapat diperiksa bahwa $k_1=-1$ dan $k_2=2$ juga memenuhi persamaan pertama. Dengan demikian, $\textbf{w}$ adalah kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$ dan $\textbf{v}_2$.
Periksa apakah $\textbf{w}=(0,4,5)$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1=(0,-2,2)$ dan $\textbf{v}_2=(1,3,-1)$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi $\textbf{w}=k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2$, yaitu $$\begin{aligned} (0,4,5) &= k_1(0,-2,2)+k_2(1,3,-1) \\ &= (0,-2k_1,2k_1)+(k_2,3k_2,-k_2) \\ &= (k_2,-2k_1+3k_2,2k_1-k_2) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor di $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\begin{aligned} k_2 &= 0 \\ -2k_1+3k_2 &= 4 \\ 2k_1-k_2 &= 5 \end{aligned}$$
Substitusi $k_2=0$ ke persamaan kedua, sehingga $$-2k_1-3 \cdot 0=4 \quad \Longrightarrow \quad k_1=-2$$
Dapat diperiksa bahwa $k_1=-2$ dan $k_2=0$ tidak memenuhi persamaan ketiga. Artinya, sistem persamaan di atas tidak mempunyai solusi. Dengan demikian, $\textbf{w}$ bukan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$ dan $\textbf{v}_2$.
Periksa apakah $\textbf{w}=(1,-2,5)$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1=(1,1,1)$, $\textbf{v}_2=(1,1,2)$, dan $\textbf{v}_3=(2,-1,1)$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $\textbf{w}=k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2+k_3 \textbf{v}_3$, yaitu $$\begin{aligned} (1,-2,5) &= k_1(1,1,1)+k_2(1,1,2)+k_3(2,-1,1) \\ &= (k_1+k_2+2k_3,k_1+k_2-k_3,k_1+2k_2+k_3) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor di $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\begin{aligned} k_1+k_2+2k_3 &= 1 \\ k_1+k_2-k_3 &= -2 \\ k_1+2k_2+k_3 &= 5 \end{aligned}$$
Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix} 1&1&2\\1&1&-1\\1&2&1 \end{bmatrix}$$
Karena $A$ adalah matriks persegi, maka keberadaan solusi dapat dilihat dari nilai determinannya. Perhatikan bahwa $\text{det}(A)=3 \neq 0$, sehingga sistem persamaan di atas mempunyai solusi. Dengan demikian, $\textbf{w}$ adalah kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$, $\textbf{v}_2$, dan $\textbf{v}_3$.
Periksa apakah $\textbf{w}=(2,-2,3)$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1=(1,-3,2)$, $\textbf{v}_2=(2,-4,-1)$, dan $\textbf{v}_3=(1,-5,7)$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $\textbf{w}=k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2+k_3 \textbf{v}_3$, yaitu $$\begin{aligned} (2,-2,3) &= k_1(1,-3,2)+k_2(2,-4,-1)+k_3(1,-5,7) \\ &= (k_1+2k_2+k_3,-3k_1-4k_2-5k_3,2k_1-k_2+7k_3) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor di $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\begin{aligned} k_1+2k_2+k_3 &=2 \\ -3k_1-4k_2-5k_3 &= -2 \\ 2k_1-k_2+7k_3 &= 3 \end{aligned}$$
Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix} 1&2&1\\-3&-4&-5\\2&-1&7 \end{bmatrix}$$
Perhatikan bahwa $\text{det}(A)=0$, sehingga sistem persamaan di atas tidak mempunyai solusi. Dengan demikian, $\textbf{w}$ bukan kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$, $\textbf{v}_2$, dan $\textbf{v}_3$.
Nyatakan $\textbf{w}=(6,11,6)$ sebagai kombinasi linear dari $\textbf{v}_1=(2,1,4)$, $\textbf{v}_2=(1,-1,3)$, dan $\textbf{v}_3=(3,2,5)$.
Misalkan $\textbf{w} = k_1 \textbf{v}_1+k_2 \textbf{v}_2+k_3 \textbf{v}_3$, sehingga $$\begin{aligned} (6,11,6) &= k_1(2,1,4)+k_2(1,-1,3)+k_3(3,2,5) \\ &= (2k_1+k_2+3k_3,k_1-k_2+2k_3,4k_1+3k_2+5k_3) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor di $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\begin{aligned} 2k_1+k_2+3k_3 &= 6 \\ k_1-k_2+2k_3 &= 11 \\ 4k_1+3k_2+5k_3 &= 6 \end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah $$\begin{bmatrix} 2&1&3&6\\1&-1&2&11\\4&3&5&6 \end{bmatrix}$$
dengan bentuk eselon baris tereduksi $$\begin{bmatrix} 1&0&0&4\\0&1&0&-5\\0&0&1&1 \end{bmatrix}$$
Dari matriks di atas, diperoleh $k_1=4$, $k_2=-5$, dan $k_3=1$ sehingga $$\textbf{w} = 4\textbf{v}_1-5\textbf{v}_2+k_3 \textbf{v}_3$$
Periksa apakah $\textbf{q}=7x^2+8x+9$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{p}_1=x^2-x+3$, $\textbf{p}_2=2x^2+x+4$, dan $\textbf{p}_3=3x^2+2x+5$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $\textbf{q}=k_1 \textbf{p}_1+k_2 \textbf{p}_2+k_3 \textbf{p}_3$, yaitu $$\begin{aligned} 7x^2+8x+9 &= k_1(x^2-x+3)+k_2(2x^2+x+4)+k_3(3x^2+2x+5) \\ &= (k_1+2k_2+3k_3)x^2+(-k_1+k_2+2k_3)x+(3k_1+4k_2+5k_3) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh $$\begin{aligned} k_1+2k_2+3k_3 &= 7 \\ -k_1+k_2+2k_3 &= 8 \\ 3k_1+4k_2+5k_3 &= 9 \end{aligned}$$
Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\-1&1&2\\3&4&5 \end{bmatrix}$$
Karena $\text{det}(A)=-2$, maka sistem persamaan tersebut mempunyai solusi. Dengan demikian, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari $\textbf{p}_1$, $\textbf{p}_2$, dan $\textbf{p}_3$.
Nyatakan $\textbf{q}=x^2+4x-3$ sebagai kombinasi linear dari $\textbf{p}_1=x^2-2x+5$, $\textbf{p}_2=2x^2-3x$, dan $\textbf{p}_3=x+3$.
Misalkan $\textbf{q}=k_1 \textbf{p}_1+k_2 \textbf{p}_2+k_3 \textbf{p}_3$, sehingga $$\begin{aligned} x^2+4x-3 &= k_1(x^2-2x+5)+k_2(2x^2-3x)+k_3(x+3) \\ &= (k_1+2k_2)x^2+(-2k_1-3k_2+k_3)x+(5k_1+3k_3) \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh $$\begin{aligned} k_1+2k_2 &= 1 \\ -2k_1-3k_2+k_3 &= 4 \\ 5k_1+3k_3 &= -3 \end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah $$\begin{bmatrix} 1&2&0&1\\-2&-3&1&4\\5&0&3&-3 \end{bmatrix}$$
dengan bentuk eselon baris tereduksi $$\begin{bmatrix} 1&0&0&-3\\0&1&0&2\\0&0&1&4 \end{bmatrix}$$
Dari matriks di atas, diperoleh solusi $k_1=-3$, $k_2=2$, dan $k_3=4$ sehingga $$\textbf{q}=-3\textbf{p}_1+2\textbf{p}_2+4\textbf{p}_3$$
Misalkan $$\begin{aligned} &A=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix} \quad &&B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix} \\[5pt] &C=\begin{bmatrix}1&1\\4&5\end{bmatrix} &&D=\begin{bmatrix}4&7\\7&9\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Periksa apakah $D$ merupakan kombinasi linear dari $A$, $B$, dan $C$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $D=k_1A+k_2B+k_3C$, yaitu $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}4&7\\7&9\end{bmatrix} &= k_1\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}1&1\\4&5\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}k_1+k_2+k_3&k_1+2k_2+k_3\\k_1+3k_2+4k_3&k_1+4k_2+5k_3\end{bmatrix} \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh $$\begin{aligned} k_1+k_2+k_3 &= 4 \\ k_1+2k_2+k_3 &= 7 \\ k_1+3k_2+4k_3 &= 7 \\ k_1+4k_2+5k_3 &= 9 \end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah $$\begin{bmatrix} 1&1&1&4\\1&2&1&7\\1&3&4&7\\1&4&5&9 \end{bmatrix}$$
dengan bentuk eselon baris tereduksi $$\begin{bmatrix} 1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\\0&0&0&0 \end{bmatrix}$$
Dari matriks di atas, diperoleh solusi $k_1=2$, $k_2=3$, dan $k_3=-1$. Dengan demikian, $D$ adalah kombinasi linear dari $A$, $B$, dan $C$.
Misalkan $$\begin{aligned} &A=\begin{bmatrix}1&-1\\2&3\end{bmatrix} \quad &&B=\begin{bmatrix}4&0\\-2&-2\end{bmatrix} \\[5pt] &C=\begin{bmatrix}0&2\\1&4\end{bmatrix} &&D=\begin{bmatrix}1&-5\\0&-5\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Nyatakan $D$ sebagai kombinasi linear dari $A$, $B$, dan $C$.
Misalkan $D=k_1A+k_2B+k_3C$, sehingga $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}1&-5\\0&-5\end{bmatrix} &= k_1\begin{bmatrix}1&-1\\2&3\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}4&0\\-2&-2\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}0&2\\1&4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}k_1+4k_2&-k_1+2k_3\\2k_1-2k_2+k_3&3k_1-2k_2+4k_3\end{bmatrix} \end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh $$\begin{aligned} k_1+4k_2 &= 1 \\ -k_1+2k_3 &= -5 \\ 2k_1-2k_2+k_3 &=0 \\ 3k_1-2k_2+4k_3 &= -5 \end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah $$\begin{bmatrix} 1&4&0&-1\\-1&0&2&-5\\2&-2&1&0\\3&-2&4&-5 \end{bmatrix}$$
dengan bentuk eselon baris tereduksi $$\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&-2\\0&0&0&0 \end{bmatrix}$$
Dari matriks di atas, diperoleh solusi $k_1=1$, $k_2=0$, dan $k_3=-2$ sehingga $$D=A+0B-2C$$
Periksa apakah $\textbf{h}=3$ merupakan kombinasi linear dari $\textbf{f}=\cos^2x$ dan $\textbf{g}=\sin^2x$.
Perlu diperiksa apakah terdapat skalar $a$ dan $b$ yang memenuhi $\textbf{h}=a \textbf{f}+b \textbf{g}$, yaitu $$\begin{aligned} 7 &= a \cdot \cos^2x + b\cdot \sin^2x \\ &= a \cdot \cos^2x + [a+(b-a)]\cdot \sin^2x \\ &= a \cdot \cos^2x + a \cdot \sin^2x +(b-a) \cdot \sin^2x \\ &= a\cdot (\cos^2x+\sin^2x)+(b-a)\cdot \sin^2x \\ &= a \cdot 1+(b-a)\cdot \sin^2x \\ &= a+(b-a)\cdot \sin^2x \end{aligned}$$
Ruas kiri dapat ditulis sebagai $7+0\cdot \sin^2x$, sehingga kedua ruas bernilai sama jika $$a=7 \quad \text{dan} \quad b-a=0$$
Karena $a=7$, maka $$b-7=0 \quad \Longrightarrow \quad b=7$$
Dengan demikian, $\textbf{h}$ adalah kombinasi linear dari $\textbf{f}$ dan $\textbf{g}$, di mana $$\textbf{h}=7 \textbf{f}+7 \textbf{g}$$
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ adalah himpunan vektor dalam $V$. Tunjukkan bahwa $\text{span}(S)$ adalah subruang dari $V$.
Himpunan $V$ memenuhi sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar, sehingga $\text{span}(S)$ merupakan subset dari $V$. Selain itu, $\text{span}(S)$ bukan himpunan kosong, karena memuat $$\textbf{0}=0\textbf{v}_1+0\textbf{v}_2+\ldots+0\textbf{v}_n$$
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{w} \in \text{span}(S)$ dengan $$\begin{aligned} \textbf{u} &= c_1\textbf{v}_1+c_2\textbf{v}_2+\ldots+c_n\textbf{v}_n \\[2pt] \textbf{w} &= d_1\textbf{v}_1+d_2\textbf{v}_2+\ldots+d_n\textbf{v}_n \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+k\textbf{w} &= (c_1\textbf{v}_1+c_2\textbf{v}_2+\ldots+c_n\textbf{v}_n) + k(d_1\textbf{v}_1+d_2\textbf{v}_2+\ldots+d_n\textbf{v}_n) \\ &= (c_1\textbf{v}_1+c_2\textbf{v}_2+\ldots+c_n\textbf{v}_n) + (kd_1\textbf{v}_1+kd_2\textbf{v}_2+\ldots+kd_n\textbf{v}_n) \\ &= (c_1+kd_1)\textbf{v}_1+(c_2+kd_2)\textbf{v}_2+\ldots+(c_n+kd_n)\textbf{v}_n \end{aligned}$$
Karena $\textbf{u}+k\textbf{w}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n$ maka dapat disimpulkan $$\textbf{u}+k\textbf{w} \in \text{span}(S)$$ Dengan demikian, $\text{span}(S)$ adalah subruang dari $V$.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ adalah himpunan vektor dalam $V$. Tunjukkan bahwa $\text{span}(S)$ adalah subruang terkecil dari $V$ yang memuat semua vektor anggota $S$.
Pertama, akan ditunjukkan bahwa $\text{span}(S)$ memuat semua vektor anggota $S$.
Diambil sebarang $\textbf{v}_m \in S$. Dengan memilih $1$ sebagai koefisien $\textbf{v}_m$ dan $0$ sebagai koefisien anggota $S$ lainnya, kita dapat menuliskan $\textbf{v}_m$ sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor anggota $S$, sehingga $\textbf{v}_m \in \text{span}(S)$. Dengan demikian, $\text{span}(S)$ memuat semua vektor anggota $S$.
Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa $\text{span}(S)$ adalah subruang terkecil yang memuat semua vektor anggota $S$. Misalkan $W$ adalah subruang $V$ yang memuat $$\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n$$
Karena $W$ memenuhi sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar, maka untuk sebarang skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ diperoleh $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_n\textbf{v}_n \in W$$
Akibatnya, $W$ memuat semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor anggota $S$. Dengan kata lain, $W$ memuat $\text{span}(S)$. Terbukti.