Soal dan Pembahasan - Persamaan Lingkaran
Lingkaran merupakan himpunan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran, dan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.
Sebagaimana garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan $ax+by=c$, lingkaran juga dapat dinyatakan dalam bentuk serupa yang disebut persamaan lingkaran.
Daftar Isi
Beberapa Teorema Dasar
Setidaknya, ada dua teorema dasar yang perlu diketahui dan akan berguna selama mempelajari materi persamaan lingkaran.
Teorema pertama digunakan untuk menentukan jarak antara dua titik pada bidang koordinat. Sedangkan teorema kedua digunakan untuk menentukan titik tengah dari sebuah segmen garis.
Rumus Jarak Antara Dua Titik
Jarak antara titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Rumus Titik Tengah
Titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah $$\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$$
Persamaan lingkaran dapat diturunkan dari definisi lingkaran, dengan memanfaatkan rumus jarak antara dua titik. Persamaan lingkaran ini dapat dibagi menjadi dua bentuk, yaitu bentuk standar dan bentuk umum.
Bentuk Standar Persamaan Lingkaran
Misalkan $(x,y)$ adalah titik yang terletak pada lingkaran dengan pusat $(h,k)$ dan hari-jari $r$. Berdasarkan definisi, titik $(x,y)$ dan pusat lingkaran $(h,k)$ mempunyai jarak $r$. Dengan rumus jarak antara dua titik, diperoleh $$\begin{aligned} \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2} &= r \\[2pt] (x-h)^2+(y-k)^2 &= r^2 \end{aligned}$$
Jika pusat lingkaran berada pada pusat koordinat $(0,0)$, maka persamaan lingkaran dapat disederhakan menjadi $$x^2+y^2=r^2$$
Bentuk Standar Persamaan Lingkaran
Bentuk standar dari persamaan lingkaran dengan pusat $(h,k)$ dan jari-jari $r$ adalah $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$
Sebagai contoh, persamaan lingkaran dengan pusat $(3,4)$ dan berjari-jari $6$ adalah $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 6^2$.
Sebaliknya, jika diberikan persamaan lingkaran dalam bentuk standar, kita bisa menentukan pusat dan jari-jari lingkarannya. Perhatikan persamaan lingkaran berikut $$(x-2)^2+(y-5)^2 = 16$$
Persamaan ini dapat ditulis sebagai $$(x-\textcolor{green}{2})^2 + (y-\textcolor{blue}{5})^2 = \textcolor{red}{4}^2$$
Pusat lingkaran ditentukan dengan mengamati pengurang dari variabel $x$ dan $y$, sedangkan jari-jari ditentukan dengan mengamati basis bilangan kuadrat pada ruas sebelahnya. Dalam hal ini, lingkaran di atas berpusat di titik $(\textcolor{green}{2},\textcolor{blue}{5})$ dengan jari-jari $\textcolor{red}{5}$.
Jika persamaan lingkaran memuat penjumlahan, maka kita perlu mengubahnya dengan memanfaatkan sifat $m+n = m-(-n)$. Misalnya pada persamaan lingkaran berikut. $$\begin{aligned} (x+3)^2+(y-1)^2 &= 16 \\[2pt] (x-(\textcolor{green}{-3}))^2 + (y-\textcolor{blue}{1})^2 &= \textcolor{red}{4}^2 \end{aligned}$$
Selanjutnya, kita akan membahas bentuk umum dari persamaan lingkaran.
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dari bentuk standar, dengan menentukan hasil ekspansi dari $(x-h)^2$ dan $(y-k)^2$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(h,k)$ dengan jari-jari $r$ adalah $$\begin{aligned} \textcolor{green}{(x-h)^2} + \textcolor{blue}{(y-k)^2} &= r^2 \\[2pt] \textcolor{green}{x^2-2hx+h^2} + \textcolor{blue}{y^2-2ky+k^2} &= r^2 \\[2pt] x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2+k^2-r^2) &= 0 \end{aligned}$$
Persamaan terakhir ini mempunyai bentuk $$x^2 + y^2 + \text{A}x + \text{B}y + \text{C} = 0$$ untuk suatu bilangan real $\text{A}$, $\text{B}$, dan $\text{C}$. Persamaan inilah yang disebut bentuk umum dari persamaan lingkaran.
Sebagai contoh, kita akan menentukan bentuk umum dari persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,3)$ dengan jari-jari $7$. Kita mulai dengan bentuk standar persamaan lingkaran, yaitu $$\begin{aligned} \textcolor{green}{(x-1)^2} + \textcolor{blue}{(y-3)^2} &= 7^2 \\[2pt] \textcolor{green}{x^2-2x+1} + \textcolor{blue}{y^2-6y+9} &= 49 \\[2pt] x^2+y^2-2x-6y+1+9-49 &= 0 \\[2pt] x^2+y^2-2x-6y-39 &= 0 \end{aligned}$$
Sebagai latihan, teman-teman bisa mencoba menentukan bentuk umum dari persamaan lingkaran yang berpusat di $(-4,3)$ dengan jari-jari $6$.
Mengubah Bentuk Umum Menjadi Bentuk Standar
Sebelumnya, kita telah mengubah bentuk standar persamaan lingkaran menjadi bentuk umum. Untuk melakukan hal sebaliknya, kita menggunakan teknik yang disebut Melengkapkan Bentuk Kuadrat.
Sebagai contoh perhatikan persamaan lingkaran dalam bentuk umum berikut. $$x^2+y^2-6x+2y-15 = 0$$
Kita mulai mengelompokkan suku yang memuat variabel $x$ dan $y$ di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan. $$(x^2-6x \qquad) + (y^2+2y \qquad) = 15$$
Berikutnya kita akan melengkapkan bentuk kuadrat, dimulai dari $x^2-6x$. Koefisien $x$ pada ekspresi ini adalah $\textcolor{blue}{-6}$. Tambahkan kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari setengah koefisien $x$, yaitu $$\left( \frac{\textcolor{blue}{-6}}{2} \right)^2 = (-3)^2 = \textcolor{red}{9}$$
Diperoleh $$(x^2-6x+ \textcolor{red}{9}) + (y^2+2y \qquad) = 15+ \textcolor{red}{9}$$
Lakukan hal yang sama $y^2+2y$. Koefisien $y$ pada ekspresi ini adalah $\textcolor{blue}{2}$. Tambahkan kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari setengah koefisien $y$, yaitu $\textcolor{purple}{1}$. Diperoleh $$(x^2-6x+ \textcolor{red}{9}) + (y^2+2y+ \textcolor{purple}{1}) = 15+ \textcolor{red}{9} + \textcolor{purple}{1}$$
Ubah menjadi bentuk kuadrat untuk memperoleh persamaan lingkaran dalam bentuk standar. $$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 5^2$$
Jika belum terbiasa melengkapkan bentuk kuadrat, maka prosedur di atas akan terasa cukup rumit. Karena itu, kita perlu banyak berlatih untuk mengingat prosedurnya.
Contoh Soal Persamaan Lingkaran
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(1,3)$ dengan jari-jari $5$. Tuliskan jawaban anda dalam bentuk umum.
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(\textcolor{green}{1},\textcolor{blue}{3})$ dengan jari-jari $\textcolor{red}{5}$ adalah $$(x-\textcolor{green}{1})^2 + (y-\textcolor{blue}{3})^2 = \textcolor{red}{5}^2$$
Uraikan ruas kiri untuk mengubahnya menjadi bentuk umum. $$\begin{aligned} x^2-2x+1 \;+\; y^2-6y+9 &= 25 \\[2pt] x^2+y^2-2x-6y+1+9-25 &= 0 \\[2pt] x^2+y^2-2x-6y-15 &= 0 \end{aligned}$$
Jadi, bentuk umum dari persamaan lingkaran tersebut adalah $$x^2+y^2-2x-6y-15=0$$
Tentukan bentuk umum dari persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-2,0)$ dengan jari-jari $3$.
Bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(\textcolor{green}{-2},\textcolor{blue}{0})$ dengan jari-jari $\textcolor{red}{3}$ adalah $$\begin{aligned} (x-(\textcolor{green}{-2}))^2 + (y-\textcolor{blue}{0})^2 &= \textcolor{red}{3}^2 \\[2pt] (x+2)^2 + y^2 &= 1 \\[2pt] x^2+4x+4 \;+\; y^2 &= 1 \\[2pt] x^2+y^2+4x+4-1 &= 0 \\[2pt] x^2+y^2+4x+3 &= 0 \end{aligned}$$
Tentukan bentuk umum dari persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(4,1)$ dengan jari-jari $\sqrt{7}$.
Bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(\textcolor{green}{4},\textcolor{blue}{1})$ dengan jari-jari $\textcolor{red}{\sqrt{7}}$ adalah $$\begin{aligned} (x-\textcolor{green}{4})^2 + (y-\textcolor{blue}{1})^2 &= (\textcolor{red}{\sqrt{7}})^2 \\[2pt] x^2-8x+16 \;+\; y^2-2y+1 &= 7 \\[2pt] x^2+y^2-8x-2y+16+1-7 &= 0 \\[2pt] x^2+y^2-8x-2y+10 &= 0 \end{aligned}$$
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(0,0)$ dan melalui titik $(6,8)$. Tuliskan jawaban anda dalam bentuk standar.
Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita perlu titik pusat dan jari-jari lingkaran. Karena jari-jari belum diketahui, maka kita perlu mencarinya terlebih dahulu.
Jari-jari lingkaran tersebut adalah jarak antara titik pusat $(0,0)$ dengan titik $(6,8)$ yang terletak pada lingkaran, yaitu $$\begin{aligned} r &= \sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2} \\[2pt] &= \sqrt{6^2+8^2} \\[2pt] &= \sqrt{36+64} \\[2pt] &= \sqrt{100} \\[2pt] &= 10 \end{aligned}$$
Diperoleh jari-jari $10$. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(0,0)$ dengan jari-jari $10$ adalah $$x^2+y^2=10^2 \quad \Longrightarrow \quad x^2+y^2 = 100$$
Tentukan bentuk standar dari persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(1,3)$ dan melalui titik $(4,-1)$.
Karena jari-jari lingkaran belum diketahui, maka kita perlu mencarinya terlebih dahulu. Jari-jari lingkaran tersebut adalah jarak antara titik pusat $(1,3)$ dengan titik $(4,-1)$ yang terletak pada lingkaran, yaitu $$\begin{aligned} r &= \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} \\[2pt] &= \sqrt{3^2+(-4)^2} \\[2pt] &= \sqrt{9+16} \\[2pt] &= \sqrt{25} \\[2pt] &= 5 \end{aligned}$$
Diperoleh jari-jari $5$. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(1,3)$ dengan jari-jari $5$ adalah $$(x-1)^2+(y-3)^2 = 5^2 = 25$$
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-2,5)$ dan melalui titik $(1,7)$. Tuliskan jawaban anda dalam bentuk umum.
Karena jari-jari lingkaran belum diketahui, maka kita perlu mencarinya terlebih dahulu. Jari-jari lingkaran tersebut adalah jarak antara titik pusat $(-2,5)$ dengan titik $(1,7)$ yang terletak pada lingkaran, yaitu $$\begin{aligned} r &= \sqrt{(1-(-2))^2+(7-5)^2} \\[2pt] &= \sqrt{3^2+2^2} \\[2pt] &= \sqrt{9+4} \\[2pt] &= \sqrt{13} \end{aligned}$$
Diperoleh jari-jari $\sqrt{13}$. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-2,5)$ dengan jari-jari $\sqrt{13}$ adalah $$\begin{aligned} (x-(-2))^2+(y-5)^2 &= (\sqrt{13})^2 \\[2pt] (x+2)^2 + (y-5)^2 &= 13 \end{aligned}$$
Karena yang diminta bentuk umum, maka kita perlu melanjutkan proses di atas. Bentuk umumnya adalah $$\begin{aligned} x^2+4x+4 \;+\; y^2-10y+25 &= 13 \\[2pt] x^2+y^2+4x-10y+4+25-13 &= 0 \\[2pt] x^2+y^2+4x-10y+16 &= 0 \end{aligned}$$
Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter dengan titik ujung $(2,3)$ dan $(-4,11)$. Tuliskan jawaban anda dalam bentuk standar.
Kita perlu menentukan titik pusat dan jari-jarinya terlebih dahulu. Pusat lingkaran merupakan titik tengah dari kedua titik ujung diameter. Berdasarkan rumus titik tengah diperoleh $$\begin{aligned} (h,k) &= \left( \frac{-4+2}{2}, \frac{11+3}{2} \right) \\[2pt] &= \left( \frac{-2}{2}, \frac{14}{2} \right) \\[2pt] &= (-1,7) \end{aligned}$$
Diameter lingkaran adalah jarak antara titik $(2,3)$ dengan $(-4,11)$, yaitu $$\begin{aligned} d &= \sqrt{(-4-2)^2+(11-3)^2} \\[2pt] &= \sqrt{(-6)^2+8^2} \\[2pt] &= \sqrt{36+64} \\[2pt] &= \sqrt{100} \\[2pt] &= 10 \end{aligned}$$
Karena panjang diameternya $10$, maka jari-jarinya adalah $5$. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-1,7)$ dengan jari-jari $5$ adalah $$\begin{aligned} (x-(-1))^2+(y-7)^2 &= 5^2 \\[2pt] (x+1)^2+(y-7)^2 &= 25 \end{aligned}$$
Diketahui persamaan lingkaran dengan bentuk umum $x^2+y^2-10x-2y+10=0$. Ubahlah menjadi bentuk standar.
Kita mulai dengan mengelompokkan suku yang memuat variabel $x$ dan $y$ di ruas kiri, dan konstanta di ruas kanan. $$(x^2-10x \qquad) + (y^2-2y \qquad) = -10$$
Koefisien $x$ dan $y$ secara berturut-turut adalah $-10$ dan $-2$. Karena itu, kita perlu menambahkan kedua ruas dengan $$(-5)^2=25 \quad \text{dan} \quad (-1)^2=1$$
Diperoleh $$\begin{aligned} (x^2-10x+25) + (y^2-2y+1) &= -10+25+1 \\[2pt] (x-5)^2 + (y-1)^2 &= 16 \\[2pt] (x-5)^2 + (y-1)^2 &= 4^2 \end{aligned}$$
Dengan demikian, bentuk standar dari persamaan lingkaran tersebut adalah $$(x-5)^2 + (y-1)^2 = 4^2$$
Diketahui persamaan lingkaran dengan bentuk umum $x^2+y^2-6x+5=0$. Ubahlah menjadi bentuk standar.
Kita mulai dengan mengelompokkan suku yang memuat variabel $x$ dan $y$ di ruas kiri, dan konstanta di ruas kanan. $$(x^2-6x \qquad) + y^2 = -5$$
Suku yang memuat variabel $y$ sudah berbentuk kuadrat, sehingga kita hanya perlu mengubah bentuk $x^2-6x$.
Karena koefisien $x$ adalah $-6$, sehingga kita perlu menambahkan $(-3)^2=9$ pada kedua ruas. Diperoleh $$\begin{aligned} (x^2-6x+9) + y^2 &= -5 + 9 \\[2pt] (x-3)^2 + y^2 &= 4 \\[2pt] (x-3)^2 + y^2 &= 2^2 \end{aligned}$$
Dengan demikian, bentuk standar dari persamaan lingkaran tersebut adalah $$(x-5)^2 + y^2 = 2^2$$
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 25$$
Persamaan lingkaran tersebut dapat dinyatakan sebagai $$(x-(\textcolor{green}{-2}))^2 + (y-\textcolor{blue}{3})^2 = \textcolor{red}{5}^2$$
Jadi, titik pusatnya adalah $(\textcolor{green}{-2},\textcolor{blue}{3})$ dengan jari-jari $\textcolor{red}{5}$.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $$x^2 + (y-1)^2 = 3$$
Persamaan lingkaran tersebut dapat dinyatakan sebagai $$(x-\textcolor{green}{0})^2 + (y-\textcolor{blue}{1})^2 = (\textcolor{red}{\sqrt{3}})^2$$
Jadi, titik pusatnya adalah $(\textcolor{green}{0},\textcolor{blue}{1})$ dengan jari-jari $\textcolor{red}{\sqrt{3}}$.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $$x^2 + y^2 + 4x + 10y + 4= 0$$
Pertama, kita akan mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2 + y^2 + 4x + 10y + 4 &= 0 \\[2pt] (x^2+4x \qquad) + (y^2+10y \qquad) &= -4 \\[2pt] (x^2+4x+4) + (y^2+10y+25) &= -4+4+25 \\[2pt] (x+2)^2 + (y+5)^2 &= 25 \\[2pt] (x-(-2))^2 + (y-(-5))^2 &= 5^2 \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, bisa disimpulkan bahwa titik pusatnya adalah $(-2,-5)$ dengan jari-jari $5$.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $$x^2 + y^2 - 14x + 8y + 53= 0$$
Pertama, kita akan mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2 + y^2 - 14x + 8y + 53 &= 0 \\[2pt] (x^2-14x \qquad) + (y^2+8y \qquad) &= -53 \\[2pt] (x^2-14x+49) + (y^2+8y+16) &= -53+49+16 \\[2pt] (x-7)^2 + (y+4)^2 &= 12 \\[2pt] (x-7)^2 + (y-(-4))^2 &= (\sqrt{12})^2 \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, bisa disimpulkan bahwa titik pusatnya adalah $(7,-4)$ dengan jari-jari $\sqrt{12}$.