Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional dan irasional adalah konsep penting dalam matematika yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari dan berbagai bidang sains. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat $\frac{p}{q}$, dengan $q\neq 0$. Misalnya $0,25$ yang dapat dinyatakan sebagai $\frac{1}{4}$. Sebaliknya, bilangan real yang tidak demikian disebut sebagai bilangan irasional, contohnya adalah $\sqrt{2}$ dan $\pi$.
Dalam artikel ini, kita akan membahas secara mendalam mengenai bilangan rasional dan irasional, mulai dari definisi, teorema yang berkaitan, dan soal latihan yang disertai pembahasan.
Definisi Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan asli merupakan contoh bilangan yang muncul secara alami dalam kehidupan sehari-hari melalui proses mencacah objek utuh, seperti menghitung banyaknya buku di rak atau banyaknya orang yang hadir dalam suatu acara. Di sisi lain, bilangan rasional juga sering muncul dalam kehidupan, misalnya dalam proses pengukuran. Ketika menghitung panjang suatu benda, sering kali hasilnya adalah sebagian dari satuan yang kita gunakan, seperti setengah atau seperempat meter. Bilangan seperti $\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{4}$ ini merupakan contoh bilangan rasional.
Definisi Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$, dengan $p,q\in \mathbb{Z}$ dan $q \neq 0$.
Bilangan irasional juga muncul dalam kehidupan kita sehari-hari, meskipun tidak seintuitif bilangan rasional. Misalnya, dalam sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku $1$, berdasarkan teorema Pythagoras, sisi miring segitiga tersebut memiliki panjang $\sqrt{2}$. Bilangan $\sqrt{2}$ ini merupakan contoh bilangan irasional. Berikut adalah definisi bilangan irasional.
Definisi Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak bisa dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat.
Kita telah melihat bagaimana bilangan irasional $\sqrt{2}$ muncul dalam geometri. Namun, lebih dari itu, kita juga bisa membuktikan bahwa $\sqrt{2}$ benar-benar ada sebagai bilangan real melalui sifat kelengkapan bilangan real. Hal ini akan kita bahas lebih lanjut dalam sebuah contoh soal pada bagian terakhir.
Teorema yang Berkaitan
Berikut adalah beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan rasional dan irasional.
Teorema 1
Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat dalam bentuk paling sederhana, yaitu $p/q$ dengan $q \neq 0$ dan $\text{fpb}(p,q)=1$.
Teorema 2
Jika $x$ dan $y$ bilangan rasional, maka $xy$ juga bilangan rasional. Lebih lanjut, jika $y \neq 0$, maka $x/y$ juga rasional.
Teorema 3
Jika $x$ dan $y$ bilangan rasional, maka $x+y$ dan $x-y$ juga bilangan rasional.
Teorema 4
Jika $p$ adalah bilangan prima, maka $\sqrt{p}$ merupakan bilangan irasional.
Bukti untuk teorema-teorema di atas tidak akan disajikan pada bagian ini, tetapi akan dimasukkan sebagai soal dan pembahasan pada bagian berikutnya.
Soal dan Pembahasan
Buktikan bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat dalam bentuk paling sederhana, yaitu $p/q$ dengan $q \neq 0$ dan $\text{fpb}(p,q)=1$.
Ambil sembarang bilangan rasional $x$, maka $x=\frac{a}{b}$, untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$, dengan $b \neq 0$. Misalkan $\text{fpb}(a,b)=k$, untuk suatu bilangan asli $k$. Asumsikan $k>1$, karena jika $k=1$, diperoleh $\frac{a}{b}$ bentuk paling sederhana dari $x$. Berdasarkan definisi faktor, terdapat bilangan bulat $p$ dan $q$ yang memenuhi $a=kp$ dan $b=kq$.
Akan dibuktikan bahwa $\text{fpb}(p,q)=1$, dengan kata lain $p$ dan $q$ relatif prima, menggunakan kontradiksi. Andaikan $p$ dan $q$ tidak relatif prima, maka terdapat bilangan bulat $l>1$ yang merupakan faktor persekutuan keduanya.
Berdasarkan definisi faktor, terdapat bilangan bulat $m$ dan $n$ sedemikian sehingga $p=lm$ dan $a=ln$. Akibatnya $$\begin{aligned} a &=kp = k(lm) = (kl)m \\[2pt] b &= kq = k(ln) = (kl)n \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa $kl$ merupakan faktor persekutuan dari $a$ dan $b$. Karena $l>1$, diperoleh $kl>k$. Akibatnya, $\text{fpb}(a,b) \neq k$. Kontradiksi. Dengan demikian, $p$ dan $q$ relatif prima, sehingga $x=\frac{p}{q}$ merupakan bentuk paling sederhana dari $x$. Terbukti.
Buktikan bahwa jika $x$ dan $y$ bilangan rasional, maka $xy$ juga bilangan rasional.
Ambil sembarang bilangan rasional $x$ dan $y$. Berdasarkan definisi, terdapat bilangan bulat $p,q,r,s$ dengan $q,s \neq 0$ sehingga $x=\frac{p}{q}$ dan $y=\frac{r}{s}$. Perhatikan bahwa $$xy=\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$$
Karena perkalian bilangan bulat bersifat tertutup, $pr$ dan $qs$ merupakan bilangan bulat. Selain itu, $qs \neq 0$ karena $q,s \neq 0$. Dengan demikian, $xy$ merupakan bilangan rasional. Terbukti.
Buktikan bahwa jika $x$ dan $y$ bilangan rasional dengan $y \neq 0$, maka $x/y$ juga bilangan rasional.
Ambil sembarang bilangan rasional $x$ dan $y$, dengan $y\neq 0$. Berdasarkan definisi, terdapat bilangan bulat $p,q,r,s$ dengan $q,s \neq 0$ sehingga $x=\frac{p}{q}$ dan $y=\frac{r}{s}$. Lebih lanjut, $r\neq 0$ karena $y\neq 0$. Perhatikan bahwa $$\frac{x}{y}=\frac{p/q}{r/s}=\frac{ps}{qr}$$
Karena perkalian bilangan bulat bersifat tertutup, $ps$ dan $qr$ merupakan bilangan bulat. Selain itu, $qr \neq 0$ karena $q,r \neq 0$. Dengan demikian, $x/y$ merupakan bilangan rasional. Terbukti.
Buktikan bahwa jika $x$ dan $y$ bilangan rasional, maka $x+y$ dan $x-y$ juga bilangan rasional.
Ambil sembarang bilangan rasional $x$ dan $y$. Berdasarkan definisi, terdapat bilangan bulat $p,q,r,s$ dengan $q,s \neq 0$ sehingga $x=\frac{p}{q}$ dan $y=\frac{r}{s}$. Perhatikan bahwa $$x+y=\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+qr}{qs}$$
Karena penjumlahan dan perkalian bilangan bulat bersifat tertutup, $ps+qr$ dan $qs$ merupakan bilangan bulat. Selain itu, $qs \neq 0$ karena $q,s \neq 0$. Dengan demikian, $x+y$ merupakan bilangan rasional.
Berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa $x-y$ juga rasional. Karena $-1$ dan $y$ bilangan rasional, maka berdasarkan Teorema 2, $-y=(-1)y$ merupakan bilangan rasional. Perhatikan bahwa $$x-y=x+(-y)$$
Karena $x$ dan $-y$ bilangan rasional, disimpulkan bahwa jumlahnya, yaitu $x-y$ merupakan bilangan rasional. Dengan demikian, terbukti bahwa $x+y$ dan $x-y$ bilangan rasional.
Buktikan bahwa jika $x$ bilangan rasional dan $y$ bilangan irasional, maka $x+y$ bilangan irasional.
Misalkan $x$ bilangan rasional dan $y$ bilangan irasional. Dengan metode kontradiksi, andaikan $x+y$ bilangan rasional. Karena $x$ dan $x+y$ rasional, maka selisihnya juga rasional, yaitu $$(x+y)-x=y$$
Kontradiksi dengan $y$ bilangan irasional. Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi, terbukti bahwa $x+y$ bilangan irasional.
Buktikan bahwa jika $x$ bilangan rasional tak nol dan $y$ bilangan irasional, maka $xy$ bilangan irasional.
Misalkan $x$ bilangan rasional tak nol dan $y$ bilangan irasional. Dengan metode kontradiksi, andaikan $xy$ bilangan rasional. Karena $xy$ dan $x$ rasional, maka hasil baginya juga rasional, yaitu $$\frac{xy}{x}=y$$
Kontradiksi dengan $y$ bilangan irasional. Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi, terbukti bahwa $xy$ bilangan irasional.
Apakah jumlah dan hasil kali dua bilangan irasional juga irasional? Beri penjelasaan atas jawaban yang anda berikan.
Jumlah dua bilangan irasional bisa menghasilkan bilangan irasional. Sebagai contoh, untuk $x=y=\pi$, diperoleh $x+y=2\pi$ yang juga bilangan irasional. Namun, ini tidak selalu terjadi. Terdapat dua bilangan irasional yang jumlahnya rasional. Misalnya untuk $x=\pi$ dan $y=-\pi$, diperoleh $x+y=\pi+(-\pi)=0$ yang merupakan bilangan rasional.
Hal serupa juga berlaku untuk hasil kali dua bilangan irasional. Sebagai contoh, untuk $x=\sqrt{2}$ dan $y=\sqrt{3}$, diperoleh $xy=\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$ yang juga bilangan irasional. Namun, untuk $x=y=\sqrt{2}$, hasil kalinya adalah $xy=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=2$ yang merupakan bilangan rasional.
Buktikan bahwa $\sqrt{2}$ merupakan bilangan irasional.
Dengan metode kontradiksi, andaikan $\sqrt{2}$ merupakan bilangan rasional. Misalkan $\sqrt{2}=p/q$, untuk suatu bilangan bulat $p$ dan $q$, dengan $q \neq 0$ dan $\text{fpb}(p,q)=1$. Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh $2=p^2/q^2$, yang ekuivalen dengan $p^2=2q^2$.
Karena $q^2$ bilangan bulat, disimpulkan bahwa $p^2$ bilangan genap, yang berakibat $p$ juga genap. Misalkan $p=2m$, untuk suatu bilangan bulat $m$. Substitusi pada persamaan $p^2=2q^2$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} (2m)^2 &= 2q^2 \\[2pt] 4m^2 &= 2q^2 \\[2pt] q^2 &= 2m^2 \end{aligned}$$
Karena $m^2$ bilangan bulat, disimpulkan bahwa $q^2$ bilangan genap, yang berakibat $q$ juga genap. Diperoleh $p$ dan $q$ bilangan genap, sehingga $\text{fpb}(p,q) \geq 2$. Kontradiksi dengan $\text{fpb}(p,q)=1$.
Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi, terbukti bahwa $\sqrt{2}$ merupakan bilangan irasional.
Misal $r$ merupakan bilangan prima. Buktikan bahwa $\sqrt{r}$ merupakan bilangan irasional.
Dengan metode kontradiksi, andaikan $\sqrt{r}$ merupakan bilangan rasional. Misalkan $\sqrt{r}=p/q$, untuk suatu bilangan bulat $p$ dan $q$, dengan $q \neq 0$ dan $\text{fpb}(p,q)=1$. Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh $r=p^2/q^2$, yang ekuivalen dengan $p^2=rq^2$.
Karena $q^2$ bilangan bulat, disimpulkan bahwa $r \vert p^2$. Lebih lanjut, karena $r$ bilangan prima, disimpulkan $r|p$. Misalkan $p=rm$, untuk suatu bilangan bulat $m$. Substitusi pada persamaan $p^2=rq^2$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} (rm)^2 &= rq^2 \\[2pt] r^2m^2 &= rq^2 \\[2pt] q^2 &= rm^2 \end{aligned}$$
Karena $m^2$ bilangan bulat, disimpulkan bahwa $r \vert q^2$, yang berakibat $r \vert q$. Diperoleh $r \vert p$ dan $r \vert q$, sehingga $\text{fpb}(p,q) \geq r$. Kontradiksi dengan $\text{fpb}(p,q)=1$.
Dengan demikian, pengandaian salah. Jadi, terbukti bahwa $\sqrt{r}$ merupakan bilangan irasional.
Buktikan bahwa terdapat bilangan irasional $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $a^b$ rasional.
Kita mulai dengan $\sqrt{2}$ yang merupakan bilangan irasional. Tinjau $\sqrt{2}^{\,\sqrt{2}}$, yang mempunyai dua kemungkinan.
Kasus 1: $\sqrt{2}^{\,\sqrt{2}}$ rasional. Diperoleh bilangan irasional $a=b=\sqrt{2}$, dengan $a^b=\sqrt{2}^{\,\sqrt{2}}$ merupakan bilangan rasional. Terbukti.
Kasus 2: $\sqrt{2}^{\,\sqrt{2}}$ irasional. Pangkatkan dengan $\sqrt{2}$, sehingga diperoleh $$\left( \sqrt{2}^{\,\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\,(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})}=\sqrt{2}^{\,2}=2$$
Diperoleh bilangan irasional $a=\sqrt{2}^{\,\sqrt{2}}$ dan $b=\sqrt{2}$, dengan $a^b=2$ merupakan bilangan rasional.
Dari kedua kasus di atas, disimpulkan bahwa terdapat bilangan irasional $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $a^b$ rasional.
Diketahui $a$ dan $b$ merupakan bilangan real positif sehingga $a+\sqrt{ab}$ dan $b+\sqrt{ab}$ rasional. Buktikan bahwa $a$ dan $b$ juga bilangan rasional.
Misalkan $a$ dan $b$ bilangan real positif sehingga $x=a+\sqrt{ab}$ dan $y=b+\sqrt{ab}$ rasional. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{xy}{x+y} &= \frac{(a+\sqrt{ab})(b+\sqrt{ab})}{(a+\sqrt{ab})+(b+\sqrt{ab})} \\[3pt] &= \frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}+2ab}{a+b+2\sqrt{ab}} \\[3pt] &= \frac{\sqrt{ab}\;(a+b+2\sqrt{ab})}{a+b+2\sqrt{ab}} \\[3pt] &= \sqrt{ab} \end{aligned}$$
Karena $x$ dan $y$ rasional, maka jumlah dan hasil kalinya juga rasional. Lebih lanjut, karena $a,b>0$ diperoleh $x+y\neq 0$. Akibatnya, dari persamaan di atas disimpulkan bahwa $\sqrt{ab}$ rasional. Selanjutnya, karena $x$, $y$, dan $\sqrt{ab}$ rasional, dua bilangan berikut juga rasional. $$\begin{aligned} x-\sqrt{ab} &= (a+\sqrt{ab})-\sqrt{ab} = a \\[2pt] y-\sqrt{ab} &= (b+\sqrt{ab})-\sqrt{ab} = b \end{aligned}$$
Dengan demikian, terbukti bahwa $a$ dan $b$ bilangan rasional.
(Analisis Real) Buktikan bahwa terdapat bilangan real positif $x$ sedemikian sehingga $x^2=2$.
Definisikan himpunan $S=\{ s \in \mathbb{R} \vert s \geq 0,s^2<2 \}$. Perhatikan bahwa $1 \geq 0$ dan $1^2=1<2$, sehingga $1 \in S$ dan $S$ merupakan himpunan bagian tak kosong dari $\mathbb{R}$. Selain itu, $S$ terbatas di atas oleh $2$. Karena jika $t>2$, diperoleh $t^2>4>2$, sehingga $t \notin S$. Hal ini ekuivalen dengan pernyataan, jika $t \in S$ maka $t \leq 2$, yang berarti $2$ batas atas untuk $S$.
Karena $S$ himpunan bagian tak kosong dari $\mathbb{R}$ yang terbatas di atas, berdasarkan Sifat Kelengkapan $\mathbb{R}$, disimpulkan $S$ mempunyai supremum di $\mathbb{R}$. Misal $x=\sup S$, jelas bahwa $x \geq 1$ karena $1 \in S$. Akan dibuktikan bahwa $x^2=2$ dengan metode kontradiksi. Andaikan $x^2 \neq 2$, sehingga $x^2<2$ atau $x^2>2$. Kita tinjau kedua kasus ini satu per satu.
Kasus 1: $x^2<2$. Perhatikan bahwa $2-x^2>0$, sehingga $\frac{2-x^2}{2x+1}>1$. Berdasarkan Akibat dari Sifat Archimedes, terdapat bilangan asli $n$ sedemikian sehingga $\frac{1}{n} < \frac{2-x^2}{2x+1}$, yang ekuivalen dengan $\frac{1}{n}(2x+1) < 2-x^2$. Perhatikan bahwa $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \left( x+\frac{1}{n} \right)^2 &= x^2 + 2x \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \\[2pt] &\leq x^2 + 2x \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \\[2pt] &= x^2+\frac{1}{n} (2x+1) \\[2pt] &= x^2+(2-x^2) \\[2pt] &=2 \end{aligned}$$
Karena $\left( x+\frac{1}{n} \right)^2<2$, disimpulkan bahwa $x+\frac{1}{n} \in S$. Jelas bahwa $x+\frac{1}{n}>x$, sehingga kontradiksi dengan $x$ batas atas untuk $S$.
Kasus 2: $x^2>2$. Perhatikan bahwa $x^2-2>0$, sehingga $\frac{x^2-2}{2x}>0$. Berdasarkan Akibat dari Sifat Archimedes, terdapat bilangan asli $m$ sedemikian sehingga $\frac{1}{m}<\frac{x^2-2}{2x}$, yang ekuivalen dengan $\frac{2x}{m} < x^2-2$. Akibatnya $$\begin{aligned} \left( x-\frac{1}{m} \right)^2 &= x^2-\frac{2x}{m}+\frac{1}{m^2} \\[2pt] &> x^2-\frac{2x}{m} \\[2pt] &> x^2-(x^2-2) \\[2pt] &= 2 \end{aligned}$$
Diperoleh $\left( x-\frac{1}{m} \right)^2>2$. Misal $s \in S$, sehingga $s^2<2<\left( x-\frac{1}{m} \right)^2$, yang berakibat $s Kedua kasus di atas menimbulkan kontradiksi. Dengan demikian, haruslah $x^2=2$. Jadi, terbukti bahwa terdapat bilangan real positif $x$ sedemikian sehingga $x^2=2$.
Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Tunjukkan bahwa ketiga pernyataan berikut ekuivalen: (i) $x$ bilangan rasional, (ii) $3x-1$ bilangan rasional, (iii) $x/2$ bilangan rasional.
Untuk menunjukkan bahwa ketiga pernyataan tersebut ekuivalen, kita perlu menunjukkan tiga hal, yaitu $(i) \rightarrow (ii)$, $(ii) \rightarrow (iii)$, dan $(iii) \rightarrow (i)$.
Pertama, kita akan menunjukkan $(i) \rightarrow (ii)$. Misalkan $x$ merupakan bilangan rasional, maka $x=p_1/q_1$ untuk suatu bilangan bulat $p_1$ dan $q_1$, dengan $q_1\neq 0$. Akibatnya $$3x-1=3\cdot\frac{p_1}{q_1}-1=\frac{3p_1-q_1}{q_1}$$
Karena $p_1$ dan $q_1$ merupakan bilangan bulat, disimpulkan bahwa $3p_1-q_1$ juga bilangan bulat. Lebih lanjut, $q_1$ juga bilangan bulat, dengan $q_1 \neq 0$. Dengan demikian, $3x-1$ merupakan bilangan rasional.
Berikutnya, kita akan menunjukkan $(ii) \rightarrow (iii)$. Misalkan $3x-1$ merupakan bilangan rasional, maka $3x-1=p_2/q_2$ untuk suatu bilangan bulat $p_2$ dan $q_2$, dengan $q_2 \neq 0$. Perhatikan bahwa $$\frac{x}{2} = \frac{3x}{6} = \frac{(3x-1)+1}{6}$$
Substitusi $3x-1=p_2/q_2$ pada persamaan di atas, sehingga diperoleh $$\frac{x}{2} = \frac{p_2/q_2+1}{6} = \frac{p_2+q_2}{6q_2}$$
Karena $p_2$ dan $q_2$ merupakan bilangan bulat, disimpulkan bahwa $p_2+q_2$ dan $6q_2$ juga bilangan bulat. Lebih lanjut, $q_2 \neq 0$ mengimplikasikan $6q_2 \neq 0$. Dengan demikian, $x/2$ merupakan bilangan rasional.
Terakhir, kita akan menunjukkan $(iii) \rightarrow (i)$. Misalkan $x/2$ merupakan bilangan rasional, maka $x/2=p_3/q_3$ untuk suatu bilangan bulat $p_3$ dan $q_3$, dengan $q_3 \neq 0$. Perhatikan bahwa $$x=2\cdot \frac{x}{2} = 2 \cdot \frac{p_3}{q_3} = \frac{2p_3}{q_3}$$
Karena $p_3$ merupakan bilangan bulat, disimpulkan bahwa $2p_3$ juga bilangan bulat. Lebih lanjut, $q_3$ juga bilangan bulat, dengan $q_3 \neq 0$. Dengan demikian, $x$ merupakan bilangan rasional.
Karena $(i) \rightarrow (ii)$, $(ii) \rightarrow (iii)$, dan $(iii) \rightarrow (i)$, dapat disimpulkan bahwa pernyataan $(i)$, $(ii)$, dan $(iii)$ ekuivalen.
Misalkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan rasional. Apakah $a^b$ selalu merupakan bilangan rasional? Jika ya, buktikan. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.
Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan rasional, maka $a^b$ tidak selalu bilangan merupakan bilangan rasional. Hal ini bisa dibuktikan dengan contoh penyangkal. Untuk $a=2$ dan $b=1/2$, diperoleh $a^b=2^{1/2}=\sqrt{2}$ yang merupakan bilangan irasional.
Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Tunjukkan bahwa ketiga pernyataan berikut ekuivalen: (i) $x$ bilangan irasional, (ii) $4x$ bilangan irasional, (iii) $2x+3$ bilangan irasional.
Untuk menunjukkan bahwa ketiga pernyataan tersebut ekuivalen, perlu ditunjukkan bahwa $(i) \rightarrow (ii)$, $(ii) \rightarrow (iii)$, dan $(iii) \rightarrow (i)$.
Pertama, kita akan menunjukkan $(i) \rightarrow (ii)$, dengan metode kontrapositif. Misalkan $4x$ merupakan bilangan rasional, maka $4x=p_1/q_1$ untuk suatu bilangan bulat $p_1$ dan $q_1$, dengan $q_1 \neq 0$. Akibatnya $$x=\frac{1}{4} \cdot 4x =\frac{1}{4} \cdot \frac{p_1}{q_1}=\frac{p_1}{4q_1}$$
Karena $q_1$ bilangan bulat, diperoleh $4q_1$ juga bilangan bulat. Lebih lanjut, $q_1 \neq 0$ mengimplikasikan $4q_1 \neq 0$. Karena $p_1$ juga bilangan bulat, berdasarkan definisi, disimpulkan bahwa $x$ merupakan bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa $(i) \rightarrow (ii)$.
Berikutnya, kita akan menunjukkan $(ii) \rightarrow (iii)$, dengan metode kontrapositif. Misalkan $2x+3$ merupakan bilangan rasional, maka $2x+3=p_2/q_2$ untuk suatu bilangan bulat $p_2$ dan $q_2$, dengan $q_2 \neq 0$. Perhatikan bahwa $4x = 2(2x+3)-6$, sehingga $$4x=2 \cdot \frac{p_2}{q_2}-6 = \frac{2p_2-6q_2}{q_2}$$
Karena $p_2$ dan $q_2$ merupakan bilangan bulat, diperoleh $2p_2-6q_2$ juga bilangan bulat. Lebih lanjut, $q_2$ juga bilangan bulat dengan $q_2 \neq 0$. Berdasarkan definisi, disimpulkan bahwa $4x$ merupakan bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa $(ii) \rightarrow (iii)$.
Terakhir, kita akan menunjukkan $(iii) \rightarrow (i)$, dengan metode kontrapositif. Misalkan $x$ merupakan bilangan rasional, maka $x=p_3/q_3$ untuk suatu bilangan bulat $p_3$ dan $q_3$, dengan $q_3 \neq 0$. Akibatnya $$2x+3 = 2 \cdot \frac{p_3}{q_3}+3 = \frac{2p_3+3q_3}{q_3}$$
Karena $p_3$ dan $q_3$ merupakan bilangan bulat, diperoleh $2p_3+3q_3$ juga bilangan bulat. Lebih lanjut, $q_3$ juga bilangan bulat, dengan $q_3 \neq 0$. Berdasarkan definisi, disimpulkan bahwa $2x+3$ merupakan bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa $(iii) \rightarrow (i)$.
Dari uraian di atas, diperoleh $(i) \rightarrow (ii)$, $(ii) \rightarrow (iii)$, dan $(iii) \rightarrow (i)$. Dengan demikian, disimpulkan bahwa pernyataan $(i)$, $(ii)$, dan $(iii)$ ekuivalen.