Soal dan Pembahasan - Integral Substitusi

Diperbarui 17 November 2020 — 15 Soal

Integral Substitusi adalah sebuah metode atau teknik dalam menyelesaikan masalah integral. Sesuai namanya, kita menggunakan substitusi untuk menyederhanakan masalah.

Integral Substitusi

Teorema 1

Misalkan $g$ adalah fungsi yang terdiferensialkan dan $F$ adalah anti turunan dari $f$. Maka $$\int f(g(x)) \; g'(x) \; \mathrm{d}x = F(g(x))+C$$

Sebagai contoh, kita akan menghitung $\int 2x(x^2+1)^3 \; \mathrm{d}x$. Integral ini dapat diselesaikan dengan menentukan ekspansi $(x^2+1)^3$ terlebih dahulu. Namun, hal ini cukup merepotkan.

Sekarang, perhatikan bahwa $$\int 2x(x^2+1)^3 \; \mathrm{d}x = \int (x^2+1)^3 \; 2x \; \mathrm{d}x$$

Bentuk integral ini sesuai dengan Teorema 1, di mana $f(x)=x^3$, $g(x)=x^2+1$, dan $g'(x)=2x$.

Karena $F(x)=x^4/4$ adalah anti turunan dari $f(x)$, maka hasil dari integral semula adalah $$F(g(x))+C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$$

Sebagai alternatif, kita bisa menuliskan $u=x^2+1$. Lalu menentukan turunannya, yaitu $\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$. Lakukan substitusi pada integral semula, sehingga $$\begin{aligned} \int \textcolor{blue}{2x}(\textcolor{red}{x^2+1})^3 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \textcolor{red}{u}^3 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \frac{u^{3+1}}{3+1} + C \\ &= \frac{u^{4}}{4} + C \\ &= \frac{(x^2+1)^4}{4} \quad &&[u=x^2+1] \end{aligned}$$

Selain integral tak tentu, metode substitusi dapat digunakan pada integral tentu. Prosesnya serupa dengan integral tak tentu, namun kita perlu mengubah batas integrasi.

Teorema 2

Misalkan $g$ mempunyai turunan yang kontinu pada $[a,b]$ dan $f$ kontinu pada daerah hasil $g$. Maka $$\int_a^b f(g(x)) \; g'(x) \; \mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) \; \mathrm{d}u$$ di mana $u=g(x)$.

Penerapan teorema ini dapat dilihat pada contoh soal.

Soal dan Pembahasan

✶ Nomor 1

Tentukan hasil dari $$\int (x-2)^5 \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=x-2$, sehingga $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int (\textcolor{red}{x-2})^5 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \textcolor{red}{u}^5 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \frac{u^{5+1}}{5+1} + C \\ &= \frac{1}{6} (x-2)^6 + C \quad &&[u=x-2] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 2

Tentukan hasil dari $$\int \sqrt{3x} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=3x$, sehingga $\mathrm{d}u=3 \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/3=\mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \sqrt{\textcolor{red}{3x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \sqrt{\textcolor{red}{u}} \; \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{3}} \\ &= \frac{1}{3} \int u^{1/2} \; \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \\ &= \frac{2}{9} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{9} (3x)^{3/2} + C \quad &&[u=3x] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 3

Tentukan hasil dari $$\int_0^2 x(x^2+1)^5 \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=x^2+1$, sehingga $\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/2=x \; \mathrm{d}x$.

Untuk $x=0$ diperoleh $u=1$, sedangkan untuk $x=2$ diperoleh $u=5$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int_0^2 \textcolor{blue}{x} (\textcolor{red}{x^2+1})^5 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int_1^5 \textcolor{red}{u}^5 \; \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \int_1^5 u^5 \; \mathrm{d}u \\ &= \left[ \frac{u^6}{12} \right]_1^5 \\ &= \frac{5^6-1^6}{12} \\ &= \frac{15624}{12} \\ &= 1302 \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 4

Tentukan hasil dari $$\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=1-x^2$, sehingga $\mathrm{d}u=-2x \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $-\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$.

Untuk $x=0$ diperoleh $u=1$, sedangkan untuk $x=1$ diperoleh $u=0$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int_0^1 \textcolor{blue}{2x} \sqrt{\textcolor{red}{1-x^2}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int_1^0 \sqrt{\textcolor{red}{u}} \; [\textcolor{blue}{-\mathrm{d}u}] \\ &= -\int_1^0 \sqrt{u} \; \mathrm{d}u \\ &= \int_0^1 \sqrt{u} \; \mathrm{d}u \\ &= \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^0 \\ &= \frac{2}{3} \left( 1^{3/2}-0^{3/2} \right) \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 5

Tentukan hasil dari $$\int \frac{e^x}{2+e^x} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=2+e^x$, sehingga $\mathrm{d}u=e^x \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{blue}{e^x}}{\textcolor{red}{2+e^x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{\textcolor{blue}{\mathrm{d}u}}{\textcolor{red}{u}} \\ &= \ln |u| + C \\ &= \ln |2+e^x| + C \quad &&[u=2+e^x] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 6

Tentukan hasil dari $$\int \frac{x}{x^2+4} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=x^2+4$, sehingga $\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/2=x \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x^2+4}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln |x^2+4| + C \quad &&[u=x^2+4] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 7

Tentukan hasil dari $$\int \frac{\tan z}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{brown}{\tan z}}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z &= \textcolor{brown}{\frac{\sin z}{\cos z}} \cdot \frac{1}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z \\ &= \int \frac{\sin z}{\cos^3 z} \; \mathrm{d}z \end{aligned}$$

Misalkan $u=\cos z$, sehingga $\mathrm{d}u=-\sin z \; \mathrm{d}z$, yang ekuivalen dengan $- \; \mathrm{d}u=\sin z \; \mathrm{d}z$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\tan z}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z &= \int \frac{\textcolor{blue}{\sin z}}{\textcolor{red}{\cos}^3 \textcolor{red}{z}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}z} \\ &= \int \frac{\textcolor{blue}{- \; \mathrm{d}u}}{\textcolor{red}{u}^3} \\ &= -\int u^{-3} \; \mathrm{d}u \\ &= -\frac{u^{-2}}{-2} + C \\ &= \frac{1}{2} u^{-2} + C \\ &= \frac{1}{2u^2} + C \\ &= \frac{1}{2 \cos^2 z} + C \quad &&[u=\cos z] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 8

Tentukan hasil dari $$\int \frac{\sin \sqrt t}{\sqrt t} \; \mathrm{d}t$$

Misalkan $u=\sqrt t$, sehingga $\mathrm{d}u=\mathrm{d}t/2\sqrt t$, yang ekuivalen dengan $2 \; \mathrm{d}u=\mathrm{d}t/ \sqrt t$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\sin \textcolor{red}{\sqrt t}}{\textcolor{blue}{\sqrt t}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}t} &= \int \sin \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{2 \; \mathrm{d}u} \\ &= 2 \int \sin u \; \mathrm{d}u \\ &= -2 \cos u + C \\ &= -2 \cos \sqrt t + C \quad &&[u=\sqrt t] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 9

Tentukan hasil dari $$\int e^{\sin z} \cos z \; \mathrm{d}z$$

Misalkan $u=\sin z$, sehingga $\mathrm{d}u=\cos z \; \mathrm{d}z$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int e^{\textcolor{red}{\sin z}} \textcolor{blue}{\cos z \; \mathrm{d}z} &= \int e^\textcolor{red}{u} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= e^u + C \\ &= e^{\sin z} + C \quad &&[u=\sin z] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 10

Tentukan hasil dari $$\int \frac{6x^2+x+1}{2x+1} \; \mathrm{d}x$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \int \frac{6x^2+x+1}{2x+1} \; \mathrm{d}x &= \int \left( 3x-1 + \frac{2}{2x+1} \right) \; \mathrm{d}x \\ &= \int (3x-1) \; \mathrm{d}x + \int \frac{2 \; \mathrm{d}x}{2x+1} \end{aligned}$$

Misalkan $u=2x+1$, sehingga $\mathrm{d}u = 2 \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{6x^2+x+1}{2x+1} \; \mathrm{d}x &= \int (3x-1) \; \mathrm{d}x + \int \frac{\textcolor{blue}{2 \; \mathrm{d}x}}{\textcolor{red}{2x+1}} \\ &= \int (3x-1) \; \mathrm{d}x + \int \frac{\textcolor{blue}{\mathrm{d}u}}{\textcolor{red}{u}} \\ &= \frac{3}{2}x^2-x+C_1 + \ln |u| + C_2 \\ &= \frac{3}{2}x^2-x + \ln |u| + C \quad &&[C=C_1+C_2] \\ &= \frac{3}{2}x^2-x + \ln |2x+1| + C \quad &&[u=2x+1] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 11

Tentukan hasil dari $$\int \frac{\sin (\ln 3x)}{x} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=\ln 3x$, sehingga $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x/x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\sin (\textcolor{red}{\ln 3x})}{\textcolor{blue}{x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \sin \textcolor{red}{u} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= -\cos u + C \\ &= -\cos(\ln 3x) + C \quad &&[u=\ln 3x] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 12

Tentukan hasil dari $$\int \frac{\sec^2 (\ln x)}{2x} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=\ln x$, sehingga $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x/x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\sec^2 (\textcolor{red}{\ln x})}{2\textcolor{blue}{x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{\sec^2 \textcolor{red}{u}}{2} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \frac{1}{2} \int \sec^2 u \; \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \tan u + C \\ &= \frac{1}{2} \tan (\ln x) + C \quad &&[u=\ln x] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 13

Tentukan hasil dari $$\int \frac{x^3}{x^4+4} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=x^4+4$, sehingga $\mathrm{d}u=4x^3 \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/4=x^3 \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{blue}{x^3}}{\textcolor{red}{x^4+4}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{4}} \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= \frac{1}{4} \ln |u| + C \\ &= \frac{1}{4} \ln |x^4+4| + C \quad &&[u=x^4+4] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 14

Tentukan hasil dari $$\int \frac{\cos (4t-1)}{1-\cos^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x$$

Berdasarkan identitas trigonometri diperoleh $$\int \frac{\cos (4t-1)}{1-\cos^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x = \int \frac{\cos (4t-1)}{\sin^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=\sin (4t-1)$, sehingga $\mathrm{d}u=4\cos(t-1) \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/4=\cos(t-1) \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\cos (4t-1)}{1-\cos^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x &= \int \frac{\textcolor{blue}{\cos (4t-1)}}{\textcolor{red}{\sin}^2 \textcolor{red}{(4t-1)}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} \\ &= \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}^2} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{4}} \\ &= \frac{1}{4} \int u^{-2} \; \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C \\ &= -\frac{1}{4u} + C \\ &= -\frac{1}{4 \sin (4t-1)} + C \quad &&[u= \sin (4t-1)] \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 15

Tentukan hasil dari $$\int e^x \sec^2(e^x) \; \mathrm{d}x$$

Misalkan $u=e^x$, sehingga $\mathrm{d}u=e^x \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \textcolor{blue}{e^x} \sec^2(\textcolor{red}{e^x}) \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \sec^2 \textcolor{red}{u} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \tan u + C \\ &= \tan e^x + C \quad &&[u=e^x] \end{aligned}$$

Pembahasan