Soal dan Pembahasan - Integral Substitusi
Integral substitusi adalah sebuah metode atau teknik dalam menyelesaikan masalah integral. Sesuai namanya, kita menggunakan substitusi untuk mengubah integral ke dalam bentuk lain yang lebih sederhana. Teknik integral substitusi ini efektif untuk menyelesaikan integral dari fungsi komposisi.
Dalam artikel ini disajikan materi mengenai integral substitusi, teorema yang digunakan, dan soal latihan integral substitusi yang dilengkapi dengan pembahasan. Sebelum membahas lebih lanjut, mari perhatikan daftar isi berikut.
Daftar Isi
Integral Substitusi
Teorema 1
Misalkan $g$ adalah fungsi yang terdiferensialkan dan $F$ adalah anti turunan dari $f$. Maka $$\int f(g(x)) \; g'(x) \; \mathrm{d}x = F(g(x))+C$$
Sebagai contoh, kita akan menghitung $\int 2x(x^2+1)^3 \; \mathrm{d}x$. Integral ini dapat diselesaikan dengan menentukan ekspansi $(x^2+1)^3$ terlebih dahulu. Namun, hal ini cukup merepotkan.
Sekarang, perhatikan bahwa $$\int 2x(x^2+1)^3 \; \mathrm{d}x = \int (x^2+1)^3 \; 2x \; \mathrm{d}x$$
Bentuk integral ini sesuai dengan Teorema 1, di mana $f(x)=x^3$, $g(x)=x^2+1$, dan $g'(x)=2x$.
Karena $F(x)=x^4/4$ adalah anti turunan dari $f(x)$, maka hasil dari integral semula adalah $$F(g(x))+C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$$
Sebagai alternatif, kita bisa menuliskan $u=x^2+1$. Lalu menentukan turunannya, yaitu $\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$. Lakukan substitusi pada integral semula, sehingga $$\begin{aligned} \int \textcolor{blue}{2x}(\textcolor{red}{x^2+1})^3 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \textcolor{red}{u}^3 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \frac{u^{3+1}}{3+1} + C \\ &= \frac{u^{4}}{4} + C \\ &= \frac{(x^2+1)^4}{4} \quad &&[u=x^2+1] \end{aligned}$$
Selain integral tak tentu, metode substitusi dapat digunakan pada integral tentu. Prosesnya serupa dengan integral tak tentu, namun kita perlu mengubah batas integrasi.
Teorema 2
Misalkan $g$ mempunyai turunan yang kontinu pada $[a,b]$ dan $f$ kontinu pada daerah hasil $g$. Maka $$\int_a^b f(g(x)) \; g'(x) \; \mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u) \; \mathrm{d}u$$ di mana $u=g(x)$.
Penerapan teorema ini dapat dilihat pada contoh soal.
Soal dan Pembahasan
Tentukan hasil dari $$\int (x-2)^5 \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=x-2$, sehingga $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int (\textcolor{red}{x-2})^5 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \textcolor{red}{u}^5 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \frac{u^{5+1}}{5+1} + C \\ &= \frac{1}{6} (x-2)^6 + C \quad &&[u=x-2] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \sqrt{3x} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=3x$, sehingga $\mathrm{d}u=3 \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/3=\mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \sqrt{\textcolor{red}{3x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \sqrt{\textcolor{red}{u}} \; \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{3}} \\ &= \frac{1}{3} \int u^{1/2} \; \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \\ &= \frac{2}{9} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{9} (3x)^{3/2} + C \quad &&[u=3x] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int_0^2 x(x^2+1)^5 \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=x^2+1$, sehingga $\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/2=x \; \mathrm{d}x$.
Untuk $x=0$ diperoleh $u=1$, sedangkan untuk $x=2$ diperoleh $u=5$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int_0^2 \textcolor{blue}{x} (\textcolor{red}{x^2+1})^5 \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int_1^5 \textcolor{red}{u}^5 \; \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \int_1^5 u^5 \; \mathrm{d}u \\ &= \left[ \frac{u^6}{12} \right]_1^5 \\ &= \frac{5^6-1^6}{12} \\ &= \frac{15624}{12} \\ &= 1302 \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=1-x^2$, sehingga $\mathrm{d}u=-2x \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $-\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$.
Untuk $x=0$ diperoleh $u=1$, sedangkan untuk $x=1$ diperoleh $u=0$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int_0^1 \textcolor{blue}{2x} \sqrt{\textcolor{red}{1-x^2}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int_1^0 \sqrt{\textcolor{red}{u}} \; [\textcolor{blue}{-\mathrm{d}u}] \\ &= -\int_1^0 \sqrt{u} \; \mathrm{d}u \\ &= \int_0^1 \sqrt{u} \; \mathrm{d}u \\ &= \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^0 \\ &= \frac{2}{3} \left( 1^{3/2}-0^{3/2} \right) \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{e^x}{2+e^x} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=2+e^x$, sehingga $\mathrm{d}u=e^x \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{blue}{e^x}}{\textcolor{red}{2+e^x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{\textcolor{blue}{\mathrm{d}u}}{\textcolor{red}{u}} \\ &= \ln |u| + C \\ &= \ln |2+e^x| + C \quad &&[u=2+e^x] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{x}{x^2+4} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=x^2+4$, sehingga $\mathrm{d}u=2x \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/2=x \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x^2+4}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln |x^2+4| + C \quad &&[u=x^2+4] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{\tan z}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{brown}{\tan z}}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z &= \textcolor{brown}{\frac{\sin z}{\cos z}} \cdot \frac{1}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z \\ &= \int \frac{\sin z}{\cos^3 z} \; \mathrm{d}z \end{aligned}$$
Misalkan $u=\cos z$, sehingga $\mathrm{d}u=-\sin z \; \mathrm{d}z$, yang ekuivalen dengan $- \; \mathrm{d}u=\sin z \; \mathrm{d}z$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\tan z}{\cos^2 z} \; \mathrm{d}z &= \int \frac{\textcolor{blue}{\sin z}}{\textcolor{red}{\cos}^3 \textcolor{red}{z}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}z} \\ &= \int \frac{\textcolor{blue}{- \; \mathrm{d}u}}{\textcolor{red}{u}^3} \\ &= -\int u^{-3} \; \mathrm{d}u \\ &= -\frac{u^{-2}}{-2} + C \\ &= \frac{1}{2} u^{-2} + C \\ &= \frac{1}{2u^2} + C \\ &= \frac{1}{2 \cos^2 z} + C \quad &&[u=\cos z] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{\sin \sqrt t}{\sqrt t} \; \mathrm{d}t$$
Misalkan $u=\sqrt t$, sehingga $\mathrm{d}u=\mathrm{d}t/2\sqrt t$, yang ekuivalen dengan $2 \; \mathrm{d}u=\mathrm{d}t/ \sqrt t$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\sin \textcolor{red}{\sqrt t}}{\textcolor{blue}{\sqrt t}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}t} &= \int \sin \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{2 \; \mathrm{d}u} \\ &= 2 \int \sin u \; \mathrm{d}u \\ &= -2 \cos u + C \\ &= -2 \cos \sqrt t + C \quad &&[u=\sqrt t] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int e^{\sin z} \cos z \; \mathrm{d}z$$
Misalkan $u=\sin z$, sehingga $\mathrm{d}u=\cos z \; \mathrm{d}z$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int e^{\textcolor{red}{\sin z}} \textcolor{blue}{\cos z \; \mathrm{d}z} &= \int e^\textcolor{red}{u} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= e^u + C \\ &= e^{\sin z} + C \quad &&[u=\sin z] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{6x^2+x+1}{2x+1} \; \mathrm{d}x$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \int \frac{6x^2+x+1}{2x+1} \; \mathrm{d}x &= \int \left( 3x-1 + \frac{2}{2x+1} \right) \; \mathrm{d}x \\ &= \int (3x-1) \; \mathrm{d}x + \int \frac{2 \; \mathrm{d}x}{2x+1} \end{aligned}$$
Misalkan $u=2x+1$, sehingga $\mathrm{d}u = 2 \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{6x^2+x+1}{2x+1} \; \mathrm{d}x &= \int (3x-1) \; \mathrm{d}x + \int \frac{\textcolor{blue}{2 \; \mathrm{d}x}}{\textcolor{red}{2x+1}} \\ &= \int (3x-1) \; \mathrm{d}x + \int \frac{\textcolor{blue}{\mathrm{d}u}}{\textcolor{red}{u}} \\ &= \frac{3}{2}x^2-x+C_1 + \ln |u| + C_2 \\ &= \frac{3}{2}x^2-x + \ln |u| + C \quad &&[C=C_1+C_2] \\ &= \frac{3}{2}x^2-x + \ln |2x+1| + C \quad &&[u=2x+1] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{\sin (\ln 3x)}{x} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=\ln 3x$, sehingga $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x/x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\sin (\textcolor{red}{\ln 3x})}{\textcolor{blue}{x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \sin \textcolor{red}{u} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= -\cos u + C \\ &= -\cos(\ln 3x) + C \quad &&[u=\ln 3x] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{\sec^2 (\ln x)}{2x} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=\ln x$, sehingga $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x/x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\sec^2 (\textcolor{red}{\ln x})}{2\textcolor{blue}{x}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{\sec^2 \textcolor{red}{u}}{2} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \frac{1}{2} \int \sec^2 u \; \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \tan u + C \\ &= \frac{1}{2} \tan (\ln x) + C \quad &&[u=\ln x] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{x^3}{x^4+4} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=x^4+4$, sehingga $\mathrm{d}u=4x^3 \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/4=x^3 \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\textcolor{blue}{x^3}}{\textcolor{red}{x^4+4}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{4}} \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= \frac{1}{4} \ln |u| + C \\ &= \frac{1}{4} \ln |x^4+4| + C \quad &&[u=x^4+4] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int \frac{\cos (4t-1)}{1-\cos^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x$$
Berdasarkan identitas trigonometri diperoleh $$\int \frac{\cos (4t-1)}{1-\cos^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x = \int \frac{\cos (4t-1)}{\sin^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=\sin (4t-1)$, sehingga $\mathrm{d}u=4\cos(t-1) \; \mathrm{d}x$, yang ekuivalen dengan $\mathrm{d}u/4=\cos(t-1) \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \frac{\cos (4t-1)}{1-\cos^2 (4t-1)} \; \mathrm{d}x &= \int \frac{\textcolor{blue}{\cos (4t-1)}}{\textcolor{red}{\sin}^2 \textcolor{red}{(4t-1)}} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} \\ &= \int \frac{1}{\textcolor{red}{u}^2} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\mathrm{d}u}{4}} \\ &= \frac{1}{4} \int u^{-2} \; \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C \\ &= -\frac{1}{4u} + C \\ &= -\frac{1}{4 \sin (4t-1)} + C \quad &&[u= \sin (4t-1)] \end{aligned}$$
Tentukan hasil dari $$\int e^x \sec^2(e^x) \; \mathrm{d}x$$
Misalkan $u=e^x$, sehingga $\mathrm{d}u=e^x \; \mathrm{d}x$. Akibatnya $$\begin{aligned} \int \textcolor{blue}{e^x} \sec^2(\textcolor{red}{e^x}) \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}x} &= \int \sec^2 \textcolor{red}{u} \; \textcolor{blue}{\mathrm{d}u} \\ &= \tan u + C \\ &= \tan e^x + C \quad &&[u=e^x] \end{aligned}$$