Beranda › Aljabar Linear
Beli buku analisis realBeli buku metode penelitianBeli buku kalkulus peubah banyak
KLIK GAMBAR UNTUK MEMBELI

Soal dan Pembahasan - Pembuktian Ruang Vektor

Kirim Soal — Diperbarui 14 Oktober 2020

Ruang Vektor adalah himpunan tak kosong (dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar) yang memenuhi 10 aksioma ruang vektor. Apa saja aksioma-aksioma tersebut? Bagaimana cara menunjukkan bahwa suatu himpunan adalah ruang vektor?

Tulisan ini dibuat untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut. Sebelum membahas lebih lanjut, perhatikan Daftar Isi berikut.

Bahasan ini dimulai dengan definisi ruang vektor. Definisi inilah yang digunakan dalam memeriksa apakah suatu himpunan merupakan ruang vektor atau bukan.

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Misalkan adalah himpunan tidak kosong, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Operasi penjumlahan adalah aturan yang memasangkan setiap objek dan dalam dengan objek . Operasi perkalian skalar adalah aturan yang memasangkan setiap skalar dan setiap objek dalam dengan objek .

Jika 10 aksioma berikut dipenuhi oleh setiap objek dalam V dan setiap skalar dan , maka disebut ruang vektor dan objek-objek dalam disebut vektor.

  1. Jika maka .
  2. Terdapat , yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga .
  3. Untuk setiap terdapat , yang disebut negatif dari , sedemikian sehingga .
  4. Jika adalah skalar dan maka .

Skalar ini tidak terbatas pada bilangan real. Secara umum, skalar merupakan anggota dari suatu lapangan, sebutlah . Jika adalah ruang vektor dengan skalar-skalar anggota , maka kita sebut bahwa adalah ruang vektor atas lapangan . Jika , maka disebut ruang vektor real.

Soal dan Pembahasan

Setelah mengenal apa itu ruang vektor, mari berlatih mengerjakan soal.

Nomor 1

Misalkan , dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar:

Periksa apakah merupakan ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 2

Misalkan . Operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada didefinisikan sebagai

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 3

Misalkan , dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 4

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 5

Himpunan didefinisikan sebagai

Pada himpunan , berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar pada matriks. Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 6

Himpunan didefinisikan sebagai dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 7

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada . Apakah adalah ruang vektor real?

Pembahasan

Loading...

Nomor 8

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Diketahui bahwa bukan ruang vektor real. Jelaskan aksioma ruang vektor yang gagal dipenuhi oleh .

Pembahasan

Loading...

Nomor 9

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 10

Himpunan didefinisikan sebagai dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar. Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 11

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah merupakan ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 12

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...

Nomor 13

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Loading...