Soal dan Pembahasan - Pembuktian Ruang Vektor

Diperbarui 14 Oktober 2020 — 13 Soal

Ruang Vektor adalah himpunan tak kosong (dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar) yang memenuhi 10 aksioma ruang vektor. Apa saja aksioma-aksioma tersebut? Bagaimana cara menunjukkan bahwa suatu himpunan adalah ruang vektor?

Tulisan ini dibuat untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut. Sebelum membahas lebih lanjut, perhatikan Daftar Isi berikut.

Bahasan ini dimulai dengan definisi ruang vektor. Definisi inilah yang digunakan dalam memeriksa apakah suatu himpunan merupakan ruang vektor atau bukan.

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Misalkan $V$ adalah himpunan tidak kosong, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Operasi penjumlahan adalah aturan yang memasangkan setiap objek $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ dalam $V$ dengan objek $\textbf{u}+\textbf{v}$. Operasi perkalian skalar adalah aturan yang memasangkan setiap skalar $k$ dan setiap objek $\textbf{u}$ dalam $V$ dengan objek $k\textbf{u}$.

Jika 10 aksioma berikut dipenuhi oleh setiap objek $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}$ dalam V dan setiap skalar $k$ dan $m$, maka $V$ disebut ruang vektor dan objek-objek dalam $V$ disebut vektor.

  1. Jika $\textbf{u},\textbf{v} \in V$ maka $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$.
  2. $\textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{u}$
  3. $\textbf{u} +(\textbf{v} + \textbf{w}) = (\textbf{u} + \textbf{v})+\textbf{w}$
  4. Terdapat $\textbf{0} \in V$, yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga $\textbf{0} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{0} = \textbf{v}$.
  5. Untuk setiap $\textbf{u} \in V$ terdapat $-\textbf{u} \in V$, yang disebut negatif dari $\textbf{u}$, sedemikian sehingga $\textbf{u} + (-\textbf{u})=(-\textbf{u})+\textbf{u}=0$.
  6. Jika $k$ adalah skalar dan $\textbf{u} \in V$ maka $k\textbf{u} \in V$.
  7. $k(\textbf{u} + \textbf{v})=k\textbf{u} + k\textbf{v}$
  8. $(k+m)\textbf{u}=k\textbf{u} + m\textbf{u}$
  9. $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$
  10. $1\textbf{u}=\textbf{u}$

Skalar ini tidak terbatas pada bilangan real. Secara umum, skalar merupakan anggota dari suatu lapangan, sebutlah $F$. Jika $V$ adalah ruang vektor dengan skalar-skalar anggota $F$, maka kita sebut bahwa $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$. Jika $F=\mathbb R$, maka $V$ disebut ruang vektor real.

Soal dan Pembahasan

Setelah mengenal apa itu ruang vektor, mari berlatih mengerjakan soal.

✶ Nomor 1

Misalkan $V=\{(a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (a+c,b+d) \\ k(a,b) &= (ka,kb) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ merupakan ruang vektor real.

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in \mathbb V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Berdasarkan definisi himpunan $V$, kita dapat menulis $$\textbf{u}=(u_1,u_2),\textbf{v}=(v_1,v_2), \text{ dan } \textbf{w}=(w_1,w_2)$$ untuk suatu $u_1,u_2,v_1,v_2,w_1,w_2 \in \mathbb R$.

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u} + \textbf{v} = (u_1,u_2)+(v_1,v_2)=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Karena $\mathbb R$ bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, maka $u_1+v_1,u_2+v_2 \in \mathbb R$. Akibatnya, $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u}+\textbf{v} = (u_1,u_2)+(v_1,v_2) = (u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Karena $u_1,v_1 \in \mathbb R$ dan $\mathbb R$ memenuhi sifat komutatif penjumlahan, maka $u_1+v_1=v_1+u_1$. Dengan argumen yang serupa, dapat diperoleh $u_2+v_2=v_2+u_2$.

Akibatnya $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{v} &= (v_1+u_1,v_2+u_2) \\ &= (v_1,v_2)+(u_1,u_2) \\ &= \textbf{v}+\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (u_1,u_2)+ [(v_1,v_2)+(w_1,w_2)] \\ &= (u_1,u_2)+(v_1+w_1,v_2+w_2) \\ &= (u_1+[v_1+w_1],u_2+[v_2+w_2]) \end{aligned}$$

Karena $u_1,v_1,w_1 \in \mathbb R$ dan $\mathbb R$ memenuhi sifat asosiatif penjumlahan, maka $u_1+(v_1+w_1)=(u_1+v_1)+w_1$. Dengan argumen yang serupa, dapat diperoleh $u_2+(v_2+w_2)=(u_2+v_2)+w_2$.

Akibatnya $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= ([u_1+v_1]+w_1,[u_2+v_2]+w_2) \\ &= (u_1+v_1,u_2+v_2)+(w_1,w_2) \\ &= [(u_1,u_2)+(v_1,v_2)] + (w_1,w_2) \\ &= (\textbf{u} + \textbf{v})+\textbf{w} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat $\textbf{0}=(0,0) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{0} + \textbf{u} &= \textbf{u} + \textbf{0} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (u_1,u_2) + (0,0) \\ &= (u_1+0,u_2+0) \\ &= (u_1,u_2) \\ &= \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat $-\textbf{u} = (-u_1,-u_2) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= (-\textbf{u}) + \textbf{u} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (-u_1,-u_2) + (u_1,u_2) \\ &= (-u_1+u_1,-u_2+u_2) \\ &= (0,0) \\ &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k(u_1,u_2)=(ku_1,ku_2)$$

Karena $\mathbb R$ bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, maka $ku_1,ku_2 \in \mathbb R$. Akibatnya $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u} + \textbf{v}) &= k [(u_1,u_2)+(v_1,v_2)] \\ &= k(u_1+v_1,u_2+v_2) \\ &= (k[u_1+v_1],k[u_2+v_2]) \\ &= (ku_1+kv_1,ku_2+kv_2) \\ &= (ku_1,ku_2)+(kv_1,kv_2) \\ &= k(u_1,u_2)+k(v_1,v_2) \\ &= k\textbf{u}+k\textbf{v} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan $(k+m)\textbf{u} = k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [k+m] (u_1,u_2) \\ &= ( [k+m] u_1, [k+m] u_2) \\ &= (ku_1+mu_1,ku_2+mu_2) \\ &= (ku_1,ku_2)+(mu_1,mu_2) \\ &= k(u_1,u_2)+m(u_1,u_2) \\ &= k\textbf{u}+m \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k[m(u_1,u_2)] \\ &= k(mu_1,mu_2) \\ &= (k[mu_1],k[mu_2]) \\ &= ([km]u_1, [km]u_2) \\ &= [km] (u_1,u_2) \\ &= (km) \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan $1\textbf{u}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$1\textbf{u}=1(u_1,u_2)=(1\cdot u_1,1 \cdot u_2)=(u_1,u_2)=\textbf{u}$$

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, $V$ adalah ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 2

Misalkan $V=\{(a,1) \mid a \in \mathbb R\}$. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada $V$ didefinisikan sebagai $$\begin{aligned} (a,1)+(b,1) &= (a+b,1) \\ k(a,1) &= (ka,1) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Berdasarkan definisi himpunan $V$, kita dapat menulis $$\textbf{u}=(u,1),\textbf{v}=(v,1), \text{ dan } \textbf{w}=(w,1)$$ untuk suatu $u,v,w \in \mathbb R$.

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u} + \textbf{v} = (u,1)+(v,1)=(u+v,1)$$

Karena $u,v \in \mathbb R$ dan $\mathbb R$ bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, maka $u+v \in \mathbb R$. Akibatnya, $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u}+\textbf{v} = (u,1)+(v,1) = (u+v,1)$$

Karena $u,v \in \mathbb R$ dan $\mathbb R$ memenuhi sifat komutatif penjumlahan, maka $u+v=v+u$. Akibatnya $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{v} &= (v+u,1) \\ &= (v,1)+(u,1) \\ &= \textbf{v}+\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (u,1)+ [(v,1)+(w,1)] \\ &= (u,1)+(v+w,1) \\ &= (u+[v+w],1) \end{aligned}$$

Karena $u,v,w \in \mathbb R$ dan $\mathbb R$ memenuhi sifat asosiatif penjumlahan, maka $u+[v+w]=[u+v]+w$. Akibatnya $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= ([u+v]+w,1) \\ &= (u+v,1)+(w,1) \\ &= [(u,1)+(v,1)] + (w,1) \\ &= (\textbf{u} + \textbf{v})+\textbf{w} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat $\textbf{0}=(0,1) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{0} + \textbf{u} &= \textbf{u} + \textbf{0} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (u,1) + (0,1) \\ &= (u+0,1) \\ &= (u,1) \\ &= \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat $-\textbf{u} = (-u,1) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= (-\textbf{u}) + \textbf{u} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (-u,1) + (u,1) \\ &= (-u+u,1) \\ &= (0,1) \\ &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k(u,1)=(ku,1)$$

Karena $k,u \in \mathbb R$ dan $\mathbb R$ bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, maka $ku \in \mathbb R$. Akibatnya $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= k[(u,1)+(v,1)] \\ &= k(u+v,1) \\ &= (k[u+v],1) \\ &= (ku+kv,1) \\ &= (ku,1)+(kv,1) \\ &= k(u,1)+k(v,1) \\ &= k\textbf{u}+k\textbf{v} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan $(k+m)\textbf{u} = k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [k+m] (u,1) \\ &= ([k+m]u,1) \\ &= (ku+mu,1) \\ &= (ku,1)+(mu,1) \\ &= k(u,1)+m(u,1) \\ &= k\textbf{u}+m\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k[m(u,1)] \\ &= k(mu,1) \\ &= (k[mu],1) \\ &= ([km]u,1) \\ &= [km](u,1) \\ &= (km)\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan $1\textbf{u}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$1\textbf{u}=1(u,1)=(1\cdot u,1)=(u,1)=\textbf{u}$$

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, $V$ adalah ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 3

Misalkan $V=\{(a,a,a) \mid a \in \mathbb R\}$, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar: $$\begin{aligned} (a,a,a)+(b,b,b) &= (a+b,a+b,a+b) \\ k(a,a,a) &= (ka,ka,ka) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Berdasarkan definisi himpunan $V$, kita dapat menulis $$\textbf{u}=(u,u,u),\textbf{v}=(v,v,v), \text{ dan } \textbf{w}=(w,w,w)$$ untuk suatu $u,v,w \in \mathbb R$.

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u} + \textbf{v} = (u,u,u)+(v,v,v)=(u+v,u+v,u+v)$$

Karena $u+v \in \mathbb R$, maka $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{v} &= (u,u,u)+(v,v,v) \\ &= (u+v,u+v,u+v) \\ &= (v+u,v+u,v+u) \\ &= (v,v,v)+(u,u,u) \\ &= \textbf{v}+\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (u,u,u)+ [(v,v,v)+(w,w,w)] \\ &= (u,u,u)+(v+w,v+w,v+w) \\ &= (u+[v+w],u+[v+w],u+[v+w]) \\ &= ([u+v]+w,[u+v]+w,[u+v]+w) \\ &= (u+v,u+v,u+v)+(w,w,w) \\ &= [(u,u,u)+(v,v,v)]+(w,w,w) \\ &= (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat $\textbf{0}=(0,0,0) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{0} + \textbf{u} &= \textbf{u} + \textbf{0} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (u,u,u) + (0,0,0) \\ &= (u+0,u+0,u+0) \\ &= (u,u,u) \\ &= \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat $-\textbf{u} = (-u,-u,-u) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= (-\textbf{u}) + \textbf{u} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (-u,-u,-u) + (u,u,u) \\ &= (-u+u,-u+u,-u+u) \\ &= (0,0,0) \\ &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k(u,u,u)=(ku,ku,ku)$$

Karena $ku \in \mathbb R$ maka $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= k[(u,u,u)+(v,v,v)] \\ &= k(u+v,u+v,u+v) \\ &= (k[u+v],k[u+v],k[u+v]) \\ &= (ku+kv,ku+kv,ku+kv) \\ &= (ku,ku,ku)+(kv,kv,kv) \\ &= k(u,u,u)+k(v,v,v) \\ &= k\textbf{u}+k\textbf{v} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan $(k+m)\textbf{u} = k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [k+m] (u,u,u) \\ &= ([k+m]u,[k+m]u,[k+m]u) \\ &= (ku+mu,ku+mu,ku+mu) \\ &= (ku,ku,ku)+(mu,mu,mu) \\ &= k(u,u,u)+m(u,u,u) \\ &= k\textbf{u}+m\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k[m(u,u,u)] \\ &= k(mu,mu,mu) \\ &= (k[mu],k[mu],k[mu]) \\ &= ([km]u,[km]u,[km]u) \\ &= [km](u,u,u) \\ &= (km)\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan $1\textbf{u}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$1\textbf{u}=1(u,u,u)=(1\cdot u,1\cdot u,1\cdot u)=(u,u,u)=\textbf{u}$$

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, $V$ adalah ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 4

Misalkan $V=\{(a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (a+c+2,b+d) \\ k(a,b) &= (ka+2k-2,kb) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Kita dapat menuliskan $$\textbf{u}=(u_1,u_2),\textbf{v}=(v_1,v_2), \text{ dan } \textbf{w}=(w_1,w_2)$$ untuk suatu $u_1,u_2,v_1,v_2,w_1,w_2 \in \mathbb R$.

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u} + \textbf{v} = (u_1,v_1)+(v_1,v_2)=(u_1+v_1+2,u_2+v_2)$$

Karena $u_1+v_1+2,u_2+v_2 \in \mathbb R$, maka $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{v} &= (u_1,u_2)+(v_1,v_2) \\ &= (u_1+v_1+2,u_2+v_2) \\ &= (v_1+u_1+2,v_2+u_2) \\ &= (v_1,v_2)+(u_1,u_2) \\ &= \textbf{v}+\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (u_1,u_2)+ [(v_1,v_2)+(w_1,w_2)] \\ &= (u_1,u_2)+(v_1+w_1+2,v_2+w_2) \\ &= (u_1+[v_1+w_1+2]+2,u_2+[v_2+w_2]) \\ &= ([u_1+v_1+2]+w_1+2,(u_2+v_2)+w_2) \\ &= (u_1+v_1+2,u_2+v_2)+(w_1,w_2) \\ &= [(u_1,u_2)+(v_1,v_2)]+(w_1,w_2) \\ &= (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Karena operasi penjumlahannya tidak standar, maka unsur $\textbf{0}$ belum tentu $(0,0)$. Kita perlu mencarinya terlebih dahulu.

Misalkan $\textbf{0}=(x,y)$, sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{0} &= \textbf{u} \\ (x,y)+(u_1,u_2) &= (u_1,u_2) \\ (x+u_1+2,y+u_2) &= (u_1,u_2) \end{aligned}$$

Dari persamaan di atas, diperoleh $$\begin{aligned} &x+u_1+2=u_1 \quad &\Longrightarrow \quad &x=-2 \\ &y+u_2=u_2 &\Longrightarrow \quad &y=0 \end{aligned}$$

Karena $(x,y)=(-2,0) \in V$, maka inilah vektor $\textbf{0}$ yang kita cari.

Terdapat $\textbf{0}=(-2,0) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{0} + \textbf{u} &= \textbf{u} + \textbf{0} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (u_1,u_2) + (-2,0) \\ &= (u_1+(-2)+2,u_2+0) \\ &= (u_1,u_2) \\ &= \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Serupa dengan Aksioma 4, kita perlu menentukan nilai $-\textbf{u}$. Misalkan $-\textbf{u}=(x,y)$, sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= \textbf{0} \\ (u_1,u_2)+(x,y) &= (-2,0) \quad [\text{Ingat } \textbf{0}=(-2,0)] \\ (u_1+x+2,u_2+y) &= (-2,0) \end{aligned}$$

Dari persamaan di atas, diperoleh $$\begin{aligned} &u_1+x+2=-2 \quad &\Longrightarrow \quad &x=-u_1-4\\ &u_2+y=0 &\Longrightarrow \quad &y=-u_2 \end{aligned}$$

Karena $(x,y)=(-u_1-4,-u_2) \in V$, maka inilah vektor $-\textbf{v}$ yang kita cari.

Terdapat $-\textbf{u} = (-u_1-4,-u_2) \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= (-\textbf{u}) + \textbf{u} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (-u_1-4,-u_2) + (u_1,u_2) \\ &= ([-u_1-4]+u_1+2,-u_2+u_2) \\ &= (-2,0) \\ &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k(u_1,u_2)=(ku_1+2k-2,ku_2)$$

Karena $ku_1+2k-2,ku_2 \in \mathbb R$ maka $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= k[(u_1,u_2)+(v_1,v_2)] \\ &= k(u_1+v_1+2,u_2+v_2) \\ &= (k[u_1+v_1+2]+2k-2,k[u_2+v_2]) \\ &= (ku_1+kv_1+4k-2,ku_2+kv_2) \end{aligned}$$

Di pihak lain $$\begin{aligned} k\textbf{u}+k\textbf{v} &= k(u_1,u_2)+k(v_1,v_2) \\ &= (ku_1+2k-2,ku_2)+(kv_1+2k-2,kv_2) \\ &= ([ku_1+2k-2]+[kv_1+2k-2]+2,ku_2+kv_2) \\ &= (ku_1+kv_1+4k-2,ku_2+kv_2) \end{aligned}$$

Dari kedua persamaan ini, dapat disimpulkan bahwa $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan $(k+m)\textbf{u} = k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [k+m] (u_1,u_2) \\ &= ([k+m]u_1+2[k+m]-2,[k+m]u_2) \\ &= (ku_1+mu_1+2k+2m-2,ku_2+mu_2) \\ &= ([ku_1+2k-2]+[mu_1+2m-2]+2,ku_2+mu_2) \\ &= (ku_1+2k-2,ku_2)+(mu_1+2m-2,mu_2) \\ &= k(u_1,u_2)+m(u_1,u_2) \\ &= k\textbf{u}+m\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Jika anda merasa kesulitan, coba gunakan cara yang serupa saat membuktikan berlakunya Aksioma 7.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k[m(u_1,u_2)] \\ &= k(mu_1+2m-2,mu_2) \\ &= (k[mu_1+2m-2]+2k-2,k[mu_2]) \\ &= (kmu_1+2km-2k+2k-2,k[mu_2]) \\ &= ([km]u_1+2[km]-2,[km]u_2) \\ &= [km](u_1,u_2) \\ &= (km)\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan $1\textbf{u}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$1\textbf{u}=1(u_1,u_2)=(1\cdot u_1+2\cdot 1-2,1 \cdot u_2)=(u_1,u_2)=\textbf{u}$$

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, $V$ adalah ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Himpunan $V$ didefinisikan sebagai $$V=\left\{ \begin{bmatrix} a&0\\0&b \end{bmatrix} \mid a,b \in \mathbb R \right\}$$

Pada himpunan $V$, berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar pada matriks. Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Kita dapat menuliskan $$\begin{aligned} \textbf{u} &= \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}, \text{ untuk suatu }u_1,u_2 \in \mathbb R \\ \textbf{v} &= \begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix}, \text{ untuk suatu }v_1,v_2 \in \mathbb R \\ \textbf{w} &= \begin{bmatrix}w_1&0\\0&w_2\end{bmatrix}, \text{ untuk suatu }w_1,w_2 \in \mathbb R \end{aligned}$$

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u}+\textbf{v} = \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}u_1+v_1&0\\0&u_2+v_2\end{bmatrix}$$

Karena $u_1+v_1,u_2+v_2 \in \mathbb R$, maka $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{v} &= \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}u_1+v_1&0\\0&u_2+v_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}v_1+u_1&0\\0&v_2+u_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \\ &= \textbf{v}+\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} + \left( \begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}w_1&0\\0&w_2\end{bmatrix} \right) \\ &= \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}v_1+w_2&0\\0&v_2+w_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}u_1+(v_1+w_1)&0\\0&u_2+(v_2+w_2)\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}(u_1+v_1)+w_1&0\\0&(u_2+v_2)+w_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}u_1+v_1&0\\0&u_2+v_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}w_1&0\\0&w_2\end{bmatrix} \\ &= \left( \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix}w_1&0\\0&w_2\end{bmatrix} \\ &= (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat $\textbf{0}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{0} + \textbf{u} &= \textbf{u} + \textbf{0} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}u_1+0&0\\0&u_2+0\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \\ &= \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat $-\textbf{u} = \begin{bmatrix}-u_1&0\\0&-u_2 \end{bmatrix} \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= (-\textbf{u}) + \textbf{u} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= \begin{bmatrix}-u_1&0\\0&-u_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-u_1+u_1&0\\0&-u_2+u_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} \\ &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ku_1&0\\0&ku_2\end{bmatrix}$$

Karena $ku_1,ku_2 \in \mathbb R$ maka $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= k\left( \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix} \right) \\ &= k\begin{bmatrix}u_1+v_1&0\\0&u_2+v_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}k(u_1+v_1)&0\\0&k(u_2+v_2)\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}ku_1+kv_1&0\\0&ku_2+kv_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}ku_1&0\\0&ku_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}kv_1&0\\0&kv_2\end{bmatrix} \\ &= k\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix} \\ &= k\textbf{u}+k\textbf{v} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan $(k+m)\textbf{u} = k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= (k+m) \begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}(k+m)u_1&0\\0&(k+m)u_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}ku_1+mu_1&0\\0&ku_2+mu_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}ku_1&0\\0&ku_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}mu_1&0\\0&mu_2\end{bmatrix} \\ &= k\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}+m\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \\ &= k\textbf{u}+m\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k \left( m\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \right) \\ &= k\begin{bmatrix}mu_1&0\\0&mu_2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}k(mu_1)&0\\0&k(mu_2)\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}(km)u_1&0\\0&(km)u_2\end{bmatrix} \\ &= (km)\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix} \\ &= (km)\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan $1\textbf{u}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$1\textbf{u}=1\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot u_1&0\\0&1\cdot u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1&0\\0&u_2\end{bmatrix}=\textbf{u}$$

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, $V$ adalah ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Himpunan $V$ didefinisikan sebagai $$V=\{a+bx \mid a,b \in \mathbb R\}$$ dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a+bx)+(c+dx) &= (a+c)+(b+d)x \\ k(a+bx) &= (ka)+(kb)x \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Kita dapat menuliskan $$\textbf{u}=u_1+u_2x,\textbf{v}=v_1+v_2x, \text{ dan } \textbf{w}=w_1+w_2x$$ untuk suatu $u_1,u_2,v_1,v_2,w_1,w_2 \in \mathbb R$.

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u} + \textbf{v} &= (u_1+u_2x)+(v_1+v_2x) \\ &=(u_1+v_1)+(u_2+v_2)x \end{aligned}$$

Karena $u_1+v_1,u_2+v_2 \in \mathbb R$, maka $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+\textbf{v} &= (u_1+u_2x)+(v_1+v_2x) \\ &= (u_1+v_1)+(u_2+v_2)x \\ &= (v_1+u_1)+(v_2+u_2)x \\ &= (v_1+v_2x)+(u_1+u_2x) \\ &= \textbf{v}+\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (u_1+u_2x)+([v_1+v_2x]+[w_1+w_2x]) \\ &= (u_1+u_2x)+([v_1+w_1]+[v_2+w_2]x) \\ &= (u_1+[v_1+w_1])+(u_2+[v_2+w_2])x \\ &= ([u_1+v_1]+w_1)+([u_2+v_2]+w_2)x \\ &= ([u_1+v_1]+[u_2+v_2]x)+(w_1+w_2x) \\ &= ([u_1+u_2x]+[v_1+v_2x])+(w_1+w_2x) \\ &= (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat $\textbf{0}=0+0x \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{0} + \textbf{u} &= \textbf{u} + \textbf{0} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (u_1+u_2x) + (0+0x) \\ &= (u_1+0)+(u_2+0)x \\ &= u_1+u_2x \\ &= \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat $-\textbf{u} =-u_1-u_2x \in V$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{u} + (-\textbf{u}) &= (-\textbf{u}) + \textbf{u} \quad &&[V \text{ memenuhi aksioma 2}] \\ &= (-u_1-u_2x) + (u_1+u_2x) \\ &= (-u_1+u_1)+(-u_2+u_2)x \\ &= 0+0x \\ &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k(u_1+u_2x)=(ku_1)+(ku_2)x$$

Karena $ku_1,ku_2 \in \mathbb R$ maka $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= k([u_1+u_2x]+[v_1+v_2x]) \\ &= k([u_1+v_1]+[u_2+v_2]x) \\ &= k[u_1+v_1]+(k[u_2+v_2])x \\ &= [ku_1+kv_1]+[ku_2+kv_2]x \\ &= [ku_1+ku_2x]+[kv_1+kv_2x] \\ &= k[u_1+u_2x]+k[v_1+v_2x] \\ &= k\textbf{u}+k\textbf{v} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan $(k+m)\textbf{u} = k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= (k+m)[u_1+u_2x] \\ &= (k+m)u_1+[(k+m)u_2]x \\ &= (ku_1+mu_1)+(ku_2+mu_2)x \\ &= (ku_1+ku_2x)+(mu_1+mu_2x) \\ &= k(u_1+u_2x)+m(u_1+u_2x) \\ &= k\textbf{u}+m\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k(m[u_1+u_2x]) \\ &= k([mu_1]+[mu_2]x) \\ &= k[mu_1]+(k[mu_2])x \\ &= [km]u_1+([km]u_2)x \\ &= [km](u_1+u_2x) \\ &= (km)\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan $1\textbf{u}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} 1\textbf{u} &= 1(u_1+u_2x) \\ &= (1\cdot u_1)+(1\cdot u_2)x \\ &=u_1+u_2x \\ &=\textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, $V$ adalah ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Misalkan $V=\{ (a,b,c) \mid a,b,c \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3) &= (a_1+b_1,a_2+b_2,2a_3+b_3) \\ k(a_1,a_2,a_3) &= (ka_1,ka_2,3ka_3) \end{aligned}$$

Periksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada $V$. Apakah $V$ adalah ruang vektor real?

Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb R$. Kita dapat menuliskan $$\textbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\textbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \text{ dan } \textbf{w}=(w_1,w_2,w_3)$$ untuk suatu $u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3 \in \mathbb R$.

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u} + \textbf{v} &= (u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) \\ &=(u_1+v_1,u_2+v_2,2u_3+v_3) \end{aligned}$$

Karena $u_1+v_1,u_2+v_2,2u_3+v_3 \in \mathbb R$, maka $\textbf{u} + \textbf{v} \in V$. Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Perhatikan bahwa $$\textbf{u}+\textbf{v} = (u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) = (u_1+v_1,u_2+v_2,2u_3+v_3)$$

Sedangkan $$\textbf{v}+\textbf{u} = (v_1,v_2,v_3)+(u_1,u_2,u_3) = (v_1+u_1,v_2+u_2,2v_3+u_3)$$

Ternyata $\textbf{u}+\textbf{v}$ tidak selalu sama dengan $\textbf{v}+\textbf{u}$. Keduanya bernilai sama jika $$2u_3+v_3 = 2v_3+u_3 \quad \Longrightarrow \quad u_3=v_3$$

Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita dapat memilih vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ yang memenuhi $u_3 \neq v_3$.

Himpunan $V$ tidak memenuhi aksioma 2. Terdapat $\textbf{u},\textbf{v} \in V$ sedemikian sehingga $\textbf{u}+\textbf{v} \neq \textbf{v}+\textbf{u}$. Misalnya untuk $\textbf{u}=(0,0,1)$ dan $\textbf{v}=(0,0,0)$.

Perhatikan bahwa $$\textbf{u}+\textbf{v} = (0,0,1)+(0,0,0)=(0,0,2)$$

Tetapi $$\textbf{v}+\textbf{u} = (0,0,0)+(0,0,1)=(0,0,1)$$

Aksioma 3

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (u_1,u_2,u_3)+[(v_1,v_2,v_3)+(w_1,w_2,w_3)] \\ &= (u_1,u_2,u_3)+(v_1+w_1,v_2+w_2,2v_3+w_3) \\ &= (u_1+[v_1+w_1],u_2+[v_2+w_2],2u_3+[2v_3+w_3]) \\ &= (u_1+v_1+w_1,u_2+v_2+w_2,2u_3+2v_3+w_3) \end{aligned}$$

Sedangkan $$\begin{aligned} (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} &= [(u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3)]+(w_1,w_2,w_3) \\ &= (u_1+v_1,u_2+v_2,2u_3+v_3)+(w_1,w_2,w_3) \\ &= ([u_1+v_1]+w_1,[u_2+v_2]+w_2,2[2u_3+v_3]+w_3) \\ &= (u_1+v_1+w_1,u_2+v_2+w_2,4u_3+2v_3+w_3) \end{aligned}$$

Keduanya bernilai sama, hanya jika $$2u_3+2v_3+w_3 = 4u_3+2v_3+w_3 \quad \Longrightarrow \quad u_3=0$$

Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita dapat memilih vektor $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}$ yang memenuhi $u_3 \neq 0$.

Himpunan $V$ tidak memenuhi aksioma 3. Terdapat $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ sedemikian sehingga $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) \neq (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$.

Misalnya, untuk $\textbf{u}=(0,0,1)$ dan $\textbf{v}=\textbf{w}=(0,0,0)$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w}) &= (0,0,1)+[(0,0,0)+(0,0,0)] \\ &= (0,0,1)+(0,0,0) \\ &= (0,0,2) \end{aligned}$$

Tetapi $$\begin{aligned} (\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w} &= [(0,0,1)+(0,0,0)]+(0,0,0) \\ &= (0,0,2)+(0,0,0) \\ &= (0,0,4) \end{aligned}$$

Aksioma 4

Misalkan terdapat $\textbf{0} = (a,b,c) \in V$ sedemikian sehingga $\textbf{u}+\textbf{0}=\textbf{u}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{0}+\textbf{u} &= \textbf{u} \\ (a,b,c)+(u_1,u_2,u_3) &= (u_1,u_2,u_3) \\ (a+u_1,b+u_2,2c+u_3) &= (u_1,u_2,u_3) \end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh $\textbf{0}=(0,0,0)$. Namun, di lain pihak $$\begin{aligned} \textbf{u} + \textbf{0} &= (u_1,u_2,u_3)+(0,0,0) \\ &= (u_1,u_2,2u_3) \\ &\neq \textbf{u} \end{aligned}$$

Jadi, dapat disimpulkan bahwa $V$ tidak memenuhi aksioma 4.

Aksioma 5

Aksioma 5 mensyaratkan adanya vektor nol. Karena $V$ tidak mempunyai vektor nol, maka $V$ tidak memenuhi aksioma 5.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan $k\textbf{u} \in V$. Perhatikan bahwa $$k\textbf{u}=k(u_1,u_2,u_3)=(ku_1,ku_2,3ku_3)$$

Karena $ku_1,ku_2,3ku_3 \in \mathbb R$ maka $k\textbf{u} \in V$. Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= k[(u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3)] \\ &= k(u_1+v_1,u_2+v_2,2u_3+v_3) \\ &= (k[u_1+v_1]+k[u_2+v_2],3k[2u_3+v_3]) \\ &= (ku_1+kv_1,ku_2+kv_2,6ku_3+3kv_3) \\ &= (ku_1+kv_1,ku_2+kv_2,2(3ku_3)+3kv_3) \\ &= (ku_1,ku_2,3ku_3)+(kv_1,kv_2,3kv_3) \\ &= k(u_1,u_2,u_3)+k(v_1,v_2,v_3) \\ &= k\textbf{u}+k\textbf{v} \end{aligned}$$

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [k+m] (u_1,u_2,u_3) \\ &= ([k+m]u_1,[k+m]u_2,3[k+m]u_3) \\ &= (ku_1+mu_1,ku_2+mu_2,3ku_3+3mu_3) \end{aligned}$$

Sedangkan $$\begin{aligned} k\textbf{u} + m\textbf{u} &= k(u_1,u_2,u_3)+m(u_1,u_2,u_3) \\ &= (ku_1,ku_2,3ku_3)+(mu_1,mu_2,3mu_3) \\ &= (ku_1+mu_1,ku_2+mu_2,2[3ku_3]+3mu_3) \\ &= (ku_1+mu_1,ku_2+mu_2,6ku_3+3mu_3) \end{aligned}$$

Keduanya bernilai sama, hanya jika $$3ku_3+3mu_3=6ku_3+3mu_3 \quad \Longrightarrow \quad ku_3=0$$

Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita dapat memilih skalar tak nol $k$ dan vektor $\textbf{u}$ yang memenuhi $u_3 \neq 0$.

Himpunan $V$ tidak memenuhi aksioma 8. Terdapat $k,m \in \mathbb{R}$ dan $\textbf{u} \in V$ sedemikian sehingga $(k+m)\textbf{u} \neq k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Misalnya, untuk $k=1$, $m=0$, dan $\textbf{u}=(0,0,2)$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [1+0] (0,0,2) \\ &= 1(0,0,2) \\ &= (0,0,6) \end{aligned}$$

Tetapi $$\begin{aligned} k\textbf{u}+m\textbf{u} &= 1(0,0,2)+0(0,0,2) \\ &= (0,0,6)+(0,0,0) \\ &= (0,0,12) \end{aligned}$$

Aksioma 9

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= k[m(u_1,u_2,u_3)] \\ &= k(mu_1,mu_2,3mu_3) \\ &= (k[mu_1],k[mu_2],3k[3mu_3]) \\ &= (kmu_1,kmu_2,9kmu_3) \end{aligned}$$

Sedangkan $$\begin{aligned} (km)\textbf{u} &= [km](u_1,u_2,u_3) \\ &= ([km]u_1,[km]u_2,3[km]u_3) \\ &= (kmu_1,kmu_2,3kmu_3) \end{aligned}$$

Keduanya bernilai sama, hanya jika $u_3=0$, $k=0$, atau $m=0$.

Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita dapat memilih skalar tak nol (misalnya $k=m=1$) dan vektor $\textbf{u}$ yang memenuhi $u_3 \neq 0$.

Himpunan $V$ tidak memenuh aksioma 9. Terdapat $k,m \in \mathbb{R}$ dan $\textbf{u} \in V$ sedemikian sehingga $k(m\textbf{u}) \neq (km)\textbf{u}$. Misalnya untuk $k=m=1$, dan $\textbf{u}=(0,0,2)$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= 1[1(0,0,2)] \\ &= 1(0,0,6) \\ &= (0,0,18) \end{aligned}$$

Tetapi $$\begin{aligned} (km)\textbf{u} &= [1 \cdot 1](0,0,2) \\ &= 1(0,0,2) \\ &= (0,0,6) \end{aligned}$$

Aksioma 10

Perhatikan bahwa $$1\textbf{u} = 1(u_1,u_2,u_3)=(u_1,u_2,3u_3)$$

Ternyata $1\textbf{u}$ tidak selalu sama dengan $\textbf{u}$. Keduanya bernilai sama, jika $u_3=0$.

Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita dapat memilih vektor $\textbf{u}$ yang memenuhi $u_3 \neq 0$.

Himpunan $V$ tidak memenuhi aksioma 10. Terdapat $\textbf{u}=(0,0,2) \in V$ sedemikian sehingga $$1\textbf{u}=1(0,0,2)=(0,0,6) \neq \textbf{u}$$

Himpunan $V$ tidak memenuhi lima aksioma ruang vektor. Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 8

Misalkan $V=\{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (a+c,b+d) \\ k(a,b) &= (2ka,2kb) \end{aligned}$$

Diketahui bahwa $V$ bukan ruang vektor real. Jelaskan aksioma ruang vektor yang gagal dipenuhi oleh $V$.

Himpunan $V$ tidak memenuhi aksioma ruang vektor berikut.

Aksioma 9

Terdapat $k,m \in \mathbb{R}$ dan $\textbf{u} \in V$ sedemikian sehingga $k(m\textbf{u}) \neq (km)\textbf{u}$. Misalnya, untuk $k=m=1$, dan $\textbf{u}=(0,1)$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(m\textbf{u}) &= 1[1(0,1)] \\ &= 1(2 \cdot 1 \cdot 0,2 \cdot 1 \cdot 1) \\ &= 1(0,2) \\ &= (2 \cdot 1 \cdot 0, 2 \cdot 1 \cdot 2) \\ &= (0,4) \end{aligned}$$

Tetapi $$\begin{aligned} (km)\textbf{u} &= [1 \cdot 1](0,1) \\ &= 1(0,1) \\ &= (2 \cdot 1 \cdot 0,2 \cdot 1 \cdot 1) \\ &= (0,2) \end{aligned}$$

Aksioma 10

Terdapat $\textbf{u}=(0,1) \in V$ sedemikian sehingga $$1 \textbf{u} = 1(0,1) = (0,2) \neq \textbf{u}$$

Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 9

Misalkan $V=\{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (0,0) \\ k(a,b) &= (0,0) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Himpunan $V$ tidak memenuhi aksioma 4. Perhatikan bahwa $\textbf{u}=(0,1) \in V$, tetapi tidak ada $\textbf{0} \in V$ yang memenuhi $$\textbf{v}+\textbf{0}=\textbf{0}+\textbf{v}=\textbf{v}$$

Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 10

Himpunan $V$ didefinisikan sebagai $\{(a,b) \mid a,b \in \mathbb R \text{ dan } a\geq 0\}$ dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar. Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Dapat diperiksa bahwa $V$ memenuhi Aksioma 4, dengan $\textbf{0}=(0,0)$. Namun, $V$ tidak memenuhi Aksioma 5, karena $(1,0) \in V$ tetapi tidak ada $(x,y) \in V$ yang memenuhi $$(x,y)+(1,0)=(0,0)$$

Persamaan di atas hanya mempunyai satu solusi di himpunan bilangan real, yaitu $(-1,0)$. Akan tetapi, $(-1,0) \notin V$. Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 11

Misalkan $V=\{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (a+c-1,b+d) \\ k(a,b) &= (ka,kb) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ merupakan ruang vektor real.

Himpunan $V$ tidak memenuhi Aksioma 7. Terdapat $\textbf{u},\textbf{v} \in V$ dan $k \in \mathbb R$ sedemikian sehingga $k(\textbf{u}+\textbf{v}) \neq k\textbf{u}+k\textbf{v}$. Misalnya untuk $\textbf{u}=(1,0)$, $\textbf{v}=(0,1)$, dan $k=2$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k(\textbf{u}+\textbf{v}) &= 2[(1,0)+(0,1)] \\ &= 2(1+0-1,0+1) \\ &= 2(0,1) \\ &= (0,2) \end{aligned}$$

Tetapi $$\begin{aligned} k\textbf{u}+k\textbf{v} &= 2(1,0)+2(0,1) \\ &= (2,0)+(0,2) \\ &= (2+0-1,0+2) \\ &= (1,2) \end{aligned}$$

Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 12

Misalkan $V=\{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (a+c,b+d) \\ k(a,b) &= (k^2a,k^2b) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Himpunan $V$ tidak memenuhi Aksioma 8. Terdapat $k,m \in \mathbb R$ dan $\textbf{u} \in V$ sedemikian sehingga $(k+m)\textbf{u} \neq k\textbf{u}+m\textbf{u}$. Misalnya untuk $k=-1$, $m=1$, dan $\textbf{u}=(2,3)$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (k+m)\textbf{u} &= [-1+1](2,3) \\ &= 0(2,3) \\ &= (0^2 \cdot 2,0^2 \cdot 3) \\ &= (0,0) \end{aligned}$$

Tetapi $$\begin{aligned} k\textbf{u}+m\textbf{u} &= [-1](2,3)+1(2,3) \\ &= ([-1]^2 \cdot 2,[-1]^2 \cdot 3)+(1^2\cdot 2,1^2 \cdot 3) \\ &= (2,3)+(2,3) \\ &= (4,6) \end{aligned}$$

Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan
✶ Nomor 13

Misalkan $V=\{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb R\}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar: $$\begin{aligned} (a,b)+(c,d) &= (a+c,b+d) \\ k(a,b) &= (ka,0) \end{aligned}$$

Periksa apakah $V$ adalah ruang vektor real.

Himpunan $V$ tidak memenuhi Aksioma 10. Terdapat $\textbf{u}=(2,1) \in V$ sedemikian sehingga $$1\textbf{u}=1(2,1)=(1\cdot 2,0)=(2,0) \neq \textbf{u}$$

Dengan demikian, $V$ bukan ruang vektor real.

Pembahasan