Soal dan Pembahasan - Transformasi Linear
Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor. Berdasarkan definisi, keduanya merupakan himpunan tak kosong, sehingga kita bisa membentuk sebuah pemetaan (fungsi) dengan domain $V$ dan kodomain $W$ (atau sebaliknya).
Sebuah pemetaan dari $V$ ke $W$ disebut transformasi linear jika memenuhi syarat tertentu. Apa syaratnya? Simak baik-baik isi tulisan ini. :)
Daftar Isi
Definisi Transformasi Linear
Definisi
Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor. Pemetaan $T:V \to W$ disebut transformasi linear jika dan hanya jika
- $T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$
- $T(k\textbf{u})=kT(\textbf{u})$
untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Lebih khusus, jika $V=W$ maka $T$ disebut operator linear.
Operasi penjumlahan vektor pada $V$ dan $W$ mungkin berbeda, sehingga kita perlu memperhatikan vektor yang dijumlahkan. Perhatikan syarat pertama pada definisi transformasi linear. $$T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$$
Vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ dipandang sebagai anggota $V$, sehingga digunakan operasi penjumlahan vektor pada $V$. Adapun $T(\textbf{u})$ dan $T(\textbf{v})$ dipandang sebagai anggota $W$, sehingga digunakan operasi penjumlahan vektor pada $W$. Hal yang sama berlaku pada operasi perkalian skalar.
Soal dan Pembahasan
Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor. Jika $T: V \to W$ adalah transformasi linear, maka buktikan bahwa $T(\textbf{0}) = \textbf{0}$
Diambil sebarang $\textbf{u} \in V$. Karena $\textbf{0} = 0\textbf{u}$, maka $$T(\textbf{0}) = T(0\textbf{u}) = 0T(\textbf{u}) = \textbf{0}$$ Terbukti.
Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor. Jika $T: V \to W$ adalah transformasi linear dan $\textbf{u} \in V$, maka buktikan bahwa $T(-\textbf{u}) = -T(\textbf{u})$
Diambil sebarang $\textbf{u} \in V$. Karena $-\textbf{u} = (-1)\textbf{u}$, maka $$T(-\textbf{u}) = T((-1)\textbf{u}) = (-1)T(\textbf{u}) = -T(\textbf{u})$$ Terbukti.
Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor. Jika $T: V \to W$ adalah transformasi linear dan $\textbf{u}, \textbf{v} \in V$, maka buktikan bahwa $T(\textbf{u}-\textbf{v}) = T(\textbf{u})-T(\textbf{v})$
Diambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Karena $\textbf{u}-\textbf{v} = \textbf{u}+(-\textbf{v})$, maka $$\begin{aligned} T(\textbf{u}-\textbf{v}) &= T(\textbf{u}+(-\textbf{v})) \\ &= T(\textbf{u}) + T(-\textbf{v}) \\ &= T(\textbf{u})+(-T(\textbf{v})) \\ &= T(\textbf{u})-T(\textbf{v}) \end{aligned}$$ Terbukti.
Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor dan $\textbf{0} \in W$ adalah vektor nol. Pemetaan $T:V \to W$ didefinisikan sebagai $$T(\textbf{v}) = \textbf{0}, \text{ untuk setiap } \textbf{v} \in V$$ Tunjukkan bahwa $T$ adalah transformasi linear.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &T(\textbf{u} + \textbf{v}) = \textbf{0} = \textbf{0} + \textbf{0} = T(\textbf{u})+T(\textbf{v}) \\ &T(k\textbf{u}) = \textbf{0} = k\textbf{0} = k T(\textbf{u}) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor. Pemetaan $T:V \to V$ didefinisikan sebagai $$T(\textbf{v}) = \textbf{v}, \text{ untuk setiap } \textbf{v} \in V$$ Tunjukkan bahwa $T$ adalah transformasi linear.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &T(\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}}) = \textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} = T(\textbf{u})+T(\textbf{v}) \\ &T(\textcolor{blue}{k\textbf{u}}) = \textcolor{blue}{k\textbf{u}} = k T(\textbf{u}) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $m$ suatu skalar. Pemetaan $T:V \to V$ didefinisikan sebagai $$T(\textbf{v}) = m\textbf{v}, \text{ untuk setiap } \textbf{v} \in V$$ Tunjukkan bahwa $T$ adalah transformasi linear.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T(\textbf{u} + \textbf{v}) &= m(\textbf{u} + \textbf{v}) \\ &= m\textbf{u} + m\textbf{v} \\ &= T(\textbf{u})+T(\textbf{v}) \end{aligned}$$
Selain itu $$\begin{aligned} T(k\textbf{u}) &= m(k\textbf{u}) \\ &= (mk) \textbf{u} \\ &= (km) \textbf{u} \\ &= k(m\textbf{u}) \\ &= kT(\textbf{u}) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $\textbf{p}=p(x)=k_0+k_1x+\ldots+k_nx^n$ adalah polinom dalam $P_n$. Pemetaan $T:P_n \to P_{n+1}$ didefinisikan sebagai $$T(\textbf{p})=T(p(x)) = xp(x) = k_0x+k_1x^2+\ldots+k_nx^{n+1}$$ Tunjukkan bahwa $T$ adalah transformasi linear.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{p}_1,\textbf{p}_2 \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T(\textbf{p}_1 + \textbf{p}_2) &= T(p_1(x) + p_2(x)) \\ &= x(p_1(x) + p_2(x)) \\ &= xp_1(x) + xp_2(x) \\ &= T(p_1(x)) + T(p_2(x)) \\ &= T(\textbf{p}_1)+T(\textbf{p}_2) \end{aligned}$$
Selain itu $$\begin{aligned} T(k\textbf{p}) &= T(kp_1(x)) \\ &= x(kp_1(x)) \\ &= k(xp_1(x)) \\ &= kT(p_1(x)) \\ &= kT(\textbf{p}_1) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Pemetaan $T:M_{2 \times 2} \to M_{2 \times 2}$ didefinisikan sebagai $$T(A)=A+A^T, \text{ untuk setiap } A \in M_{2 \times 2}$$ Periksa apakah $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $A,B \in M_{2 \times 2}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T(\textcolor{blue}{A+B}) &= (\textcolor{blue}{A+B}) + (\textcolor{blue}{A+B})^T \\ &= (A+B) + (A^T+B^T) \\ &= (A+A^T) + (B+B^T) \\ &= T(A) + T(B) \end{aligned}$$
Selain itu $$\begin{aligned} T(\textcolor{green}{kA}) &= \textcolor{green}{kA} + (\textcolor{green}{kA})^T \\ &= kA + kA^T \\ &= k(A+A^T) \\ &= kT(A) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Pemetaan $T:M_{2 \times 2} \to M_{2 \times 2}$ didefinisikan sebagai $$T(A)=\text{tr}(A), \text{ untuk setiap } A \in M_{2 \times 2}$$ Periksa apakah $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $k$ adalah skalar dan $A,B \in M_{2 \times 2}$, dengan $$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}, \;B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &A+B = \begin{bmatrix}a_1+b_1&a_2+b_2\\a_3+b_3&a_4+b_4\end{bmatrix} &kA = \begin{bmatrix}ka_1&ka_2\\ka_3&ka_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$
Sehingga $$\begin{aligned} T(A+B) &= \text{tr}(A+B) \\ &= (a_1+b_1)+(a_4+b_4) \\ &= (a_1+a_4)+(b_1+b_4) \\ &= \text{tr}(A)+\text{tr}(B) \\ &= T(A)+T(B) \end{aligned}$$ dan $$\begin{aligned} T(kA) &= \text{tr}(kA) \\ &= ka_1+ka_4 \\ &= k(a_1+a_4) \\ &= k \: \text{tr}(A) \\ &= kT(A) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Pemetaan $T:M_{2 \times 2} \to M_{2 \times 2}$ didefinisikan sebagai $$T(A)=A^2, \text{ untuk setiap } A \in M_{2 \times 2}$$ Periksa apakah $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $k$ adalah skalar dan $A \in M_{2 \times 2}$. Perhatikan bahwa $$T(\textcolor{blue}{kA})=(\textcolor{blue}{kA})^2=k^2A^2$$ dan $$kT(A) = kA^2$$
Jika $A$ adalah matriks nol maka keduanya bernilai sama. Namun, jika $A$ bukan matriks nol, keduanya bernilai sama hanya jika $k=0$ atau $1$.
Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita bisa memilih matriks identitas dan $k=2$.
Terdapat skalar $k=2$ dan $\textbf{I} \in M_{2 \times 2}$ sedemikian sehingga $$T(k \textbf{I}) = T(2 \textbf{I}) = (2\textbf{I})^2 = 4 \textbf{I}^2=4\textbf{I}$$ tetapi $$kT(\textbf{I}) = 2T(\textbf{I})=2 \textbf{I}^2=2\textbf{I}$$
Karena $T(k \textbf{I}) \neq kT(\textbf{I})$, maka $T$ bukan transformasi linear.
Pemetaan $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $$T(\textbf{u})=\| \textbf{u} \|, \text{ untuk setiap } \textbf{u} \in \mathbb{R}^3$$ Periksa apakah $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{u} \in \mathbb{R}^3$. Perhatikan bahwa $$T(k\textbf{u})=\| k\textbf{u} \| = |k| \cdot \| \textbf{u} \|$$ dan $$kT(\textbf{u}) = k \cdot \| \textbf{u} \|$$
Jika $\textbf{u}$ bukan vektor nol, maka keduanya bernilai sama hanya jika $k \geq 0$. Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita bisa memilih vektor $\textbf{u}=(1,0,0)$ dan skalar $k=-1$.
Terdapat skalar $k=-1$ dan $\textbf{u}=(1,0,0) \in \mathbb{R}^3$ sedemikian sehingga $$T(k\textbf{u}) = T(-1,0,0) = \| (-1,0,0) \| = 1$$ tetapi $$kT(\textbf{u}) = (-1) \cdot T(1,0,0) = (-1) \cdot 1 = -1$$
Karena $T(kA) \neq kT(A)$, maka $T$ bukan transformasi linear.
Misalkan $\textbf{w}$ adalah suatu vektor dalam $\mathbb{R}^3$. Pemetaan $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ didefinisikan sebagai $$T(\textbf{u})=\textbf{u} \times \textbf{w}, \text{ untuk setiap } \textbf{u} \in \mathbb{R}^3$$ Periksa apakah $T$ adalah transformasi linear.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T(\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}}) &= (\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}}) \textbf{w} \\ &= \textbf{u} \times \textbf{w} + \textbf{v} \times \textbf{w} \\ &= T(\textbf{u})+T(\textbf{v}) \end{aligned}$$
Selain itu $$\begin{aligned} T(\textcolor{blue}{k\textbf{u}}) &= (\textcolor{blue}{k\textbf{u}}) \times \textbf{w} \\ &= k(\textbf{u} \times \textbf{w}) \\ &= k T(\textbf{u}) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Pemetaan $T:P_3 \to P_2$ didefinisikan sebagai $$T(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=5a_0+a_3x^2$$ Periksa apakah $T$ adalah transformasi linear.
Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{p},\textbf{q} \in P_3$, dengan $$\begin{aligned} \textbf{p} &= p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \\ \textbf{q} &= q(x) = b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T(\textbf{p}+\textbf{q}) &= T(p(x)+q(x)) \\ &= T([\textcolor{blue}{a_0+b_0}]+[a_1+b_1]x+[a_2+b_2]x^2+[\textcolor{green}{a_3+b_3}]x^3) \\ &= 5(\textcolor{blue}{a_0+b_0}) + (\textcolor{green}{a_3+b_3}) x^2 \\ &= (5a_0+5b_0) + (a_3x^2+b_3x^2) \\ &= (5a_0+a_3x^2) + (5b_0+b_3x^2) \\ &= T(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) + T(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3) \\ &= T(p(x)) + T(q(x)) \\ &= T(\textbf{p}) + T(\textbf{q}) \end{aligned}$$
Selain itu $$\begin{aligned} T(k\textbf{p}) &= T(kp(x)) \\ &= T(\textcolor{blue}{ka_0}+ka_1x+ka_2x^2+\textcolor{green}{ka_3}x^3) \\ &= 5 \textcolor{blue}{ka_0} + \textcolor{green}{ka_3} x^3 \\ &= k(5a_0+a_3x^2) \\ &= kT(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) \\ &= kT(p(x)) \\ &= kT(\textbf{p}) \end{aligned}$$
Dengan demikian, $T$ adalah transformasi linear.
Himpunan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2\}$ adalah basis dari $\mathbb{R}^2$, dengan $\textbf{v}_1=(1,0)$ dan $\textbf{v}_2=(-2,1)$. Misalkan $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ adalah transformasi linear yang memenuhi $$T(\textbf{v}_1)=(3,0,2) \text{ dan } T(\textbf{v}_2)=(-1,2,-4)$$
Temukan formula untuk $T(x_1,x_2)$, lalu gunakan formula tersebut untuk menentukan $T(-3,2)$
Pertama, kita perlu menyatakan $(x_1,x_2)$ sebagai kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$ dan $\textbf{v}_2$, yaitu $$(x_1,x_2) = k_1(1,0) + k_2(-2,1) = (k_1-2k_2,k_2)$$ untuk suatu skalar $k_1$ dan $k_2$. Berdasarkan kesamaan dua vektor pada $\mathbb{R}^2$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\:-\:&2k_2 \:=\: &x_1 \\ &&k_2 \:=\: &x_2 \end{alignat*}\right.$$
Sistem persamaan ini mempunyai solusi: $k_1=x_1+2x_2$, $k_2=x_2$ (Periksa!). Akibatnya $$\begin{aligned} T(x_1,x_2) &= T(k_1\textbf{v}_1 + k_2\textbf{v}_2) \\ &= \textcolor{blue}{k_1} T(\textbf{v}_1) + \textcolor{green}{k_2} T(\textbf{v}_2) \\ &= (\textcolor{blue}{x_1+2x_2}) (3,0,2) + \textcolor{green}{x_2} (-1,2,-4) \\ &= (3x_1+6x_2,0,2x_1+4x_2) + (-x_2,2x_2,-4x_2) \\ &= (3x_1+5x_2,2x_2,2x_1) \end{aligned}$$
Dengan demikian, nilai dari $T(-3,2)$ adalah $$\begin{aligned} T(\textcolor{blue}{-3},\textcolor{green}{2}) &= (3(\textcolor{blue}{-3}) + 5 \cdot \textcolor{green}{2}, 2 \cdot \textcolor{green}{2}, 2(\textcolor{blue}{-3})) \\ &= (-9+10,4,-6) \\ &= (1,4,-6) \end{aligned}$$