Pembahasan Soal - Basis dan Dimensi

Diperbarui 5 Mei 2022 — 18 Soal

Basis dan dimensi adalah dua materi ruang vektor yang memiliki kaitan erat. Basis ruang vektor adalah himpunan bebas linear yang merentang ruang vektor tersebut. Banyak vektor pada basis ruang vektor disebut dimensi dari ruang vektor.

Definisi Basis dan Dimensi

Mari memulai dengan definisi ruang vektor berdimensi hingga.

Definisi

Ruang vektor $V$ disebut berdimensi hingga jika terdapat himpunan berhingga dari vektor-vektor dalam $V$ yang merentang ruang vektor tersebut.

Sebagai contoh, $\mathbb{R}^2$ adalah ruang vektor berdimensi hingga, karena terdapat himpunan $\{(1,0),(0,1)\}$ yang merentang $\mathbb{R}^2$. Himpunan polinomial berderajat n atau kurang juga berdimensi hingga, karena ruang vektor ini direntang oleh himpunan berhingga $\{1,x,\ldots,x^n\}$.

Definisi

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ adalah himpunan vektor-vektor dalam $V$. Himpunan $S$ disebut basis dari $V$ jika dan hanya jika $S$ bebas linear dan merentang $V$.

Sebelumnya, telah dibahas bahwa himpunan $\{(1,0),(0,1)\}$ merentang ruang vektor $\mathbb{R}^2$. Karena $(1,0)$ bukan kelipatan skalar dari $(0,1)$, begitupun sebaliknya, maka himpunan ini bebas linear. Karena memenuhi dua syarat yang diberikan, maka $\{(1,0),(0,1)\}$ merupakan basis dari $\mathbb{R}^2$.

Berdasarkan definisi, sebuah himpunan harus bebas linear dan merentang ruang vektor untuk menjadi basis. Jika yang dipenuhi hanya salah satunya, misalnya bebas linear saja, maka himpunan tersebut bukan basis dari ruang vektor.

Sebagai contoh, $S=\{x,x^2\}$ merupakan himpunan bebas linear dalam ruang vektor $P_2$. Meski demikian, himpunan ini bukan basis karena tidak merentang $P_2$ (polinomial dengan konstanta tak nol, seperti $1+x$ tidak dapat dibentuk dari kombinasi linear anggota-anggota $S$).

Definisi

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga. Dimensi dari $V$, disimbolkan sebagai $\text{dim }V$, merupakan banyaknya vektor yang menjadi anggota sebuah basis dari $V$.

Berdasarkan definisi ini, kita tahu bahwa $\mathbb{R}^n$ mempunyai dimensi $n$ dan $P_n$ mempunyai dimensi $n+1$. Meskipun basis dari sebuah ruang vektor tidak tunggal, tetapi basis-basis tersebut mempunyai banyak anggota yang sama, sehingga dimensi ruang vektor bersifat tunggal.

Teorema Mengenai Basis dan Dimensi

Pada bagian ini, kita akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan basis dan dimensi ruang vektor. Mari memulai dengan ketunggalan representasi basis.

Teorema 1

Jika $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ adalah basis dari ruang vektor $V$, maka setiap vektor $\textbf{v} \in V$ dapat dinyatakan dalam bentuk $$\textbf{v}=k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_n\textbf{v}_n$$ dengan tepat satu cara.

Teorema 2

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $S$ adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor dalam $V$. Jika $S$ merentang $V$ tetapi bukan basis, maka $S$ dapat direduksi menjadi basis dari $V$ dengan mengeluarkan vektor-vektor tertentu dari $S$.

Teorema 3

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $S$ adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor dalam $V$. Jika $S$ bebas linear tetapi bukan basis, maka $S$ dapat diperluas menjadi basis dari $V$ dengan menambahkan vektor-vektor tertentu ke dalam $S$.

Teorema berikutnya bisa meringankan kita dalam memeriksa basis, jika sebuah himpunan mempunyai kardinalitas yang sama dengan dimensi ruang vektor. Dengan ini, kita cukup menunjukkan bahwa salah satu syarat basis terpenuhi, bebas linear atau merentang ruang vektor.

Teorema 4

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi $n$ dan $S$ adalah himpunan vektor dalam $V$ dengan tepat $n$ anggota. Maka $S$ adalah basis dari $V$ jika dan hanya jika $S$ bebas linear atau $S$ merentang $V$.

Teorema 5

Jika $U$ dan $W$ adalah subruang dari sebuah ruang vektor berdimensi hingga, maka $$\text{dim }(U+W) = \text{dim }U+\text{dim }W-\text{dim }(U \cap W)$$

Contoh Soal Basis dan Dimensi

✶ Nomor 1

Misalkan $\textbf{v}_1=(3,1,-4)$, $\textbf{v}_2=(2,5,6)$, dan $\textbf{v}_1=(1,4,8)$. Tunjukkan bahwa himpunan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_3\}$ bebas linear dan merentang $\mathbb{R}^3$, sehingga merupakan basis dari $\mathbb{R}^3$.

Kita perlu menunjukkan bahwa $S$ bebas linear dan merentang $\mathbb{R}^3$. Untuk membuktikan $S$ bebas linear, perlu ditunjukkan bahwa persamaan vektor $$c_1\textbf{v}_1+c_2\textbf{v}_2+c_3\textbf{v}_3=\textbf{0} \qquad \ldots (1)$$ hanya mempunyai solusi trivial. Sedangkan untuk membuktikan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$, perlu ditunjukkan bahwa untuk setiap $\textbf{b}=(b_1,b_2,b_3) \in \mathbb{R}^3$ persamaan vektor berikut mempunyai solusi (konsisten). $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+k_3\textbf{v}_3=\textbf{b} \qquad \ldots (2)$$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh dua sistem persamaan linear, yaitu $$\begin{alignat*}{3} 3c_1 & \:+\: & 2c_2 & \:+\: & c_3 \:=\; &0 \\ c_1 & \:+\: & 5c_2 & \:+\: & 4c_3 \:=\; &0 \\ -4c_1 & \:+\: & 6c_2 & \:+\: & 8c_3 \:=\; &0 \end{alignat*}$$ dan $$\begin{alignat*}{3} 3c_1 & \:+\: & 2c_2 & \:+\: & c_3 \:=\; &b_1 \\ c_1 & \:+\: & 5c_2 & \:+\: & 4c_3 \:=\; &b_2 \\ -4c_1 & \:+\: & 6c_2 & \:+\: & 8c_3 \:=\; &b_3 \end{alignat*}$$

Keduanya mempunyai matriks koefisien yang sama, yaitu $$A=\begin{bmatrix}3&2&1\\1&5&4\\-4&6&8\end{bmatrix}$$

Karena $\text{det}(A)=26\neq 0$, maka SPL pertama hanya mempunyai solusi trivial dan SPL kedua konsisten untuk setiap nilai $b_1$, $b_2$, dan $b_3$. Dengan kata lain, himpunan $S$ bebas linear dan merentang $\mathbb{R}^3$. Jadi, $S$ merupakan basis dari $\mathbb{R}^3$.

Pembahasan
✶ Nomor 2

Tunjukkan bahwa vektor $\textbf{v}_1=(-1,0,2)$, $\textbf{v}_2=(3,0,0)$, dan $\textbf{v}_3=(2,0,4)$ tidak membentuk basis untuk $\mathbb{R}^3$.

Perhatikan bahwa komponen kedua dari vektor-vektor tersebut adalah $0$, sehingga tidak ada cara untuk menyatakan vektor $(1,2,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$, $\textbf{v}_2$, dan $\textbf{v}_3$. Akibatnya, ketiga vektor tersebut tidak merentang $\mathbb{R}^3$, sehingga tidak membentuk basis untuk $\mathbb{R}^3$.

Pembahasan
✶ Nomor 3

Tunjukkan bahwa polinomial berikut tidak membentuk basis untuk $P_2$. $$1-3x+2x^2,\:\:1+x+4x^2,\:\:1-7x$$

Perhatikan bahwa $$1-7x=2(1-3x+2x^2)-(1+x+4x^2)$$

Karena salah satu vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya, maka ketiga vektor tersebut tidak bebas linear. Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membentuk basis untuk $P_2$.

Pembahasan
✶ Nomor 4

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ adalah basis untuk ruang vektor $V$. Tunjukkan bahwa setiap vektor $\textbf{v} \in V$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai $$\textbf{v}=k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_n\textbf{v}_n$$

Karena $S$ merentang $V$, maka setiap vektor $\textbf{v}$ dalam $V$ dapat dinyatakan sebagai $$\textbf{v}=k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_n\textbf{v}_n \qquad \ldots(1)$$ dengan $k_1,k_2,\ldots,k_n$ skalar. Untuk membuktikan bahwa representasi ini tunggal, misalkan $c_1,c_2,\ldots,c_n$ adalah skalar yang juga memenuhi $$\textbf{v}=c_1\textbf{v}_1+c_2\textbf{v}_2+\ldots+c_n\textbf{v}_n \qquad \ldots(2)$$

Dengan mengurangkan kedua persamaan, diperoleh $$\textbf{0}=(k_1-c_1)\textbf{v}_1+(k_2-c_2)\textbf{v}_2+\ldots+(k_n-c_n)\textbf{v}_n$$

Karena $S$ bebas linear, maka persamaan di atas hanya mempunyai solusi trivial, yaitu $$\begin{aligned} k_1-c_1 &= 0 \\ k_2-c_2 &= 0 \\ &\vdots \\ k_n-c_n &= 0 \end{aligned}$$

Akibatnya $$k_1=c_1,\;\; k_2=c_2,\;\;\ldots \;\;,\;\;k_n=c_n$$

Sehingga $(1)$ dan $(2)$ merupakan representasi yang sama. Dengan demikian, representasi tersebut bersifat tunggal. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $S$ adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor dalam $V$. Jika $S$ merentang $V$ tetapi bukan basis, maka buktikan bahwa $S$ dapat direduksi menjadi basis dari $V$.

Karena $S$ merentang $V$ tetapi bukan basis, maka $S$ bukan himpunan bebas linear. Artinya, terdapat vektor $\textbf{u} \in S$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Dengan mengeluarkan $\textbf{u}$ dari $S$, diperoleh himpunan baru yang tetap merentang $V$.

Jika himpunan tersebut bebas linear, maka itu merupakan basis dari $V$. Jika tidak, maka kita perlu mengeluarkan vektor lain yang membuatnya bergantung linear. Proses ini dapat terus diulangi, hingga diperoleh himpunan $S'$ yang bebas linear. Karena $S'$ juga merentang $V$, maka $S'$ merupakan basis dari $V$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $S$ adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor dalam $V$. Jika $S$ bebas linear tetapi bukan basis dari $V$, maka buktikan bahwa $S$ dapat diperluas menjadi basis dari $V$.

Karena $S$ bebas linear tetapi bukan basis, maka himpunan $S$ tidak merentang $V$. Artinya, terdapat vektor $\textbf{u}_1 \in V$ yang berada di luar $\text{span}(S)$. Dengan menambahkan $\textbf{u}_1$ pada $S$, diperoleh himpunan $S_1=S \cup \{\textbf{u}_1\}$ yang tetap bebas linear.

Jika $S_1$ merentang $V$, maka himpunan tersebut merupakan basis dari $V$. Jika tidak, maka kita perlu menambahkan vektor lain yang berada di luar $\text{span}(S_1)$. Proses ini dapat terus diulangi, hingga diperoleh himpunan $S'$ yang merentang $V$. Karena $S'$ juga bebas linear, maka $S'$ merupakan basis dari $V$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Misalkan $U$ subruang dari $\mathbb{R}^5$ yang didefinisikan sebagai $$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \mathbb{R}^5 : x_1=3x_2 \:\:\text{ dan }\:\: x_3=7x_4\}$$ Tentukan basis dari $U$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) &= (3x_2,x_2,7x_4,x_4,x_5) \\[3pt] &= (3x_2,x_2,0,0,0)+(0,0,7x_4,x_4,0)+(0,0,0,0,x_5) \\[3pt] &= x_2\:(3,1,0,0,0)+x_4\:(0,0,7,1,0)+x_5\:(0,0,0,0,1)\end{aligned}$$

Dari ekspresi di atas, terlihat bahwa vektor-vektor berikut merentang $U$. $$\begin{aligned} \textbf{u}_1 &= (3,1,0,0,0) \\[2pt] \textbf{u}_2 &= (0,0,7,1,0) \\[2pt] \textbf{u}_3 &= (0,0,0,0,1) \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa $\textbf{u}_1$ tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\textbf{u}_2$ dan $\textbf{u}_3$, karena keduanya mempunyai komponen pertama $0$ sedangkan komponen pertama $\textbf{u}_1$ bukan $0$. Dengan argumen serupa, dapat diketahui bahwa $\textbf{u}_2$ tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya, begitupun dengan $\textbf{u}_3$.

Akibatnya, himpunan $\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ juga bebas linear, sehingga merupakan basis dari $U$.

Pembahasan
✶ Nomor 8

Perluas basis yang diperoleh pada soal sebelumnya, menjadi basis dari $\mathbb{R}^5$.

Pada bagian sebelumnya, kita peroleh vektor-vektor $$\begin{aligned} \textbf{u}_1 &= (3,1,0,0,0) \\[2pt] \textbf{u}_2 &= (0,0,7,1,0) \\[2pt] \textbf{u}_3 &= (0,0,0,0,1) \end{aligned}$$ sebagai basis dari $U$. Untuk membentuk basis dari $\mathbb{R}^5$, kita perlu menambahkan dua vektor lain yang berada di luar $\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$. Dengan cara ini, himpunan baru yang diperoleh akan tetap bebas linear. Karena $\text{dim }V=5$, maka ini sudah cukup untuk membuktikan bahwa himpunan tersebut basis dari $V$.

Perhatikan bahwa vektor $$\textbf{u}_4 = (1,0,0,0,0), \:\:\textbf{u}_5 = (0,0,1,0,0)$$ berada di luar $\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$. Dengan menambahkan keduanya pada basis $U$, diperoleh $\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3,\textbf{u}_4,\textbf{u}_5\}$ sebagai basis dari $\mathbb{R}^5$.

Pembahasan
✶ Nomor 9

Misalkan $U$ subruang dari $\mathbb{R}^5$ yang didefinisikan sebagai $$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \mathbb{R}^5 : 6x_1=x_2 \:\:\text{ dan }\:\: x_3+2x_4+3x_5=0\}$$ Tentukan basis dari $U$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) &= (x_1,6x_1,-2x_4-3x_5,x_4,x_5) \\[3pt] &= (x_1,6x_1,0,0,0)+(0,0,-2x_4,x_4,0)+(0,0,-3x_5,0,x_5) \\[3pt] &= x_1\:(1,6,0,0,0)+x_4\:(0,0,-2,1,0)+x_5\:(0,0,-3,0,1) \end{aligned}$$

Dari ekspresi di atas, terlihat bahwa vektor-vektor berikut merentang $U$. $$\begin{aligned} \textbf{u}_1 &= (1,6,0,0,0) \\[2pt] \textbf{u}_2 &= (0,0,-2,1,0) \\[2pt] \textbf{u}_3 &= (0,0,-3,0,1) \end{aligned}$$

Karena ketiganya juga bebas linear, maka himpunan $\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ merupakan basis dari $U$.

Pembahasan
✶ Nomor 10

Misalkan $U$ subruang dari $P_3$ yang didefinisikan sebagai $$U=\{p \in P_3 : p(1)=0\}$$ Tentukan basis dari $U$.

Diambil sebarang $p \in U$ dengan $$p=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$$

Sebagai anggota $U$, polinomial $p$ memenuhi $p(1)=0$ sehingga $$a_0+a_1+a_2+a_3=0 \quad \Longrightarrow \quad a_3=-a_0-a_1-a_2$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} p &= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \\[3pt] &= a_0+a_1x+a_2x^2+(-a_0-a_1-a_2)x^3 \\[3pt] &= a_0-a_0x^3+a_1x-a_1x^3+a_2x^2-a_2x^3 \\[3pt] &= a_0(1-x^3)+a_1(x-x^3)+a_2(x^2-x^3) \\[3pt] \end{aligned}$$

Dari ekspresi di atas, terlihat bahwa polinomial berikut merentang $U$. $$\begin{aligned} p_1 &= 1-x^3 \\[2pt] p_2 &= x-x^3 \\[2pt] p_3 &= x^2-x^3 \end{aligned}$$

Karena ketiganya juga bebas linear, maka himpunan $\{p_1,p_2,p_3\}$ merupakan basis dari $U$.

Pembahasan
✶ Nomor 11

Jika $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $U$ subruang dari $V$, maka buktikan bahwa $\text{dim }U \leq \text{dim }V$.

Karena $V$ berdimensi hingga dan $U$ subruang dari $V$, maka $U$ juga berdimensi hingga. Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ adalah basis dari $U$. Jika $S$ juga basis dari $V$, maka diperoleh $$\text{dim }U = \text{dim }V$$

Jika $S$ bukan basis dari $V$, maka himpunan $S$ tidak merentang $V$. Himpunan ini dapat diperluas menjadi $S'$ yang merupakan basis dari $V$, sehingga $$\text{n}(S) < \text{n}(S') \quad \Longrightarrow \quad \text{dim }U < \text{dim }V$$

Dengan demikian, terbukti bahwa $\text{dim }U \leq \text{dim }V$.

Pembahasan
✶ Nomor 12

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $U$ subruang dari $V$. Jika $\text{dim }U=\text{dim }V$, maka buktikan bahwa $U=V$.

Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots.\textbf{u}_n\}$ adalah basis dari $U$. Jika $S$ merupakan basis dari $V$, maka diperoleh $U=V$. Jika bukan, maka $S$ dapat diperluas menjadi $S'$ yang merupakan basis dari $V$, Dari sini, diperoleh $$\text{n}(S) < \text{n}(S') \quad \Longrightarrow \quad \text{dim }U < \text{dim }V$$

Kontradiksi. Dengan demikian, $S$ haruslah basis dari $V$, sehingga diperoleh $U=V$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 13

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi $n$ dan $S$ adalah himpunan vektor dalam $V$ dengan tepat $n$ anggota. Jika $S$ bebas linear, maka buktikan bahwa $S$ basis dari $V$.

Andaikan $S$ bukan basis dari $V$. Karena $S$ bebas linear, maka $S$ dapat diperluas menjadi basis dari $V$. Namun, jika ini terjadi maka basis dari $V$ akan beranggotakan lebih dari $n$ vektor. Padahal $V$ adalah ruang vektor berdimensi $n$. Kontradiksi. Dengan demikian, $S$ adalah basis dari $V$.

Pembahasan
✶ Nomor 14

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi $n$ dan $S$ adalah himpunan vektor dalam $V$ dengan tepat $n$ anggota. Jika $S$ merentang $V$, maka buktikan bahwa $S$ basis dari $V$.

Andaikan $S$ bukan basis dari $V$. Karena $S$ merentang $V$, maka $S$ dapat direduksi menjadi basis dari $V$. Namun, jika ini terjadi maka basis dari $V$ akan beranggotakan kurang dari $n$ vektor. Padahal $V$ adalah ruang vektor berdimensi $n$. Kontradiksi. Dengan demikian, $S$ adalah basis dari $V$.

Pembahasan
✶ Nomor 15

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_3,\textbf{v}_4\}$ adalah basis dari ruang vektor $V$. Buktikan bahwa $$S'=\{\textbf{v}_1+\textbf{v}_2,\textbf{v}_2+\textbf{v}_3,\textbf{v}_3+\textbf{v}_4,\textbf{v}_4\}$$ juga basis dari $V$.

Diketahui $S$ adalah basis dari $V$, sehingga $V$ adalah ruang vektor berdimensi $4$. Karena $S'$ beranggotakan $4$ vektor, maka untuk membuktikan $S'$ basis dari $V$, cukup ditunjukkan bahwa $S'$ bebas linear. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k_1(\textbf{v}_1+\textbf{v}_2)+k_2(\textbf{v}_2+\textbf{v}_3)+k_3(\textbf{v}_3+\textbf{v}_4)+k_4\textbf{v}_4 &= \textbf{0} \\[2pt] k_1\textbf{v}_1+k_1\textbf{v}_2+k_2\textbf{v}_2+k_2\textbf{v}_3+k_3\textbf{v}_3+k_3\textbf{v}_4+k_4\textbf{v}_4 &= \textbf{0} \\[2pt] k_1\textbf{v}_1+(k_1+k_2)\textbf{v}_2+(k_2+k_3)\textbf{v}_3+(k_3+k_4)\textbf{v}_4 &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Karena $\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_3,\textbf{v}_4\}$ bebas linear, maka persamaan pada baris terakhir hanya mempunyai solusi trivial, yaitu $$k_1=0,\:\:k_1+k_2=0,\:\:k_2+k_3=0,\:\:k_3+k_4=0$$

Dengan mensubstitusi $k_1$ pada $k_1+k_2=0$, dan seterusnya, maka diperoleh $$k_1=k_2=k_3=k_4=0$$ Akibatnya, himpunan $S'$ bebas linear. Dengan demikian, $S'$ juga basis dari $V$.

Pembahasan
✶ Nomor 16

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_3,\textbf{v}_4\}$ adalah basis dari ruang vektor $V$. Buktikan bahwa $$S'=\{\textbf{v}_1+\textbf{v}_4,\textbf{v}_2+\textbf{v}_4,\textbf{v}_3+\textbf{v}_4,\textbf{v}_4\}$$ juga basis dari $V$.

Diketahui $S$ adalah basis dari $V$, sehingga $V$ adalah ruang vektor berdimensi $4$. Karena $S'$ beranggotakan $4$ vektor, maka untuk membuktikan $S'$ basis dari $V$, cukup ditunjukkan bahwa $S'$ bebas linear. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k_1(\textbf{v}_1+\textbf{v}_4)+k_2(\textbf{v}_2+\textbf{v}_4)+k_3(\textbf{v}_3+\textbf{v}_4)+k_4\textbf{v}_4 &= \textbf{0} \\[2pt] k_1\textbf{v}_1+k_1\textbf{v}_4+k_2\textbf{v}_2+k_2\textbf{v}_4+k_3\textbf{v}_3+k_3\textbf{v}_4+k_4\textbf{v}_4 &= \textbf{0} \\[2pt] k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+k_3\textbf{v}_3+(k_1+k_2+k_3+k_4)\textbf{v}_4 &= \textbf{0} \end{aligned}$$

Karena $\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_3,\textbf{v}_4\}$ bebas linear, maka persamaan pada baris terakhir hanya mempunyai solusi trivial, yaitu $$k_1=0,\:\:k_1+k_2=0,\:\:k_2+k_3=0,\:\:k_3+k_4=0$$

Hal ini berakibat $k_1=k_2=k_3=k_4=0$, sehingga himpunan $S'$ bebas linear. Dengan demikian, $S'$ juga basis dari $V$.

Pembahasan
✶ Nomor 17

Buktikan atau beri contoh penyangkal: terdapat basis $\{q_0,q_1,q_2,q_3\}$ dari $P_3$ sedemikian sehingga tidak ada polinomial berderajat dua di antara keempat vektor tersebut.

Basis standar dari $P_3$ adalah $$p_0=1,\:\:p_1=x,\:\:p_2=x^2,\:\:p_3=x^3$$

Berdasarkan soal sebelumnya, vektor-vektor $$\begin{alignat}{2} q_0 &= p_0+p_3 &&= 1+x^3 \\ q_1 &= p_1+p_3 &&= x+x^3 \\ q_2 &= p_2+p_3 &&= x^2+x^3 \\ q_3 &= p_3 &&= x^3 \end{alignat}$$ juga basis dari $P_3$. Perhatikan bahwa di antara $q_0$, $q_1$, $q_2$, dan $q_3$ tidak ada polinomial berderajat dua. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 18

Misalkan $U$ dan $W$ subruang berdimensi $5$ dari $\mathbb{R}^9$. Tunjukkan bahwa $U \cap W \neq \{\textbf{0}\}$.

Diketahui $\text{dim }U=\text{dim }W=5$ sehingga $$\begin{aligned} \text{dim }(U \cap W) &= \text{dim }U+\text{dim }W-\text{dim }(U+W) \\[2pt] &= 5+5-\text{dim }(U+W) \\[2pt] &= 10-\text{dim }(U+W) \end{aligned}$$

Karena $U+V$ subruang dan $\mathbb{R}^9$ berdimensi $9$, maka $$\text{dim }(U+W) \leq 9 \quad \Longrightarrow \quad -\text{dim }(U+W) \geq -9$$

Akibatnya $$\text{dim }(U \cap W) \geq 10-9=1$$

Karena dimensinya minimal $1$, maka diperoleh $U \cap W \neq \{\textbf{0}\}$. Terbukti.

Pembahasan