Soal dan Pembahasan - Grup Siklik
Grup siklik merupakan sebuah grup yang dibangun oleh satu elemen. Jika $G$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a$, maka setiap elemen $G$ dapat diperoleh melalui operasi grup secara berulang terhadap $a$ atau inversnya. Dalam hal ini, $a$ disebut sebagai generator dari $G$.
Sebelum membahas lebih lanjut, mari perhatikan daftar isi berikut.
Daftar Isi
Definisi Grup Siklik
Definisi
Grup $G$ disebut grup siklik jika terdapat $a \in G$ sedemikian sehingga $$G= \langle a \rangle = \{a^n \;:\; n \in \mathbb Z \}$$
Generator dari sebuah grup siklik tidak tunggal. Jika $a$ adalah generator dari grup siklik $G$, maka invers dari $a$ juga merupakan generator. Dan tidak menutup kemungkinan, ada generator selain keduanya.
Grup $(\mathbb Z, +)$ merupakan salah satu contoh grup siklik, karena terdapat $1 \in \mathbb Z$ yang dapat membangun $\mathbb Z$. Himpunan bilangan genap terhadap operasi penjumlahan $(2 \mathbb Z,+)$, juga termasuk grup siklik. Berbeda dengan kedua grup tadi, $(\mathbb R, +)$ dan $(\mathbb R^\ast,\cdot)$ bukan merupakan grup siklik (mengapa?).
Teorema Terkait Grup Siklik
Berikut adalah beberapa teorema terkait grup siklik.
Teorema 1
Setiap grup siklik adalah grup komutatif.
Teorema 2
Jika $a$ adalah generator dari grup siklik $G$, maka $a^{-1}$ juga generator dari $G$.
Teorema 3
Setiap subgrup dari grup siklik juga siklik.
Contoh Soal Grup Siklik
Buktikan bahwa setiap grup siklik adalah grup komutatif.
Misalkan $G$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a$. Diambil sebarang $x,y \in G$. Sebagai anggota $G$, keduanya dapat ditulis sebagai $$\begin{aligned} &x = a^m, \;\text{untuk suatu }m \in \mathbb{Z} \\[2pt] &y = a^n, \;\text{untuk suatu }n \in \mathbb{Z} \end{aligned}$$
Untuk membuktikan $G$ komutatif, perlu ditunjukkan $xy=yx$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} xy &= a^m\:a^n \\ &= a^{m+n} \\ &= a^{n+m} \\ &= a^n \: a^m \\ &= yx \end{aligned}$$ Dengan demikian, $G$ adalah grup komutatif. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup siklik dengan generator $a$. Buktikan bahwa $a^{-1}$ juga generator dari $G$.
Diambil sebarang $x \in G$. Karena $a$ generator dari $G$, maka $x=a^n$ untuk suatu bilangan bulat $n$. Perhatikan bahwa $$x=a^n=(a^{-1})^{-n}$$
Misalkan $m=-n \in \mathbb{Z}$ sehingga $$x=(a^{-1})\:^m$$
Artinya, $x$ dapat dibentuk oleh $a^{-1}$. Karena $x$ sebarang anggota $G$, maka dapat disimpulkan bahwa $a^{-1}$ generator dari $G$. Terbukti.
Misalkan $\langle a \rangle$ adalah grup siklik berhingga dengan orde $n$. Buktikan bahwa $\langle a \rangle=\{e,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$.
Berdasarkan definisi $$\langle a \rangle = \{ a^n \;:\; n \in \mathbb Z\}$$ Karena $\langle a \rangle$ berhingga maka terdapat $i,j \in \mathbb Z$ dengan $i < j$ sedemikian sehingga $a^i=a^j$. Hal ini berakibat $$a^{j-i}=e,\;\text{dengan } j-i > 0$$
Misalkan $m$ adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga $a^m=e$. Maka untuk setiap bilangan bulat $i$ dan $j$ yang memenuhi $0 \leq i < j < m$ diperoleh $$a^i \neq a^j$$
Dengan demikian, $S=\{ e,a,a^2,\ldots a^{m-1} \}$ mempunyai elemen-elemen yang berbeda. Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa $S=\langle a \rangle$. Berdasarkan definisi $\langle a \rangle$, jelas bahwa $S \subseteq \langle a \rangle$.
Untuk menunjukkan $\langle a \rangle \subseteq S$, diambil sebarang $a^p \in \langle a \rangle$. Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat $q$ dan $r$ sedemikian sehingga $p=qm+r$, dengan $0 \leq r < m$. Perhatikan bahwa $$a^p=a^{qm+r}=(a^m)^q\;a^r=e^m\;a^r=a^r$$
Karena $0 \leq r < m$ maka $a^p=a^r \in S$. Akibatnya $\langle a \rangle \subseteq S$. Karena keduanya saling subset, maka dapat disimpulkan bahwa $$\langle a \rangle=S=\{ e,a,a^2,\ldots a^{m-1} \}$$
Himpunan di atas memiliki $m$ anggota berbeda. Karena $\langle a \rangle$ berorde $n$, maka haruslah $m=n$ sehingga $$\langle a \rangle=\{ e,a,a^2,\ldots a^{n-1} \}$$ Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup siklik tak berhingga yang dibangun oleh $a$ dan $r,t \in \mathbb{Z}$. Jika $a^r=a^t$ maka buktikan bahwa $r=t$.
Kita akan membuktikan dengan kontradiksi. Misalkan $a^r=a^t$ dengan $r \neq t$. Tanpa mengurangi perumuman, misal $r > t$. Perhatikan bahwa $$a^r = a^t \quad \Longrightarrow \quad a^{r-t}=e$$
Artinya $a \in G$ memiliki orde berhingga. Misal ordenya adalah $n$ sehingga $$G = \langle a \rangle = \{e,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$$
Akibatnya $G$ adalah grup berhingga. Kontradiksi. Dengan demikian, haruslah $r=t$. Terbukti.
Buktikan bahwa $(\mathbb{R},+)$ bukan grup siklik.
Kita akan membuktikan dengan kontradiksi. Andaikan $(\mathbb{R},+)$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a$, dengan $a \neq 0$. Karena $a/2 \in \mathbb R$, maka terdapat bilangan bulat $n$ sedemikian sehingga $$n \cdot a = \frac{a}{2}$$
Namun, kondisi ini tidak mungkin terjadi. Karena satu-satunya nilai $n$ yang memenuhi adalah $1/2$ yang bukan merupakan bilangan bulat. Kontradiksi. Dengan demikian, $(\mathbb{R},+)$ bukan grup siklik.
Buktikan bahwa $(\mathbb{R}^\ast,\cdot)$ bukan grup siklik.
Kita akan membuktikan dengan kontradiksi. Andaikan $(\mathbb{R}^\ast,\cdot)$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a$. Karena $-1 \in \mathbb R^\ast$, maka terdapat bilangan bulat $n$ sedemikian sehingga $a^n = -1$. Perhatikan bahwa $$a^n = -1 \quad \Longrightarrow \quad a^{2n}=1$$
Artinya $a$ memiliki orde berhingga. Karena $a$ generator dari $\mathbb{R}^\ast$, maka hal ini berakibat $\mathbb{R}^\ast$ grup berhingga. Kontradiksi. Dengan demikian, $(\mathbb{R}^\ast,\cdot)$ bukan grup siklik.
Misalkan $G$ adalah grup siklik. Buktikan bahwa setiap subgrup dari $G$ juga siklik.
Misalkan $G$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a$ dan $H$ sebarang subgrup dari $G$. Jika $H=\{e\}$ dengan $e$ elemen identitas, maka jelas bahwa $H$ siklik. Sekarang, misalkan $H \neq \{e\}$.
Berdasarkan definisi, setiap anggota $G$ berbentuk $a^n$ untuk suatu bilangan bulat $n$. Karena $H$ subgrup dari $G$, maka setiap anggota $H$ juga demikian. Misalkan $m$ adalah bilangan bulat positif terkecil $m$ sedemikian sehingga $a^m \in H$.
Berikutnya, diambil sebarang $b \in H$ yang dapat ditulis sebagai $b=a^p$ untuk suatu bilangan bulat $p$. Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat $q$ dan $r$ sedemikian sehingga $p=qm+r$, dengan $0 \leq r < m$. Perhatikan bahwa $$a^p=a^{qm+r}=(a^m)^q \: a^r$$ sehingga $$a^r = a^p \; (a^m)^{-q}$$
Karena $a^m \in H$, maka inversnya yaitu $(a^{m})^{-1}$ juga elemen $H$. Begitupun dengan pangkat $q$ dari inversnya, yaitu $$[(a^{m})^{-1}]^q=(a^m)^{-q} \in H$$
Berdasarkan sifat tertutup dari $H$, maka $a^p \in H$ dan $(a^m)^{-q} \in H$ berakibat $$a^r = a^p \; (a^m)^{-q} \in H$$
Ingat, $m$ adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga $a^m \in H$. Karena $a^r \in H$ dengan $0 \leq r < m$, maka haruslah $r=0$. Akibatnya $$b=a^p=a^{qm+0}=(a^m)^q$$
Karena $b$ adalah sebarang elemen $H$, maka setiap anggota $H$ dapat dibentuk oleh $a^m \in H$. Dengan demikian, $H$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a^m$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup yang tidak mempunyai subgrup sejati non trivial. Buktikan bahwa $G$ siklik.
Misal $G$ tidak mempunyai subgrup sejati non trivial. Jika $G = \{e\}$ dengan $e$ elemen identitas, maka $G$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $e$.
Sekarang, andaikan $G \neq \{e\}$ sehingga terdapat elemen lain dari $G$, sebutlah $a$. Perhatikan bahwa $\langle a \rangle$ adalah subgrup dari $G$. Karena $G$ tidak mempunyai subgrup sejati non trivial, maka ada dua kemungkinan.
Kemungkinan pertama, $\langle a \rangle = \{e\}$. Namun hal ini berakibat $a=e$. Kontradiksi. Kemungkinan yang tersisa adalah $\langle a \rangle = G$. Dengan kata lain, $G$ adalah grup siklik yang dibangun oleh $a$. Terbukti.