Banyak Faktor Positif dari Suatu Bilangan
Faktor merupakan istilah matematika yang sudah diperkenalkan sejak belajar di sekolah dasar. Secara sederhana, faktor dari bilangan bulat $n$ merupakan bilangan bulat yang habis membagi $n$.
Sebagai contoh, $2$ merupakan faktor dari $10$ dan $3$ merupakan faktor dari $12$. Namun, $4$ bukan faktor dari $10$, karena $10$ tidak habis dibagi $4$ (bersisa $2$).
Faktor dari suatu bilangan dapat dikelompokkan menjadi faktor positif dan faktor negatif. Namun biasanya kita hanya memperhatikan faktor positif, karena pada dasarnya faktor negatif hanyalah "negatif" dari faktor positif.
Bilangan $5$ merupakan faktor positif dari $15$. Negatifnya yaitu $-5$, juga merupakan faktor dari $15$. Keduanya selalu muncul berpasangan.
Terkait materi faktor, kita seringkali diminta menentukan banyak faktor positif dari suatu bilangan. Misalnya dalam beberapa soal kompetisi matematika, seperti KSN dan KSM.
Jika bilangannya kecil, maka kita bisa menentukan faktornya satu per satu, lalu menghitung totalnya. Namun jika bilangannya besar, tentu cara ini tidak efisien.
Cara yang lebih efisien adalah memanfaatkan faktorisasi prima, yang dapat ditentukan dengan pohon faktor atau metode pembagian.
Teorema yang Digunakan
Mari memulai dengan teorema untuk menghitung banyak faktor positif.
Teorema
Misalkan $n$ adalah bilangan asli lebih dari $1$. Jika faktorisasi prima dari $n$ adalah $p_1^{q_1}p_2^{q_2} \cdots p_r^{q_r}$ maka banyak faktor positif dari $n$ adalah $$(q_1+1)(q_2+1) \ldots (q_r+1)$$
Dari teorema di atas, terlihat bahwa faktorisasi prima merupakan bagian penting dalam menentukan banyak faktor positif. Karena itu, pastikan teman-teman sudah lancar dalam menentukan faktorisasi prima sebelum melanjutkan.
Setelah memperoleh faktorisasi prima, kita tinggal menambahkan $1$ pada setiap pangkatnya, lalu mengalikan hasilnya. Sebagai contoh, faktorisasi prima dari bilangan $200$ adalah $2^{\textcolor{green}{3}} \cdot 5^{\textcolor{blue}{2}}$, sehingga banyak faktor positifnya adalah $$(\textcolor{green}{3} + 1) (\textcolor{blue}{2} + 1) = 4 \cdot 3 = 12$$
Kita akan membahas lebih banyak soal latihan, setelah membuktikan teorema di atas.
Bukti Teorema
Misalkan $n$ adalah bilangan asli lebih dari $1$, dengan faktorisasi prima $p_1^{q_1}p_2^{q_2} \ldots p_r^{q_r}$. Misalkan pula $d$ adalah faktor dari $n$.
Jika $p$ adalah faktor prima dari $d$, maka $p$ juga faktor prima dari $n$. Sehingga $p$ adalah salah satu dari $p_1,p_2,\ldots,p_r$. Tanpa mengurangi perumuman, misal $p=p_i$.
Misalkan $k_i$ adalah pangkat tertinggi dari $p_i$, sehingga $p_i^{k_i}$ habis membagi $d$. Karena $d$ faktor dari $n$, maka $p_i^{k_i}$ juga habis membagi $n$. Lebih spesifik, $p_i^{k_i}$ habis membagi $p_i^{q_i}$. Hal ini berakibat $k_i \leq q_i$.
Karena $i=1,2,\ldots,n$ maka dapat disimpulkan bahwa $d$ mempunyai bentuk $$d=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$$ dengan $0 \leq k_i \leq q_i$.
Sebaliknya, setiap bilangan $d$ yang berbentuk $p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$ dengan $0 \leq k_i \leq q_i$ merupakan faktor dari $n$.
Dengan demikian, banyak faktor positif dari $n$ sama dengan banyaknya bilangan $d=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \ldots p_r^{k_r}$ dengan syarat $0 \leq k_i \leq q_i$.
Terdapat $q_1+1$ pilihan untuk nilai $k_1$ (mulai dari $0$ sampai dengan $q_1$). Terdapat $q_2+1$ pilihan untuk nilai $k_2$, dan seterusnya. Berdasarkan aturan perkalian, banyak faktor positif dari $n$ adalah $$(q_1+1)(q_2+1) \ldots (q_r+1)$$ Terbukti.
Contoh Soal dan Pembahasan
Banyak faktor positif dari $3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^3$ adalah ...
Bilangannya sudah dalam bentuk faktorisasi prima. Kita tinggal menerapkan teorema untuk menghitung banyak faktor positif.
Banyak faktor positif dari $3^{\textcolor{red}{2}} \cdot 5^{\textcolor{green}{4}} \cdot 7^{\textcolor{blue}{3}}$ adalah $$(\textcolor{red}{2}+1)(\textcolor{green}{4}+1)(\textcolor{blue}{3}+1) = 3 \cdot5\cdot4 = 60$$
Banyak faktor positif dari $2^3 \cdot 5^2 \cdot 6$ adalah ...
Sekilas, bentuk bilangan dalam soal nampak seperti faktorisasi prima. Namun ternyata tidak demikian, karena memuat $6$ yang bukan bilangan prima. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} 2^3 \cdot 5^2 \cdot \textcolor{red}{6} &= 2^3 \cdot 5^2 \cdot \textcolor{red}{2 \cdot 3} \\ &= 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \end{aligned}$$
Dengan demikian, banyak faktor positifnya adalah $$(4+1)(1+1)(2+1) = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$$
Banyak faktor positif dari $800$ adalah ...
Pertama, kita tentukan faktorisasi prima dari $800$. Perhatikan bahwa $$800 = 2^5 \cdot 5^2$$
Sehingga banyak faktor positifnya adalah $$(5+1)(2+1)=6 \cdot 3=18$$
Tentukan banyak faktor positif dari $6615$.
Pertama, kita tentukan faktorisasi prima dari $800$. Perhatikan bahwa $$6615 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2$$
Sehingga banyak faktor positifnya adalah $$(3+1)(1+1)(2+1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$$
Tentukan banyak faktor dari $3969$.
Pertama, kita tentukan faktorisasi prima dari $3969$. Perhatikan bahwa $$6615 = 3^4 \cdot 7^2$$
Banyak faktor positifnya adalah $$(4+1)(2+1) = 5 \cdot 3 = 15$$
Karena yang dicari adalah banyak faktor (positif dan negatif), maka hasil yang diperoleh harus dikali $2$. Dengan demikian, banyak faktor dari $3969$ adalah $2 \cdot 15=30$.
Tentukan banyak faktor positif dari $8!$.
Berdasarkan definisi faktorial diperoleh $$\begin{aligned} 8! &= 8 \cdot 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 \\[2pt] &= 2^3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2 \\[2pt] &= 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \end{aligned}$$
Dengan demikian, banyak faktor positifnya adalah $$(7+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 96$$
(KSM MA - 2021) Jika $k$ menyatakan banyaknya asmaul husna dan $t$ menyatakan urutan al-Malik dalam asmaul husna, maka banyak faktor dari $k^{100t}$ adalah ...
A. 180000
B. 180901
C. 360000
D. 361802
Terdapat $99$ nama Allah dalam asmaul husna dan al-Malik berada pada urutan ke-$3$. Dari sini diperoleh $k=99$ dan $t=3$. Kita perlu menentukan banyak faktor dari $$\begin{aligned} k^{100t} &= 99^{300} \\[2pt] &= (3^2 \cdot 11)^{300} \\[2pt] &= 3^{600} \cdot 11^{300} \end{aligned}$$
Banyak faktor positifnya adalah $$(600+1)(300+1) = 180901$$
Untuk menentukan banyak faktor, hasil di atas perlu dikalikan dengan $2$. Dengan demikian, jawaban yang benar adalah 361802 (D).
Tentukan banyaknya faktor positif dari $1008$ yang habis dibagi $3$.
Perhatikan bahwa $1008 = 3 \times \textcolor{blue}{336}$. Sehingga banyak faktor positif dari $1008$ yang habis dibagi $3$ sama dengan banyak faktor positif dari $\textcolor{blue}{336}$.
Faktorisasi prima dari $336$ adalah $2^4\cdot3\cdot7$, sehingga banyak faktor positifnya adalah $$(4+1)(1+1)(1+1)=20$$
Banyak faktor positif genap dari $352$ adalah ...
Faktor genap merupakan faktor yang habis dibagi $2$. Perhatikan bahwa $352 = 2 \times 176$, sehingga banyak faktor positif genap dari $352$ sama dengan banyak faktor positif dari $176$.
Faktorisasi prima dari $176$ adalah $2^4\cdot11$, sehingga banyak faktor positifnya adalah $$(4+1)(1+1)=10$$
Banyak faktor positif ganjil dari $1800$ adalah ...
Berbeda dengan faktor genap, faktor-faktor ganjil secara umum tidak habis dibagi oleh bilangan tertentu. Sehingga metode pada soal sebelumnya tidak bisa diterapkan.
Faktorisasi prima dari $1800$ adalah $\textcolor{red}{2^3} \cdot 3^{\textcolor{green}{2}} \cdot 5^{\textcolor{blue}{2}}$. Perhatikan bahwa faktor genap muncul karena adanya $\textcolor{red}{2^3}$. Sehingga untuk menentukan banyak faktor ganjil, kita perlu mengabaikan $\textcolor{red}{2^3}$.
Banyak faktor positif ganjil dari $1800$ adalah $$(\textcolor{green}{2}+1)(\textcolor{blue}{2}+1)=9$$
Selain cara di atas, kita bisa menentukan banyak faktor keseluruhan terlebih dahulu. Lalu menguranginya dengan banyak faktor genap. Selamat mencoba :)
Banyak faktor dari $3^{2023}$ yang nilainya lebih dari $2023$ adalah ...
Bilangan $3^{2023}$ mempunyai faktor positif sebanyak $\textcolor{green}{2024}$. Faktor-faktor yang dimaksud adalah $$3^0,\;3^1,\;3^2,\;\ldots,3^{2023}$$
Perhatikan bahwa $3^k \leq 2023$, untuk $k=0,1,\ldots,6$. Sehingga terdapat $\textcolor{blue}{7}$ faktor positif yang tidak memenuhi.
Dengan demikian, banyak faktor yang memenuhi adalah $$\textcolor{green}{2024}-\textcolor{blue}{7}=2017$$
Tentukan sebuah bilangan yang mempunyai tepat $18$ faktor positif.
Perhatikan bahwa $18$ dapat dinyatakan sebagai $$\begin{aligned} &2\times 3 \times 3 \\ &2\times 9 \\ &3\times 6 \\ &18 \end{aligned}$$
Dari keempatnya, kita bisa menemukan bilangan-bilangan yang mempunyai tepat $18$ faktor positif. Sebagai contoh, kita akan memanfaatkan $3 \times 6$. Bilangan yang kita inginkan berbentuk $$a^2 \: b^5$$ dengan $a$ dan $b$ bilangan prima berbeda.
Dengan mengganti nilai $a$ dan $b$, dapat diperoleh bilangan-bilangan dengan tepat $18$ positif. Misalnya untuk $a=3$ dan $b=2$ diperoleh bilangan $$3^2 \; 2^5 = 9 \cdot 32 = \textcolor{green}{288}$$
Sebagai contoh lain, kita akan memanfaatkan $2 \times 3 \times 3$. Bilangan yang kita inginkan berbentuk $$a^1 \;b^2 \; c^2$$ dengan $a,b,c$ bilangan prima berbeda.
Untuk $a=5$, $b=2$, $c=3$ diperoleh bilangan $$5^1 \;2^2 \; 3^2 = \textcolor{blue}{180}$$ yang mempunyai tepat $18$ faktor positif.
Bilangan asli terkecil dengan tepat $14$ faktor positif adalah ...
Perhatikan bahwa $14$ dapat dinyatakan sebagai $$14 \quad \text{atau} \quad 2 \times 7$$
Sehingga bilangan dengan tepat $14$ faktor positif mempunyai bentuk $$a^{13} \quad \text{atau} \quad b^1c^6$$
Kita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan bentuk di atas.
Kasus 1, bilangan berbentuk $a^{13}$.
Bilangan $a$ dapat diganti dengan bilangan prima apapun. Namun, karena kita ingin yang terkecil maka haruslah $a=2$, sehingga diperoleh $\textcolor{red}{2^{13}}$. Bilangan ini akan dibandingkan dengan bilangan terkecil pada Kasus 2.
Kasus 2, bilangan berbentuk $b^1c^6$.
Kita perlu memilih dua bilangan prima terkecil, yaitu $2$ dan $3$. Bilangan prima yang lebih besar, yaitu 3, harus mempunyai pangkat yang lebih kecil. Sehingga bilangan terkecil pada Kasus 2 adalah $\textcolor{blue}{3 \cdot2^6}$.
Terakhir, kita perlu membandingkan bilangan terkecil pada setiap kasus. Dalam hal ini, $\textcolor{red}{2^{13}}$ dan $\textcolor{blue}{3 \cdot2^6}$. Perhatikan bahwa $$2^{13} = 2^{7} \cdot 2^6 = 128 \cdot 2^6$$
Karena $3 < 128$, maka bilangan yang terkecil adalah $$3 \cdot2^6 = 3 \cdot 64 = 192$$
Jika bilangan bulat $n$ mempunyai faktor positif sebanyak ganjil, maka buktikan bahwa $n$ bilangan kuadrat.
Misalkan $n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\ldots p_r^{q_r}$, sehingga banyak faktor positifnya adalah $$(q_1+1)(q_2+1)\ldots(q_r+1)$$
Karena faktor positifnya sebanyak ganjil, maka $q_i+1$ untuk $i=1,\ldots,r$ bernilai ganjil. Hal ini berakibat $q_i$ bernilai genap. Misalkan $q_i=2k_i$ untuk suatu bilangan asli $k_i$, sehingga $$\begin{aligned} n &= p_1^{q_1}\:p_2^{q_2}\:\ldots \:p_r^{q_r} \\[3pt] &= p_1^{2k_1}\:p_2^{2k_2}\:\ldots \:p_r^{2k_r} \\[3pt] &= \left( p_1^{k_1}\:p_2^{k_2}\:\ldots \:p_r^{k_r} \right)^2 \end{aligned}$$
Bentuk terakhir menunjukkan bahwa n merupakan bilangan kuadrat. Terbukti.
Tentukan banyaknya bilangan asli kurang dari $1000$ yang mempunyai faktor positif sebanyak ganjil.
Bilangan yang mempunyai faktor positif sebanyak ganjil merupakan bilangan kuadrat. Sehingga kita hanya perlu menghitung banyaknya bilangan kuadrat yang kurang dari $1000$ (selain 0).
Bilangan kuadrat terdekat yang kurang dari $1000$ adalah $961=31^2$. Sehingga bilangan asli yang memenuhi adalah $$1^2, 2^2,3^2, \ldots, 31^2$$
Dengan demikian, banyaknya bilangan asli yang memenuhi adalah $31$ bilangan.
(KSM MA - 2022) Suatu bilangan $5$ angka memiliki sejumlah ganjil faktor positif, dua pertiga faktor positifnya merupakan bilangan genap, dan semua angkanya merupakan faktor dari bilangan tersebut. Bilangan terkecil yang memenuhi sifat tersebut adalah ...
Misalkan bilangan tersebut adalah $n$. Karena faktor positifnya sebanyak ganjil maka $n$ merupakan bilangan kuadrat. Selain itu, $n$ mempunyai faktor genap sehingga $n$ habis dibagi $2$.
Misalkan $n=2^{a_1} \: p_2^{a_2} \: \ldots \: p_n^{a_n}$. Dua pertiga faktor positifnya merupakan bilangan genap, sehingga $$\begin{aligned} \frac{2}{3}\;(a_1+1)(a_2+2)\ldots(a_n+2) &= a_1(a_2+2)\ldots(a_n+2) \\[3pt] \frac{2}{3}\;(a_1+1) &= a_1 \\[3pt] 2\;(a_1+1) &= 3a_1 \\[3pt] 2a_1+2 &= 3a_1\\[3pt] a_1 &= 2 \end{aligned}$$
Akibatnya $n=2^2 \: p_2^{a_2} \: \ldots \: p_n^{a_n}$. Yang berarti $n$ habis dibagi $4$ namun tidak habis dibagi $8$, $16$, dan seterusnya.
Berikutnya, karena $n$ bilangan $5$ angka maka $100^2 \leq n \leq 316^2$. Sebelum menguji bilangan-bilangan tersebut, kita perlu mengecualikan bilangan-bilangan ganjil.
Begitupun dengan bilangan yang basisnya habis dibagi $4$ (karena berakibat $n$ habis dibagi $16$). Bilangan yang dimaksud adalah $100^2$, $104^2$, $108^2$, dan seterusnya. Bilangan yang tersisa untuk diuji adalah $$102^2, 106^2, 110^2, 114^2, 118^2, \ldots$$
Uji $n=102^2=10404$.
Tidak memenuhi, karena $0$ tidak habis membagi $n$.
Uji $n=106^2=11236$.
Tidak memenuhi, karena $3$ tidak habis membagi $n$.
Uji $n=110^2=12100$.
Tidak memenuhi, karena $0$ tidak habis membagi $n$.
Uji $n=114^2=12996$.
Memenuhi, karena $1$, $2$, $6$, dan $9$ habis membagi $n$.
Dengan demikian, bilangan terkecil yang memenuhi sifat di dalam soal adalah $12996$.
Bilangan bulat bebas kuadrat merupakan bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat apapun, selain $1$. Buktikan bahwa bilangan bebas kuadrat mempunyai faktor positif sebanyak $2^r$, dengan $r$ menyatakan banyak faktor primanya.
Misalkan $n$ adalah bilangan bulat bebas kuadrat, dengan faktorisasi prima $$p_1^{q_1}\;p_2^{q_2}\;\ldots \;p_r^{q_r}$$
Jika $q_1 \geq 2$, maka $p_1^2$ habis membagi $p_1^{q_1}$. Hal ini berakibat $p_1^2$ habis membagi $n$, yang merupakan bilangan bebas kuadrat. Kontradiksi.
Dengan demikian, haruslah $q_i=1$ untuk $i=1,2,\ldots,r$. Akibatnya $$n=p_1 \; p_2 \; \ldots \; p_r$$
Bilangan ini mempunyai faktor positif sebanyak $$\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\text{sebanyak r}} = 2^r$$ Terbukti.