Soal dan Pembahasan - Himpunan Bebas Linear

Diperbarui 16 Januari 2022 — 10 Soal

Selain merentang ruang vektor, sebuah himpunan harus bebas linear, untuk menjadi basis ruang vektor. Tapi, apa sih yang disebut bebas linear? Lalu, bagaimana cara memeriksa apakah suatu himpunan bebas linear?

Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan daftar isi berikut.

Definisi Himpunan Bebas Linear

Definisi

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ adalah himpunan yang terdiri dari dua atau lebih vektor dalam ruang vektor $V$.

Himpunan S disebut bebas linear, jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Himpunan yang tidak bebas linear disebut bergantung linear.

Himpunan yang hanya terdiri dari satu vektor disebut bergantung linear, jika vektor tersebut tak nol.

Teorema mengenai Himpunan Bebas Linear

Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

Teorema 1

Misalkan $S$ adalah himpunan yang beranggotakan dua vektor. Himpunan $S$ bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

Teorema 2

Himpunan berhingga yang memuat $\textbf{0}$ adalah bergantung linear.

Teorema 3

Misalkan $S$ adalah himpunan tak kosong dalam ruang vektor $V$, dengan $S=\{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \ldots , \textbf{v}_r \}$. Himpunan $S$ bebas linear jika dan hanya jika persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + \ldots + k_r \textbf{v}_r = \textbf{0}$$ hanya mempunyai solusi trivial, yaitu $k_1=k_2=\ldots=k_r=0$.

Teorema 4

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ adalah himpunan vektor dalam $\mathbb{R}^n$. Jika $r > n$ maka himpunan $S$ bergantung linear.

Soal dan Pembahasan

✶ Nomor 1

Misalkan $S$ adalah himpunan yang beranggotakan dua vektor. Buktikan bahwa $S$ bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2\}$. Pernyataan dalam soal berbentuk biimplikasi, sehingga perlu dibuktikan dari dua arah.

DARI KIRI

Diketahui $S$ bebas linear. Berdasarkan definisi, tidak ada vektor dalam $S$ yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya.

Artinya, tidak ada skalar $k$ dan $m$ yang memenuhi $\textbf{v}_1=k\textbf{v}_2$ dan $\textbf{v}_2=m\textbf{v}_1$. Dengan demikian, $\textbf{v}_1$ bukan kelipatan skalar dari $\textbf{v}_2$ dan begitupun sebaliknya. Terbukti.

DARI KANAN

Diketahui bahwa tidak ada vektor dalam $S$ yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Artinya, tidak ada skalar $k$ dan $m$ yang memenuhi $\textbf{v}_1=k\textbf{v}_2$ dan $\textbf{v}_2=m\textbf{v}_1$.

Dengan kata lain, $\textbf{v}_1$ bukan kombinasi linear dari $\textbf{v}_2$ dan begitupun sebaliknya. Berdasarkan definisi, $S$ adalah himpunan bebas linear. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 2

Buktikan bahwa himpunan berhingga yang memuat $\textbf{0}$ adalah bergantung linear.

Misalkan $S$ adalah himpunan berhingga yang terdiri dari $r+1$ elemen, dengan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r,\textbf{0}\}$. Perhatikan bahwa $$\textbf{0}=0\textbf{v}_1+0\textbf{v}_2+\ldots+0\textbf{v}_r$$

Salah satu vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Berdasarkan definisi, $S$ bergantung linear. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 3

Misalkan $S$ adalah himpunan tak kosong dalam ruang vektor $V$, dengan $S=\{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \ldots , \textbf{v}_r \}$. Buktikan bahwa $S$ bebas linear jika dan hanya jika persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + \ldots + k_r \textbf{v}_r = \textbf{0}$$ hanya mempunyai solusi trivial, yaitu $k_1=k_2=\ldots=k_r=0$.

DARI KIRI

Kita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan banyak anggota dari $S$. Untuk kasus pertama, kita misalkan $S$ hanya beranggotakan satu vektor, sebutlah $\textbf{v}$.

Karena $S$ bebas linear, maka haruslah $\textbf{v} \neq \textbf{0}$. Akibatnya, persamaan vektor $k\textbf{v}=\textbf{0}$ hanya dipenuhi oleh skalar $k=0$. Terbukti.

Untuk kasus kedua, kita misalkan $S$ beranggotakan lebih dari satu vektor, yaitu $S=\{ \textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r \}$ dengan $r \geq 2$. Kita akan menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Andaikan persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + \ldots + k_r \textbf{v}_r = \textbf{0} \tag{1}$$ mempunyai solusi non trivial. Artinya, di antara $k_1,k_2,\ldots,k_r$ terdapat skalar tak nol. Tanpa mengurangi perumumuan, misalkan $k_1 \neq 0$.

Karena $k_1 \neq 0$, maka persamaan $(1)$ dapat ditulis sebagai $$\textbf{v}_1+\frac{k_2}{k_1} \textbf{v}_2 + \ldots + \frac{k_r}{k_1} \textbf{v}_r = \textbf{0}$$ yang berakibat $$\textbf{v}_1 = \left(-\frac{k_2}{k_1} \right) \textbf{v}_2 + \ldots + \left(-\frac{k_r}{k_1} \right) \textbf{v}_r$$

Persamaan di atas menunjukkan bahwa $\textbf{v}_1$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya.

Berdasarkan definisi, himpunan $S$ bergantung linear. Kontradiksi. Jadi, persamaan $(1)$ hanya mempunyai solusi trivial.

DARI KANAN

Kita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan banyak anggota dari $S$. Untuk kasus pertama, kita misalkan $S$ hanya beranggotakan satu vektor, sebutlah $\textbf{v}$.

Persamaan $k\textbf{v}=0$ hanya dipenuhi oleh $k=0$, sehingga haruslah $\textbf{v} \neq \textbf{0}$. Akibatnya, himpunan $S$ bebas linear. Terbukti.

Untuk kasus kedua, kita misalkan $S$ beranggotakan lebih dari satu vektor, yaitu $S=\{ \textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r \}$ dengan $r \geq 2$. Kita akan menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Andaikan $S$ bergantung linear. Berdasarkan definisi, terdapat anggota $S$ yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya.

Tanpa mengurangi perumuman, misalkan $\textbf{v}_1 \in S$ adalah vektor yang demikian, sehingga $$\textbf{v}_1=c_2\textbf{v}_2+\ldots+c_r\textbf{v}_r$$ untuk suatu skalar $c_2,c_3,\ldots,c_r$.

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai $$1\textbf{v}_1+(-c_2)\textbf{v}_2+\ldots+(-c_r)\textbf{v}_r=\textbf{0}$$

Akibatnya, persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + \ldots + k_r \textbf{v}_r = \textbf{0}$$ dipenuhi oleh $$k_1=1,k_2=-c_2,\ldots,k_r=-c_r$$ Dengan kata lain, terdapat solusi non trivial. Kontradiksi. Jadi, $S$ adalah himpunan bebas linear. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 4

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ adalah himpunan vektor dalam $\mathbb{R}^n$. Jika $r > n$ maka buktikan bahwa $S$ bergantung linear.

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ dengan $$\begin{aligned} \textbf{v}_1 &= (w_{11},w_{12},\ldots,w_{1n}) \\ \textbf{v}_2 &= (w_{21},w_{22},\ldots,w_{2n}) \\ &\vdots \\ \textbf{v}_r &= (w_{r1},w_{r2},\ldots,w_{rn}) \\ \end{aligned}$$

Perhatikan persamaan vektor berikut $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_r\textbf{v}_r = \textbf{0}$$

Jika setiap vektor dinyatakan dalam bentuk komponen, dapat dibentuk sistem persamaan linear $$\left\{\begin{aligned} k_1w_{11}+k_2w_{21}+\ldots+k_rw_{r1} &= 0 \\ k_1w_{12}+k_2w_{22}+\ldots+k_rw_{r2} &= 0 \\ &\vdots \\ k_1w_{1n}+k_2w_{2n}+\ldots+k_rw_{rn} &= 0 \end{aligned}\right.$$

Sistem homogen ini terdiri dari $r$ variabel dan $n$ persamaan. Karena $r > n$, maka sistem ini mempunyai solusi non trivial. Dengan demikian, $S$ bergantung linear. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ adalah himpunan vektor yang bebas linear dan $T$ subset tak kosong dari $S$. Buktikan bahwa $T$ bebas linear.

Diketahui $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_n\}$ bebas linear dan $T$ subset tak kosong dari $S$. Tanpa mengurangi perumuman, misalkan $T=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r\}$ dengan $1 \leq r \leq n$

Andaikan himpunan $T$ bergantung linear, sehingga persamaan vektor $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_r\textbf{v}_r = \textbf{0} \tag{1}$$ mempunyai solusi non trivial. Dengan kata lain, terdapat skalar tak nol di antara $k_1,k_2,\ldots,k_r$.

Perhatikan bahwa persamaan $(1)$ dapat ditulis sebagai $$k_1\textbf{v}_1+k_2\textbf{v}_2+\ldots+k_r\textbf{v}_r +\textcolor{red}{0\textbf{v}_{r+1}+\ldots+0\textbf{v}_n} = \textbf{0}$$

Karena persamaan ini mempunyai solusi non trivial, maka himpunan $$\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_r,\ldots,\textbf{v}_n\}=S$$ bergantung linear. Kontradiksi. Dengan demikian, himpunan $T$ bebas linear.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Misalkan $S=\{(1,3),(2,7)\}$. Periksa apakah $S$ himpunan bebas linear.

Himpunan $S$ beranggotakan dua vektor. Karena $\textbf{v}_1$ bukan kelipatan skalar dari $\textbf{v}_2$, begitupun sebaliknya, maka berdasarkan Teorema 1, $S$ adalah himpunan bebas linear.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Misalkan $S=\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\textbf{v}_3\}$ dengan $$\textbf{v}_1=(1,-2),\textbf{v}_2=(-3,2),\textbf{v}_3=(4,5)$$ Periksa apakah $S$ himpunan bebas linear.

Perhatikan bahwa $S$ adalah himpunan vektor dalam $\mathbb{R}^2$, yang terdiri dari 3 vektor. Karena $3 > 2$, maka berdasarkan Teorema 4, $S$ adalah himpunan bebas linear. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 8

Misalkan $S=\{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \}$ dengan $$\textbf{v}_1=(1,1,2),\textbf{v}_2=(1,0,1),\textbf{v}_3=(2,1,3)$$ Periksa apakah $S$ himpunan bebas linear.

Kita akan memeriksa apakah persamaan vektor $$k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + k_3 \textbf{v}_3 = \textbf{0}$$ hanya mempunyai solusi trivial ($k_1=k_2=k_3=0$). Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k_1 \textbf{v}_1 + k_2 \textbf{v}_2 + k_3 \textbf{v}_3 &= \textbf{0} \\ k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3) &= (0,0,0) \\ (k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3) &= (0,0,0) \\ (k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3) &= (0,0,0) \end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\:+\:&k_2&\:+\:&2k_3 \:=\: &0 \\ k_1&\:\:&&\:+\:&k_3 \:=\: &0 \\ 2k_1&\:+\:&k_2&\:+\:&3k_3 \:=\: &0 \end{alignat*}\right.$$

Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\end{bmatrix}$$

Karena $\text{det}(A)=0$ (periksa!), maka sistem persamaan ini mempunyai solusi non trivial. Berdasarkan Teorema 3, himpunan $S$ bergantung linear.

Pembahasan
✶ Nomor 9

Misalkan $S=\{ \textbf{p}_1, \textbf{p}_2, \textbf{p}_3 \}$ dengan $$\textbf{p}_1=1+x+x^2,\textbf{p}_2=1+x^2,\textbf{p}_3=1+2x$$ Periksa apakah $S$ himpunan bebas linear.

Kita akan memeriksa apakah persamaan vektor $$k_1 \textbf{p}_1 + k_2 \textbf{p}_2 + k_3 \textbf{p}_3 = \textbf{0}$$ hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} k_1 \textbf{p}_1 + k_2 \textbf{p}_2 + k_3 \textbf{p}_3 &= \textbf{0} \\ k_1 (1+x+x^2) + k_2 (1+x^2) + k_3 (1+2x) &= 0+0x+0x^2 \\ (k_1+k_1x+k_1x^2) + (k_2+k_2x^2) + (k_3+2k_3x) &= 0+0x+0x^2 \\ (k_1+k_2+k_3)+(k_1+2k_3)x+(k_1+k_2)x^2 &= 0+0x+0x^2 \end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $P_2$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\:+\:&k_2&\:+\:&k_3 \:=\: &0 \\ k_1&\:\:&&\:+\:&2k_3 \:=\: &0 \\ k_1&\:+\:&k_2&\:\:& \:=\: &0 \end{alignat*}\right.$$

Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 1 & 0\end{bmatrix}$$

Karena $\text{det}(A)=1 \neq 0$ (periksa!), maka sistem persamaan ini hanya mempunyai solusi trivial. Berdasarkan Teorema 3, himpunan $S$ bebas linear.

Pembahasan
✶ Nomor 10

Tentukan nilai $x$ sehingga himpunan berikut bebas linear dalam ruang vektor $\mathbb{R}^3$. $$\{(-1,-1,x),(-1,x,-1),(x,-1-1)\}$$

Perhatikan persamaan vektor berikut $$\begin{aligned} k_1(-1,-1,x)+k_2(-1,x,-1)+k_3(x,-1,-1) &= (0,0,0) \\ (-k_1-k_2+xk_3,-k_1+xk_2-k_3,xk_1-k_2-k_3) &= (0,0,0) \end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, dapat dibentuk sistem persamaan $$\left\{\begin{alignat*}{3} -k_1&\:-\:&k_2&\:+\:&xk_3 \:=\: &0 \\ -k_1&\:+\:&xk_2&\:-\:&k_3 \:=\: &0 \\ xk_1&\:-\:&k_2&\:-\:&k_3 \:=\: &0 \end{alignat*}\right.$$

Matriks koefisien dari sistem ini adalah $$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 & x\\-1 & x & -1\\x & -1 & -1\end{bmatrix}$$ dengan determinan $$\begin{aligned} \text{det}(A) &= \begin{vmatrix}-1 & -1 & x\\-1 & x & -1\\x & -1 & -1\end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix}-1 & -1 & x\\0 & x+1 & -x-1\\0 & -x-1 & x^2-1\end{vmatrix} &&[R_2-R_1,\;R_3+xR_1] \\ &= \begin{vmatrix}-1 & -1 & x\\0 & x+1 & -x-1\\0 & 0 & x^2-x-2\end{vmatrix} \quad &&[R_3+R_2] \\ &= (-1)(x+1)(x^2-x-2) &&[\text{Determinan matriks segitiga}] \\ &= -(x+1)(x+1)(x-2) \\ &= -(x+1)^2(x-2) \end{aligned}$$

Karena himpunan tersebut bebas linear, maka $\det(A) \neq 0$. Perhatikan bahwa $\text{det}(A)=0$ untuk $x=-1$ dan $x=2$.

Dengan demikian, himpunan tersebut bebas linear untuk setiap nilai $x$, selain $-1$ dan $2$.

Pembahasan