Beranda › Aljabar Linear
Beli buku analisis realBeli buku metode penelitianBeli buku kalkulus peubah banyak
KLIK GAMBAR UNTUK MEMBELI

Soal dan Pembahasan: Himpunan Bebas Linear

Kirim Soal — Diperbarui 29 Oktober 2020

Selain merentang ruang vektor, sebuah himpunan harus bebas linear, untuk menjadi basis ruang vektor. Tapi, apa sih yang disebut bebas linear? Lalu, bagaimana cara memeriksa apakah suatu hmpunan bebas linear?

Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan daftar isi berikut.

Definisi Himpunan Bebas Linear

Definisi

Misalkan adalah himpunan yang terdiri dari dua atau lebih vektor dalam ruang vektor .

Himpunan S disebut bebas linear, jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Himpunan yang tidak bebas linear disebut bergantung linear.

Himpunan yang hanya terdiri dari satu vektor disebut bergantung linear, jika vektor tersebut tak nol.

Teorema mengenai Himpunan Bebas Linear

Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

Teorema 1

Misalkan adalah himpunan yang beranggotakan dua vektor. Himpunan bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

Teorema 2

Himpunan berhingga yang memuat adalah bergantung linear.

Teorema 3

Misalkan adalah himpunan tak kosong dalam ruang vektor , dengan . Himpunan bebas linear jika dan hanya jika persamaan vektor hanya mempunyai solusi trivial, yaitu .

Teorema 4

Misalkan adalah himpunan vektor dalam . Jika maka himpunan bergantung linear.

Soal dan Pembahasan

Nomor 1

Misalkan adalah himpunan yang beranggotakan dua vektor. Buktikan bahwa bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

Pembahasan

Loading...

Nomor 2

Buktikan bahwa himpunan berhingga yang memuat adalah bergantung linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 3

Misalkan adalah himpunan tak kosong dalam ruang vektor , dengan . Buktikan bahwa bebas linear jika dan hanya jika persamaan vektor hanya mempunyai solusi trivial, yaitu .

Pembahasan

Loading...

Nomor 4

Misalkan adalah himpunan vektor dalam . Jika maka buktikan bahwa bergantung linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 5

Misalkan adalah himpunan vektor yang bebas linear dan subset tak kosong dari . Buktikan bahwa bebas linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 6

Misalkan . Periksa apakah himpunan bebas linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 7

Misalkan dengan Periksa apakah himpunan bebas linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 8

Misalkan dengan Periksa apakah himpunan bebas linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 9

Misalkan dengan Periksa apakah himpunan bebas linear.

Pembahasan

Loading...

Nomor 10

Tentukan nilai sehingga himpunan berikut bebas linear dalam ruang vektor .

Pembahasan

Loading...