Soal dan Pembahasan - Vektor Ortogonal
Vektor ortogonal adalah materi yang berkaitan dengan sudut antara dua vektor. Ketika sudut yang terbentuk antara dua vektor adalah 90°, maka kedua vektor tersebut dikatakan ortogonal. Lebih lanjut, dua vektor ortogonal jika hasil kali dalam antara keduanya adalah nol.
Sebelum membahas lebih dalam, mari perhatikan daftar isi berikut.
Daftar Isi
Definisi Vektor Ortogonal
Definisi
Vektor $\textbf{u}$ dan $\textbf{v}$ dalam ruang hasil kali dalam $V$ disebut ortogonal, jika $\langle \textbf{u},\textbf{v} \rangle = 0$.
Keortogonalan antara dua vektor bergantung pada hasil kali dalam yang didefinisikan pada ruang vektornya. Sebagai contoh, jika mengacu pada hasil kali dalam euclidean, maka vektor $\textbf{u}=(2,1)$ ortogonal terhadap $\textbf{v}=(-1,2)$ karena $$\langle \textbf{u},\textbf{v} \rangle = \textbf{u} \cdot \textbf{v} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 0$$
Namun, bagaimana jika mengacu terhadap hasil kali dalam berikut? $$\langle \textbf{u},\textbf{v} \rangle = 2u_1v_1+3u_2v_2, \quad \text{untuk } \textbf{u}=(u_1,u_2) \text{ dan } \textbf{v}=(v_1,v_2)$$
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita cukup memeriksa hasil kali dalam antara kedua vektor. Perhatikan bahwa $$\langle \textbf{u},\textbf{v} \rangle = 2 \cdot 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \neq 0$$
Karena hasil kali dalamnya bukan nol, maka dapat disimpulkan bahwa kedua vektor tersebut tidak ortogonal. Dari sini, terlihat bahwa keortogonalan dua vektor bergantung pada definisi hasil kali dalamnya. Karena itu, kita perlu memperhatikannya sebelum memeriksa apakah dua vektor ortogonal atau tidak.
Beberapa Teorema Terkait Vektor Ortogonal
Berikut adalah beberapa teorema terkait vektor ortogonal.
Teorema 1
Vektor nol ortogonal terhadap setiap vektor dalam ruang hasil kali dalam $V$.
Teorema 2
Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang ortogonal terhadap dirinya sendiri,
Teorema 3
Jika $\textbf u$ dan $\textbf v$ adalah dua vektor yang ortogonal, maka $$\| \textbf u + \textbf v \|^2 = \| \textbf u \|^2 + \| \textbf v \|^2$$
Contoh Soal Vektor Ortogonal
Periksa apakah $\textbf{u} = (2,3)$ dan $\textbf{v} = (4,-2)$ saling ortogonal dengan mengacu pada hasil kali dalam euclidean.
Kita perlu mengecek hasil kali dalam antara $\textbf u$ dan $\textbf v$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf u, \textbf v \rangle &= 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) \\ &= 8-6 \\ &= 2 \end{aligned}$$
Karena $\langle \textbf u,\textbf v \rangle \neq 0$, maka dapat disimpulkan bahwa $\textbf u$ dan $\textbf v$ tidak ortogonal.
Misal $\textbf u =(u_1,u_2)$ dan $\textbf v =(v_1,v_2)$ sebarang vektor dalam $\mathbb R^2$. Pada ruang vektor tersebut, didefinisikan hasil kali dalam $$\langle \textbf u,\textbf v \rangle = 3u_1v_1+2u_2v_2$$
Periksa apakah $\textbf{p} = (2,-1)$ dan $\textbf{q} = (1,3)$ saling ortogonal.
Kita perlu mengecek hasil kali dalam antara $\textbf p$ dan $\textbf q$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf p, \textbf q \rangle &= 3 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 3 \\ &= 6-6 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Karena $\langle \textbf p,\textbf q \rangle = 0$, maka dapat disimpulkan bahwa $\textbf p$ dan $\textbf q$ saling ortogonal.
Misalkan $a,b \in \mathbb R$. Buktikan bahwa $\textbf u = (a,b)$ dan $\textbf v = (b,-a)$ saling ortogonal dengan mengacu pada hasil kali dalam euclidean.
Kita perlu mengecek hasil kali dalam antara $\textbf u$ dan $\textbf v$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf u, \textbf v \rangle &= a \cdot b + b \cdot (-a) \\ &= ab-ab \\ &= 0 \end{aligned}$$
Karena $\langle \textbf u,\textbf v \rangle = 0$, maka $\textbf u$ dan $\textbf v$ saling ortogonal. Terbukti.
Misalkan $a,b \in \mathbb R$. Buktikan bahwa $\textbf u = (a,-a,b)$ dan $\textbf v = (b,2b,a)$ saling ortogonal dengan mengacu pada hasil kali dalam euclidean.
Kita perlu mengecek hasil kali dalam antara $\textbf u$ dan $\textbf v$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf u, \textbf v \rangle &= a \cdot b + (-a) \cdot 2b + b \cdot a \\ &= ab-2ab+ab \\ &= 0 \end{aligned}$$
Karena $\langle \textbf u,\textbf v \rangle = 0$, maka $\textbf u$ dan $\textbf v$ saling ortogonal. Terbukti.
Periksa apakah $\textbf{p} = 2-3x+x^2$ dan $\textbf{q} = 4+2x-2x^2$ saling ortogonal dengan mengacu pada hasil kali dalam standar pada $\textbf{P}_2$.
Kita perlu mengecek hasil kali dalam antara $\textbf p$ dan $\textbf q$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf p, \textbf q \rangle &= 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \\ &= 8-6-2 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Karena $\langle \textbf p,\textbf q \rangle = 0$, maka dapat disimpulkan bahwa $\textbf p$ dan $\textbf q$ saling ortogonal.
Misal $\textbf u =(u_1,u_2)$ dan $\textbf v =(v_1,v_2)$ sebarang vektor dalam $\mathbb R^2$. Pada ruang vektor tersebut, didefinisikan hasil kali dalam $$\langle \textbf u,\textbf v \rangle = 2u_1v_1+ku_2v_2$$
Tentukan nilai $k$ sehingga vektor $\textbf{p} = (1,3)$ dan $\textbf{v} = (2,-1)$ saling ortogonal.
Perhatikan bahwa $$\langle \textbf p, \textbf q \rangle = 2 \cdot 1 \cdot 2 + k \cdot 3 \cdot (-1) = 4-3k$$
Karena vektor $\textbf p$ dan $\textbf q$ saling ortogonal, maka $\langle \textbf p, \textbf q \rangle=0$, sehingga $$4-3k = 0 \quad \Longrightarrow \quad k=\frac{4}{3}$$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $4/3$.
Misal $\textbf u =(u_1,u_2)$ dan $\textbf v =(v_1,v_2)$ sebarang vektor dalam $\mathbb R^2$. Pada ruang vektor tersebut, didefinisikan hasil kali dalam $$\langle \textbf u,\textbf v \rangle = w_2u_1v_1+w_2u_2v_2$$
Tentukan syarat yang harus dipenuhi oleh $w_1$ dan $w_2$, agar vektor $\textbf{p} = (-1,2)$ dan $\textbf{v} = (2,4)$ saling ortogonal.
Agar memenuhi aksioma hasil kali dalam, maka $w_1$ dan $w_2$ haruslah bilangan real positif. Berikutnya, Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf p, \textbf q \rangle &= w_1 \cdot (-1) \cdot 2 + w_2 \cdot 2 \cdot 4 \\[3pt] &= -2w_1+8w_2 \end{aligned}$$
Karena vektor $\textbf p$ dan $\textbf q$ saling ortogonal, maka $\langle \textbf p, \textbf q \rangle=0$, sehingga $$-2w_1+8w_2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad w_1=4w_2$$
Jadi, syarat yang harus dipenuhi agar $\textbf p$ dan $\textbf q$ ortogonal adalah $w_1=4w_2$, dengan $w_1,w_2 \in \mathbb R^+$.
Misalkan $$\begin{aligned} \textbf p &= -1+kx+3x^2 \\ \textbf q &= l-4x+x^2 \\ \textbf r &= 1+2x+x^2 \end{aligned}$$
Tentukan nilai $k$ dan $l$ sehingga $\{ \textbf p,\textbf q,\textbf r \}$ merupakan himpunan ortogonal dengan mengacu pada hasil kali dalam standar pada $\textbf{P}_2$.
Karena $\{ \textbf p,\textbf q,\textbf r \}$ himpunan ortogonal, maka setiap pasang vektor mempunyai hasil kali dalam nol, yaitu $$\langle \textbf p,\textbf q \rangle=\langle \textbf q,\textbf r \rangle = \langle \textbf p,\textbf r \rangle = 0$$
Dari $\langle \textbf p,\textbf r \rangle = 0$ diperoleh $$-1+2k+3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad k=-1$$
Dari $\langle \textbf q,\textbf r \rangle = 0$ diperoleh $$l-8+1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad l=7$$
Dapat dicek bahwa $$\begin{aligned} \langle \textbf p,\textbf q \rangle &= -l-4k+3 \\ &= -7-4(-1)+3 \\ &= -7+4+3 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Dengan demikian nilai $k$ dan $l$ yang memenuhi adalah $k=-1$ dan $l=7$.
Jika $\textbf u$ dan $\textbf v$ adalah dua vektor yang ortogonal, maka buktikan bahwa $$\| \textbf u + \textbf v \|^2 = \| \textbf u \|^2 + \| \textbf v \|^2$$
Berdasarkan definisi norma vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \| \textbf u + \textbf v \|^2 &= \langle \textbf u + \textbf v,\textbf u + \textbf v \rangle \\[2pt] &= \langle \textbf u ,\textbf u + \textbf v \rangle + \langle \textbf v,\textbf u + \textbf v \rangle \\[2pt] &= \langle \textbf u ,\textbf u \rangle + \langle \textbf u ,\textbf v \rangle + \langle \textbf v ,\textbf u \rangle + \langle \textbf v ,\textbf v \rangle \end{aligned}$$
Karena $\textbf u$ dan $\textbf v$ ortogonal, maka $$\langle \textbf u ,\textbf v \rangle = \langle \textbf v ,\textbf u \rangle = 0$$
Akibatnya $$\begin{aligned} \| \textbf u + \textbf v \|^2 &= \langle \textbf u ,\textbf u \rangle + 0+0 + \langle \textbf v ,\textbf v \rangle \\[2pt] &= \langle \textbf u ,\textbf u \rangle + \langle \textbf v ,\textbf v \rangle \\[2pt] &= \| \textbf u \|^2 + \| \textbf v \|^2 \end{aligned}$$
Terbukti.