Soal dan Pembahasan - Merentang
Merentang ruang vektor, adalah syarat bagi himpunan bebas linear untuk menjadi basis ruang vektor. Tapi, apa sih yang disebut merentang? Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan daftar isi berikut.
Daftar Isi
Definisi Merentang
Definisi
Misalkan $S$ adalah subset tak kosong dari suatu ruang vektor $V$ dan $W$ adalah himpunan yang memuat semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor dalam $S$.
Maka $W$ disebut subruang dari $V$ yang direntang oleh $S$. Dengan kata lain, himpunan $S$ merentang $W$. Subruang ini dituliskan dengan notasi $$W=\text{span}(S)$$
Berdasarkan definisi, himpunan $S$ dikatakan merentang ruang vektor $V$, jika $$V=\text{span}(S)$$
Dengan kata lain, setiap vektor dalam $V$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$.
Dua himpunan yang berbeda dapat merentang subruang yang sama. Hal ini termuat dalam teorema berikut.
Teorema 1
Misalkan $S$ dan $S'$ adalah subset tak kosong dari suatu ruang vektor $V$. Maka $$\text{span}(S) = \text{span}(S')$$ jika dan hanya jika setiap vektor dalam $S$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S'$, begitupun sebaliknya.
Soal dan Pembahasan
Misalkan $V$ adalah ruang vektor, dan himpunan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ merentang $V$. Jika $\textbf{w} \in V$, maka buktikan bahwa himpunan $S'=\{\textbf{w},\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ juga merentang $V$.
Misalkan $\textbf{q} \in V$. Karena himpunan $S$ merentang $V$, maka terdapat skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ sedemikian sehingga $$\textbf{q} = k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$
Persamaan ini dapat ditulis sebagai $$\textbf{q} = 0\textbf{w} + k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$
Artinya, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $\textbf{w},\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n$.
Dengan demikian, himpunan $S'$ juga merentang $V$. Terbukti.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan himpunan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ merentang $V$. Jika $\textbf{u}_1$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya, maka buktikan bahwa himpunan $S'=\{\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_k\}$ juga merentang $V$.
Misalkan $\textbf{q} \in V$ dan $\textbf{u}_1$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam $S$, yaitu $$\textbf{u}_1=l_2\textbf{u}_2+l_3\textbf{u}_3+\ldots+l_n\textbf{u}_n$$ untuk suatu skalar $l_2,l_3,\ldots,l_n$.
Karena himpunan $S$ merentang $V$, maka terdapat skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{q} &= k_1\textcolor{blue}{\textbf{u}_1}+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n \\ &= k_1(\textcolor{blue}{l_2\textbf{u}_2+l_3\textbf{u}_3+\ldots+l_n\textbf{u}_n})+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n \\ &= (k_1l_2+k_2)\textbf{u}_2+(k_1l_3+k_3)\textbf{u}_3+\ldots+(k_1l_n+k_n)\textbf{u}_n \end{aligned}$$
Artinya, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n$.
Dengan demikian, himpunan $S'$ juga merentang $V$. Terbukti.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ adalah himpunan vektor dalam $V$. Buktikan bahwa $\text{span}(S)$ adalah subruang $V$.
Himpunan $V$ bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar, sehingga $\text{span}(S)$ adalah subset dari $V$. Selain itu, vektor nol adalah kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$, sehingga $\text{span}(S)$ bukan himpunan kosong.
Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{v},\textbf{w} \in \text{span}(S)$ dengan $$\begin{aligned} \textbf{v} &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n \\ \textbf{w} &= m_1\textbf{u}_1+m_2\textbf{u}_2+\ldots+m_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$
Untuk membuktikan $\text{span}(S)$ subruang dari $V$, perlu ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in \text{span}(S)$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= (l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n)+k(m_1\textbf{u}_1+m_2\textbf{u}_2+\ldots+m_n\textbf{u}_n) \\ &= (l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n)+(km_1\textbf{u}_1+km_2\textbf{u}_2+\ldots+km_n\textbf{u}_n) \\ &= (l_1+km_1)\textbf{u}_1+(l_2+km_2)\textbf{u}_2+\ldots+(l_n+km_n)\textbf{u}_n \end{aligned}$$
Akibatnya $\textbf{v}+k\textbf{w} \in \text{span}(S)$. Dengan demikian, $\text{span}(S)$ adalah subruang vektor dari $V$. Terbukti.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ adalah himpunan vektor dalam $V$. Buktikan bahwa $S \subseteq \text{span}(S)$.
Misalkan $\textbf{u}_r \in S$. Untuk membuktikan $S \subseteq \text{span}(S)$, perlu ditunjukkan $\textbf{u}_r \in \text{span}(S)$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u}_r = 0\textbf{u}_1+0\textbf{u}_2+\ldots+1\textbf{u}_r+\ldots+0\textbf{u}_n$$ sehingga $\textbf{u}_r \in \text{span}(S)$. Dengan demikian, $S \subseteq \text{span}(S)$. Terbukti.
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n\}$ adalah himpunan vektor dalam $V$. Jika $W$ adalah subruang $V$ yang memuat $S$, maka buktikan bahwa $\text{span}(S) \subseteq W$.
Misalkan $\textbf{t} \in \text{span}(S)$, sehingga $$\textbf{t}=k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ untuk suatu skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$.
Diketahui $S \subseteq W$, sehingga $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n \in W$. Karena $W$ subgrup, maka aksioma 1 dan 6 berlaku, sehingga $$k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n = \textbf{t} \in W$$
Dengan demikian, $\text{span}(S) \subseteq W$. Terbukti.
Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ dengan $$\textbf{u}_1=(1,0,0), \: \textbf{u}_2=(0,1,0), \: \textbf{u}_3=(0,0,1)$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Diambil sebarang $\textbf{w}=(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{w} &= (a_1,a_2,a_3) \\ &= (a_1,0,0)+(0,a_2,0)+(0,0,a_3) \\ &= a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1) \\ &= a_1 \textbf{u}_1+a_2 \textbf{u}_2 + a_3 \textbf{u}_3 \end{aligned}$$
Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ dengan $$\textbf{u}_1=(2,2,2), \: \textbf{u}_2=(0,0,3), \: \textbf{u}_3=(0,1,1)$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Diambil sebarang $\textbf{w}=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (a,b,c) &= p(2,2,2) + q(0,0,3) + r(0,1,1) \\ &= (2p,2p,2p) + (0,0,3q) + (0,r,r) \\ &= (2p,2p+r,2p+3q+r) \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} 2p&\:\:&&\:\:& \:=\: &a \\ 2p&\:\:&&\:+\:&r \:=\: &b \\ 2p&\:+\:&3q&\:+\:&r \:=\: &c \end{alignat*}\right.$$
Dari persamaan pertama diperoleh $p=a/2$. Substitusi nilai $p$ pada persamaan kedua, untuk memperoleh nilai $r=b-a$. Terakhir, substitusi nilai $p$ dan $r$ pada persamaan ketiga, untuk memperoleh nilai $q=(c-b)/3$.
Jadi, sistem persamaan di atas mempunyai solusi $$p=\frac{a}{2}, \: q=\frac{c-b}{3}, \: r=b-a$$
Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ dengan $$\textbf{u}_1=(2,2,2), \: \textbf{u}_2=(0,0,3), \: \textbf{u}_3=(0,1,1)$$ Gunakan Teorema 1 untuk menunjukkan bahwa himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Misalkan $W=\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\textbf{e}_3\}$ dengan $$\textbf{e}_1=(1,0,0),\:\textbf{e}_2=(0,1,0),\:\textbf{e}_3=(0,0,1)$$ Kita tahu bahwa himpunan $W$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Karena $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3 \in \mathbb{R}^3$, maka ketiganya dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $W$.
Berikutnya, tinggal ditunjukkan bahwa $\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\textbf{e}_3$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{e}_3 &= \frac{1}{3} \textbf{u}_2 \\ \textbf{e}_2 &= \textbf{u}_3-\frac{1}{3} \textbf{u}_2 \\ \textbf{e}_1 &= \frac{1}{2} \textbf{u}_1-\textbf{u}_3 \end{aligned}$$
Berdasarkan Teorema 1, diperoleh $$\text{span}(S)=\text{span}(W)=\mathbb{R}^3$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$. Terbukti.
Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ dengan $$\textbf{u}_1=(1,1,1), \: \textbf{u}_2=(1,2,3), \: \textbf{u}_3=(1,5,8)$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Diambil sebarang $\textbf{w}=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (a,b,c) &= p(1,1,1) + q(1,2,3) + r(1,5,8) \\ &= (p+q+r,p+2q+5r,p+3q+8r) \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} p&\:+\:&q&\:+\:&r \:=\: &a \\ p&\:+\:&2q&\:+\:&5r \:=\: &b \\ p&\:+\:&3q&\:+\:&8r \:=\: &c \end{alignat*}\right.$$
Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&5\\1&3&8\end{bmatrix}$$
Karena $\text{det}(A)=-1\neq0$ (periksa!), maka sistem persamaan di atas konsisten untuk setiap $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$. Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Misalkan $S=\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$ dengan $$\textbf{u}_1=(2,-1,3), \: \textbf{u}_2=(4,1,2), \: \textbf{u}_3=(8,-1,8)$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.
Diambil sebarang $\textbf{w}=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (a,b,c) &= p(2,-1,3) + q(4,1,2) + r(8,-1,8) \\ &= (2p+4q+8r,-p+q-r,3p+2q+8r) \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} 2p&\:+\:&4q&\:+\:&8r \:=\: &a \\ -p&\:+\:&q&\:-\:&r \:=\: &b \\ 3p&\:+\:&2q&\:+\:&8r \:=\: &c \end{alignat*}\right.$$
Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}2&4&8\\-1&1&-1\\3&2&8\end{bmatrix}$$
Karena $\text{det}(A)=0$ (periksa!), maka dapat disimpulkan bahwa himpunan $S$ tidak merentang $\mathbb{R}^3$.
Misalkan $$\textbf{u}_1=(1,2,0), \: \textbf{u}_2=(-1,1,2), \: \textbf{u}_3=(3,0,-4)$$ Tentukan syarat yang harus dipenuhi oleh $a,b,c$ sehingga $\textbf{w} = (a,b,c) \in \mathbb{R}^3$ berada dalam $\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$.
Misalkan $\textbf{w} = (a,b,c) \in \text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$, sehingga terdapat skalar $p,q,r$ yang memenuhi $$\begin{aligned} \textbf{w} &= p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3 \\ (a,b,c) &= p(1,2,0) + q(-1,1,2) + r(3,0,-4) \\ &= (p-q+3r,2p+q,2q-4r) \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} p&\:-\:&q&\:+\:&3r \:=\: &a \\ 2p&\:+\:&q&\:\:& \:=\: &b \\ &\:\:&2q&\:-\:&4r \:=\: &c \end{alignat*}\right.$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan ini adalah $$\begin{bmatrix}1&-1&3&a\\2&1&0&b\\0&2&-4&c\end{bmatrix}$$ dengan bentuk eselon baris $$\begin{bmatrix}1&-1&3&a\\0&1&-2&\frac{-2a+b}{3}\\0&0&0&\frac{-2a+b}{3}-\frac{c}{2}\end{bmatrix}$$
Karena $\textbf{w} \in \text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$, maka sistem persamaan di atas harus konsisten. Dan ini terjadi, jika $$\frac{-2a+b}{3}-\frac{c}{2}=0 \quad \Longrightarrow \quad -4a+2b-3c=0$$
Jadi, syarat yang harus dipenuhi oleh $a,b,c$ adalah $-4a+2b-3c=0$.
Misalkan $$\textbf{u}_1=(1,6,4), \: \textbf{u}_2=(2,4,-1), \: \textbf{u}_3=(-1,2,5)$$ dan $$\textbf{w}_1=(1,-2,-5), \: \textbf{w}_2=(0,8,9)$$
Gunakan Teorema 1, untuk menunjukkan bahwa $\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}=\text{span}\{\textbf{w}_1,\textbf{w}_2\}$.
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{w}_1,\textbf{w}_2$.
Hal ini dapat dilakukan dengan inspeksi, karena komponen pertama dari $\textbf{w}_2$ adalah $0$. $$\begin{aligned} \textbf{u}_1 &= \textbf{w}_1+\textbf{w}_2 \\ \textbf{u}_2 &= 2\textbf{w}_1+\textbf{w}_2 \\ \textbf{u}_3 &= -\textbf{w}_1 \end{aligned}$$
Berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa $\textbf{w}_1,\textbf{w}_2$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{w}_1 &= -\textbf{u}_3 \\ \textbf{w}_2 &= \textbf{u}_1+\textbf{u}_3 \end{aligned}$$
Berdasarkan Teorema 1, dapat disimpulkan bahwa $$\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}=\text{span}\{\textbf{w}_1,\textbf{w}_2\}$$
Terbukti.
Misalkan $S=\{\textbf{p}_1,\textbf{p}_2,\textbf{p}_3\}$ dengan $$\textbf{p}_1=1, \: \textbf{p}_2=x, \: \textbf{p}_3=x^2$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $P_2$.
Diambil sebarang $\textbf{q}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{q} &= a+bx+cx^2 \\ &= a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2 \\ &= a \textbf{p}_1+b \textbf{p}_2 + c \textbf{p}_3 \end{aligned}$$
Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $P_2$.
Misalkan $S=\{\textbf{p}_1,\textbf{p}_2,\textbf{p}_3\}$ dengan $$\textbf{p}_1=x^2+1, \: \textbf{p}_2=x^2+x, \: \textbf{p}_3=x+1$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $P_2$.
Diambil sebarang $\textbf{w}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=k_1\textbf{p}_1 + k_2\textbf{p}_2 + k_3\textbf{p}_3$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+bx+cx^2 &= k_1(x^2+1) + k_2(x^2+x) + k_3(x+1) \\ &= (k_1+k_3) + (k_2+k_3)x + (k_1+k_2)x^2 \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\:\:&&\:+\:&k_3 \:=\: &a \\ &\:\:&k_2&\:+\:&k_3 \:=\: &b \\ k_1&\:+\:&k_2&\:\:& \:=\: &c \end{alignat*}\right.$$
Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}$$
Karena $\text{det}(A)=-2\neq0$ (periksa!), maka sistem persamaan di atas konsisten untuk setiap $a+bx+cx^2 \in P_2$. Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $P_2$.
Misalkan $S=\{\textbf{p}_1,\textbf{p}_2,\textbf{p}_3,\textbf{p}_4\}$ dengan $$\textbf{p}_1=1-x+2x^2, \: \textbf{p}_2=3+x, \: \textbf{p}_3=5-x+4x^2, \: \textbf{p}_4=-2-2x+2x^2$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $P_2$.
Diambil sebarang $\textbf{w}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3,k_4$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=k_1\textbf{p}_1 + k_2\textbf{p}_2 + k_3\textbf{p}_3+k_4\textbf{p}_4$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+bx+cx^2 &= k_1(1-x+2x^2) + k_2(3+x) + k_3(5-x+4x^2) + k_4(-2-2x+2x^2) \\ &= (k_1+3k_2+5k_3-2k_4) + (-k_1+k_2-k_3-2k_4)x + (2k_1+4k_3+2k_4)x^2 \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{4} k_1&\:+\:&3k_2&\:+\:&5k_3&\:-\:&2k_4 \:=\: &a \\ -k_1&\:+\:&k_2&\:-\:&k_3&\:-\:&2k_4 \:=\: &b \\ 2k_1&\:\:&&\:+\:&4k_3&\:+\:&2k_4 \:=\: &c \end{alignat*}\right.$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan ini adalah $$A=\begin{bmatrix} 1&3&5&-2&a\\ -1&1&-1&-2&b\\ 2&0&4&2&c \end{bmatrix}$$
dengan bentuk eselon baris $$A=\begin{bmatrix} 1&3&5&-2&a\\ 0&1&1&-1&\frac{a+b}{4}\\ 0&0&0&0&-\frac{a}{2}+\frac{3b}{2}+c \end{bmatrix}$$
Sistem persamaan ini konsisten, hanya jika $$-\frac{a}{2}+\frac{3b}{2}+c=0$$
Dengan demikian, himpunan $S$ tidak merentang $P_2$.
Misalkan $S=\{E_1,E_2,E_3,E_4\}$ dengan $$\begin{aligned} E_1 &= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} \quad &E_2 &= \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \\[5pt] E_3 &= \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix} \quad &E_4 &= \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Diambil sebarang $A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, dengan $$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu $a_1,a_2,a_3,a_4 \in \mathbb{R}$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}a_1&0\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&a_2\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\a_3&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\0&a_4\end{bmatrix} \\[5pt] &= a_1\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}+a_3\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}+a_4\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 + a_4E_4 \end{aligned}$$
Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Misalkan $S=\{A,B,C,D\}$ dengan $$\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} \quad &B &= \begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix} \\[5pt] C &= \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} \quad &D &= \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Periksa apakah himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Diambil sebarang $P \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$, dengan $$P=\begin{bmatrix}p_1&p_2\\p_3&p_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu $p_1,p_2,p_3,p_4 \in \mathbb{R}$.
Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3,k_4$ sedemikian sehingga $P=k_1A+k_2B+k_3C+k_4D$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}p_1&p_2\\p_3&p_4\end{bmatrix} &= k_1\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} + k_2\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix} + k_3\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} + k_4\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}k_1+k_2+k_3+k_4&k_2+k_3\\k_3+k_4&k_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$
Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{4} k_1&\:+\:&k_2&\:+\:&k_3&\:-\:&k_4 \:=\: &p_1 \\ &\:\:&k_2&\:+\:&k_3&\:\:& \:=\: &p_2 \\ &\:\:&&\:\:&k_3&\:+\:&k_4 \:=\: &p_3 \\ &\:\:&&\:\:&&\:\:&k_4 \:=\: &p_4 \end{alignat*}\right.$$
Melalui substitusi balik, diperoleh solusi $$\begin{aligned} k_1 &= p_1-p_2-p_4 \\ k_2 &= p_2-p_3+p_4 \\ k_3 &= p_3-p_4 \\ k_4 &= p_4 \end{aligned}$$
Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.