Beranda › Aljabar Linear
Subscribe!
untuk berlangganan artikel melalui WhatsApp.

Soal dan Pembahasan - Subruang Vektor

Kirim Soal — Diperbarui 7 November 2020

Subruang Vektor adalah himpunan bagian dari ruang vektor , yang juga merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .

Definisi Subruang

Sebelum membahas soal-soal, kita perlu menegaskan kembali definisi subruang vektor.

Definisi

Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan bagian dari . Himpunan disebut subruang dari , jika merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .

Uji Subruang

Berdasarkan definisi, kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada . Namun, sebagai himpunan bagian dari , himpunan mewarisi beberapa aksioma ruang vektor yang berlaku pada , seperti sifat komutatif dan asosiatif terhadap operasi penjumlahan vektor (Aksioma 2 dan 3).

Berikut adalah teorema yang digunakan untuk memeriksa apakah sebuah himpunan merupakan subruang vektor.

Teorema 1

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor . Himpunan adalah subruang dari , jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Jika kedua syarat terpenuhi ( dan ) maka adalah subruang dari . Sebaliknya, jika salah satu atau keduanya tidak terpenuhi, maka bukan subruang dari .

Selain teorema di atas, kita juga dapat menggunakan teorema berikut.

Teorema 2

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor . Himpunan adalah subruang dari jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Soal dan Pembahasan

Kita mulai dengan bukti Teorema 1 dan 2, dilanjutkan dengan penerapan kedua teorema ini.

Nomor 1

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor .
Buktikan bahwa adalah subruang dari , jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Pembahasan

Loading...

Nomor 2

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor .
Buktikan bahwa adalah subruang dari jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Pembahasan

Loading...

Nomor 3

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 4

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 5

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 6

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 7

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 8

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 9

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 10

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 11

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 12

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 13

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 14

Misalkan dan didefinisikan Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 15

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 16

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 17

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 18

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 19

didefinisikan sebagai himpunan matriks yang berbentuk Periksa apakah subruang vektor dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 20

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 21

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 22

Didefinisikan

Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Loading...