Soal dan Pembahasan - Subruang Vektor
Subruang Vektor adalah himpunan bagian dari ruang vektor $V$, yang juga merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada $V$.
Daftar Isi
Definisi Subruang
Sebelum membahas soal-soal, kita perlu menegaskan kembali definisi subruang vektor.
Definisi
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $W$ adalah himpunan bagian dari $V$. Himpunan $W$ disebut subruang dari $V$, jika $W$ merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada $V$.
Uji Subruang
Berdasarkan definisi, kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada $W$. Namun, sebagai himpunan bagian dari $V$, himpunan $W$ mewarisi beberapa aksioma ruang vektor yang berlaku pada $V$, seperti sifat komutatif dan asosiatif terhadap operasi penjumlahan vektor (Aksioma 2 dan 3).
Berikut adalah teorema yang digunakan untuk memeriksa apakah sebuah himpunan merupakan subruang vektor.
Teorema 1
Misalkan $W$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$. Himpunan $W$ adalah subruang dari $V$, jika dan hanya jika untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$ berlaku $$\textbf{v}+\textbf{w} \in W \quad \text{dan} \quad k\textbf{v} \in W$$
Jika kedua syarat terpenuhi ($\textbf{v}+\textbf{w} \in W$ dan $k\textbf{v} \in W$) maka $W$ adalah subruang dari $V$. Sebaliknya, jika salah satu atau keduanya tidak terpenuhi, maka $W$ bukan subruang dari $V$.
Selain teorema di atas, kita juga dapat menggunakan teorema berikut.
Teorema 2
Misalkan $W$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$. Himpunan $W$ adalah subruang dari $V$ jika dan hanya jika untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$ berlaku $$\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$$
Soal dan Pembahasan
Kita mulai dengan bukti Teorema 1 dan 2, dilanjutkan dengan penerapan kedua teorema ini.
Misalkan $W$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$. Buktikan bahwa $W$ adalah subruang dari $V$, jika dan hanya jika untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$ berlaku $$\textbf{v}+\textbf{w} \in W \quad \text{dan} \quad k\textbf{v} \in W$$
Misalkan $W$ adalah subruang dari ruang vektor $V$, sehingga $W$ sendiri merupakan ruang vektor.
Berdasarkan Aksioma 1 dan 6, untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$ diperoleh $$\textbf{v}+\textbf{w} \in W \quad \text{dan} \quad k\textbf{v} \in W$$ Terbukti.
Dari KananMisalkan $W$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$, yang memenuhi $$\begin{aligned} \textbf{v}+\textbf{w} &\in W \quad &&\ldots(1) \\ k\textbf{v} &\in W &&\ldots(2) \end{aligned}$$ untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$.
Untuk membuktikan bahwa $W$ subruang dari $V$, perlu ditunjukkan bahwa $W$ memenuhi 10 aksioma ruang vektor.
Berdasarkan (1) dan (2), himpunan $W$ memenuhi Aksioma 1 dan 6. Selain itu, sebagai himpunan bagian dari ruang vektor $V$, $W$ mewarisi beberapa aksioma ruang vektor yang dipenuhi oleh $V$.
Diambil sebarang $\textbf{x},\textbf{y} \in W$. Karena $W \subseteq V$, maka diperoleh $\textbf{x},\textbf{y} \in V$.
Sebagai ruang vektor, $V$ memenuhi Aksioma 2, sehingga $$\textbf{x}+\textbf{y}=\textbf{y}+\textbf{x}$$
Jadi, $W$ juga memenuhi Aksioma 2. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa $W$ memenuhi Aksioma 3, 7, 8, 9, dan 10.
Dengan ini, tersisa dua aksioma ruang vektor, yaitu Aksioma 4 dan 5. Untuk itu, perlu ditunjukkan bahwa $W$ memuat $\textbf{0}$ dan $-\textbf{x}$.
Berdasarkan sifat ruang vektor dan (2), untuk skalar $0$ dan $-1$, diperoleh $$0\textbf{x}=\textbf{0} \in W \quad \text{dan} \quad (-1)\textbf{x}=-\textbf{x} \in W$$
Jadi, $W$ juga memenuhi Aksioma 4 dan 5. Dengan demikian, $W$ adalah ruang vektor, sehingga $W$ adalah subruang dari $V$. Terbukti.
Misalkan $W$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$. Buktikan bahwa $W$ adalah subruang dari $V$ jika dan hanya jika untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$ berlaku $$\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$$
Misalkan $W$ adalah subruang dari ruang vektor $V$, sehingga $W$ sendiri merupakan ruang vektor.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Berdasarkan Aksioma 6, diperoleh $k\textbf{w} \in W$. Berikutnya, berdasarkan Aksioma 1, diperoleh $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Terbukti.
Dari KananMisalkan $W$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$, yang memenuhi $$\textbf{v}+k\textbf{w} \in W \quad \ldots (1)$$ untuk setiap skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$.
Akan dibuktikan bahwa $W$ subruang vektor dari $V$, menggunakan Teorema 1. Diambil sebarang $\textbf{x},\textbf{y} \in W$ dan skalar $m$.
Karena $1$ adalah skalar dan $\textbf{x},\textbf{y} \in W$, maka berdasarkan (1) diperoleh $$\textbf{x}+1\textbf{y} = \textbf{x}+\textbf{y} \in W$$
Selain itu, $m$ skalar dan $\textbf{0},\textbf{x} \in W$ berakibat $$\textbf{0}+m\textbf{x}=m\textbf{x} \in W$$
Diperoleh $\textbf{x}+\textbf{y} \in W$ dan $m\textbf{x} \in W$. Berdasarkan Teorema 1, $W$ adalah subruang dari $V$. Terbukti.
Didefinisikan $W=\{(a,0) \mid a \in \mathbb{R} \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^2$.
Berdasarkan definisi himpunan $W$, jelas bahwa $W$ himpunan bagian dari $\mathbb{R}^2$. Selain itu, terdapat $(0,0) \in W$ sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\textbf{v}=(a,0) \quad \text{dan} \quad \textbf{w}=(b,0)$$ untuk suatu $a,b \in \mathbb{R}$.
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= (a,0)+k(b,0) \\ &= (a,0)+(kb,0) \\ &=(a+kb,0) \end{aligned}$$
Kita tahu bahwa $\mathbb{R}$ adalah ruang vektor. Karena $a,b \in \mathbb{R}$ dan $k$ adalah skalar, maka $a+kb \in \mathbb{R}$.
Akibatnya, $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^2$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid b=a+c \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $\mathbb{R}^3$. Selain itu, terdapat $(0,0,0) \in W$ sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\begin{aligned} \textbf{v}&=(a_1,b_1,c_1), \quad a_1,b_1,c_1 \in \mathbb{R} \text{ dan } b_1=a_1+c_1 \\ \textbf{w}&=(a_2,b_2,c_2), \quad a_2,b_2,c_2 \in \mathbb{R} \text{ dan } b_2=a_2+c_2 \end{aligned}$$
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= (a_1,b_1,c_1)+k(a_2,b_2,c_2) \\ &= (a_1,b_1,c_1)+(ka_2,kb_2,kc_2) \\ &= (\textcolor{red}{a_1+ka_2},\textcolor{green}{b_1+kb_2},\textcolor{blue}{c_1+kc_2}) \end{aligned}$$
Setiap komponen dari $\textbf{v}+k\textbf{w}$ adalah bilangan real, dengan $$\begin{aligned} \textcolor{green}{b_1+kb_2} &= (a_1+c_1)+k(a_2+c_2) \\ &= (a_1+c_1)+(ka_2+kc_2) \\ &= \textcolor{red}{a_1+ka_2}+\textcolor{blue}{c_1+kc_2} \end{aligned}$$
Akibatnya, $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{(a,1) \mid a \in \mathbb{R} \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^2$.
Terdapat skalar $2$ dan $(0,1) \in W$ sedemikian sehingga $$2(0,1)=(0,2) \notin W$$
Dengan demikian, $W$ bukan subruang dari $V$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid b=a+c+1 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Untuk $k=2$ dan $\textbf{v}=(-1,1,1)$ diperoleh $$k\textbf{v}=2(-1,1,1)=(\textcolor{red}{-2},\textcolor{green}{2},\textcolor{blue}{2})$$
Karena $\textcolor{green}{2} \neq \textcolor{red}{-2}+\textcolor{blue}{2}+1$, maka $k\textbf{v} \notin W$. Akibatnya, $W$ bukan subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid a=b \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $\mathbb{R}^3$. Selain itu, terdapat $(0,0,0) \in W$ sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\begin{aligned} \textbf{v}&=(a_1,b_1,c_1), \quad a_1,b_1,c_1 \in \mathbb{R} \text{ dan } a_1=b_1 \\ \textbf{w}&=(a_2,b_2,c_2), \quad a_2,b_2,c_2 \in \mathbb{R} \text{ dan } a_2=b_2 \end{aligned}$$
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= (a_1,b_1,c_1)+k(a_2,b_2,c_2) \\ &= (a_1,b_1,c_1)+(ka_2,kb_2,kc_2) \\ &= (\textcolor{red}{a_1+ka_2},\textcolor{green}{b_1+kb_2},c_1+kc_2) \end{aligned}$$
Setiap komponen dari $\textbf{v}+k\textbf{w}$ adalah bilangan real, dengan $$\begin{aligned} \textcolor{red}{a_1+ka_2} &= \textcolor{green}{b_1+kb_2} \quad [\text{Karena } a_1=b_1 \text{ dan } a_2=b_2] \end{aligned}$$
Akibatnya, $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid a=1 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Untuk $k=2$ dan $\textbf{v}=(1,0,0)$ diperoleh $$k\textbf{v}=2(1,0,0)=(\textcolor{red}{2},0,0)$$
Komponen pertama dari $k\textbf{v}$ bukanlah 1, sehingga $k\textbf{v} \notin W$. Akibatnya, $W$ bukan subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid abc=0 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Untuk $\textbf{v}=(0,1,0)$ dan $\textbf{w}=(1,0,1)$ diperoleh $$\textbf{v}+\textbf{w}=(1,1,1)$$
Hasil kali dari komponen-komponen $\textbf{v}+\textbf{w}$ adalah $1\cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0$, sehingga $\textbf{v}+\textbf{w} \notin W$. Akibatnya, $W$ bukan subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid a+b+c=0 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $\mathbb{R}^3$. Selain itu, terdapat $(0,0,0) \in W$ sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\begin{aligned} \textbf{v}&=(a_1,b_1,c_1), \quad a_1,b_1,c_1 \in \mathbb{R} \text{ dan } a_1+b_1+c_1=0 \\ \textbf{w}&=(a_2,b_2,c_2), \quad a_2,b_2,c_2 \in \mathbb{R} \text{ dan } a_2+b_2+c_2=0 \end{aligned}$$
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= (a_1,b_1,c_1)+k(a_2,b_2,c_2) \\ &= (a_1,b_1,c_1)+(ka_2,kb_2,kc_2) \\ &= (\textcolor{red}{a_1+ka_2},\textcolor{green}{b_1+kb_2},\textcolor{blue}{c_1+kc_2}) \end{aligned}$$
Setiap komponen dari $\textbf{v}+k\textbf{w}$ adalah bilangan real, dengan $$\begin{aligned} \textcolor{red}{a_1+ka_2}+\textcolor{green}{b_1+kb_2} +\textcolor{blue}{c_1+kc_2} &= (a_1+b_1+c_1)+(ka_2+kb_2+kc_2) \\ &= (a_1+b_1+c_1)+k(a_2+b_2+c_2) \\ &= 0+k \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Akibatnya, $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \mid a \leq b \leq c \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Untuk $k=-1$ dan $\textbf{v}=(0,1,2)$ diperoleh $$k\textbf{v}=(0,-1,-2)$$
Perhatikan bahwa $0 \geq -1 \geq -2$, sehingga $k\textbf{v} \notin W$. Akibatnya, $W$ bukan subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{k_1(1,4,0)+k_2(2,2,2) \mid k_1, k_2 \text{ skalar} \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Berdasarkan sifat tertutup pada $\mathbb{R}^3$, $W$ adalah himpunan bagian dari $\mathbb{R}^3$. Selain itu, terdapat $(0,0,0) \in W$ (untuk $k_1=k_2=0$), sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\begin{aligned} \textbf{v} &= m_1(1,4,0)+m_2(2,2,2), \quad &&m_1,m_2 \text{ skalar} \\ \textbf{w} &= l_1(1,4,0)+l_2(2,2,2), &&l_1,l_2 \text{ skalar} \end{aligned}$$
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= [m_1(1,4,0)+m_2(2,2,2)] + k[l_1(1,4,0)+l_2(2,2,2)] \\ &= m_1(1,4,0)+m_2(2,2,2)+kl_1(1,4,0)+kl_2(2,2,2) \\ &= [m_1+kl_1](1,4,0)+[m_2+kl_2](2,2,2) \\ \end{aligned}$$
Karena $m_1+kl_1$ dan $m_2+kl_2$ adalah skalar, maka $\textbf{v}+k\textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Didefinisikan $W=\{A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid \text{tr}(A)=0 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$. Selain itu, $W$ memuat matriks nol sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $A,B \in W$. Sebagai anggota $W$, $A$ dan $B$ memenuhi $$\text{tr}(A)=0 \quad \text{dan} \quad \text{tr}(B)=0$$
Akan ditunjukkan $A+kB \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \text{tr}(A+kB) &= \text{tr}(A)+\text{tr}(kB) \\ &= \text{tr}(A)+k\cdot \text{tr}(B) \\ &= 0+k\cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Karena $\text{tr}(A+kB)=0$, maka $A+kB \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Misalkan $C \in M_{n \times n}$ dan didefinisikan $$W=\{A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid AC=CA \}$$ Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$. Matriks nol komutatif dengan $C$, sehingga matriks nol adalah anggota $W$. Akibatnya, $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $A,B \in W$. Sebagai anggota $W$, $A$ dan $B$ memenuhi $$AB=BA \quad \text{dan} \quad AC=CA$$
Akan ditunjukkan $A+kB \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (A+kB)C &= AC+(kB)C \\ &= AC+k(BC) \\ &= CA+k(CB) \\ &= CA+C(kB) \\ &= C(A+kB) \end{aligned}$$
Karena $A+kB$ matriks $n\times n$ dan komutatif dengan $C$, maka $A+kB \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
Didefinisikan $W=\{A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid A^T=A \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$. Perhatikan bahwa $\textbf{0}^T=\textbf{0}$, sehingga $\textbf{0} \in W$. Akibatnya, $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $A,B \in W$. Sebagai anggota $W$, $A$ dan $B$ memenuhi $$A^T=A \quad \text{dan} \quad B^T=B$$
Akan ditunjukkan $A+kB \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (A+kB)^T &= A^T+(kB)^T \\ &= A^T+kB^T \\ &= A+kB \end{aligned}$$
Akibatnya $A+kB \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Didefinisikan $W=\{A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid A^T=-A \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$. Perhatikan bahwa $\textbf{0}^T=-\textbf{0}$, sehingga $\textbf{0} \in W$. Akibatnya, $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $A,B \in W$. Sebagai anggota $W$, $A$ dan $B$ memenuhi $$A^T=-A \quad \text{dan} \quad B^T=-B$$
Akan ditunjukkan $A+kB \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (A+kB)^T &= A^T+(kB)^T \\ &= A^T+kB^T \\ &= (-A)+k(-B) \\ &= -(A+kB) \end{aligned}$$
Akibatnya $A+kB \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Didefinisikan $W=\{A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid \text{det}(A)=0 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
Misalkan $$A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad B = \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$$ Perhatikan bahwa $\text{det}(A)=0$ dan $\text{det}(B)=0$, sehingga $A,B \in W$. Namun $$\text{det}(A+B) = \text{det}(\textbf{I}) = 1$$ sehingga $A+B \notin W$. Akibatnya, $W$ bukan subruang vektor dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Didefinisikan $W=\{A \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid \text{det}(A)=0 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
Perhatikan matriks $A=\text{diag}(1,1,\ldots,1,0)$ dan $B=\text{diag}(0,0,\ldots,0,1)$. Keduanya adalah matriks diagonal $n\times n$ dengan determinan nol, sehingga $A,B \in W$.
Namun, jumlah kedua matriks adalah $$A+B=\text{diag}(1,1,\ldots,1)=\textbf{I}$$
Kita tahu bahwa determinan matriks identitas adalah 1, sehingga $A+B \notin W$. Dengan demikian, $W$ bukan subruang dari $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.
$W$ didefinisikan sebagai himpunan matriks yang berbentuk $$\begin{bmatrix} a&1\\ 1&b \end{bmatrix}$$ Periksa apakah $W$ subruang vektor dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Untuk $k=2$ dan $$A = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \in W$$ diperoleh $$kA = \begin{bmatrix}0&2\\2&0\end{bmatrix} \notin W$$
Akibatnya, $W$ bukan subruang vektor dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Didefinisikan $W=\{A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid A^2=A \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
Perhatikan bahwa $\textbf{I}^2 = \textbf{I}$, sehingga $\textbf{I} \in W$. Untuk $k = 2$, diperoleh $$(2\textbf{I})^2 = (2\textbf{I})(2\textbf{I}) = 4\textbf{I}^2=4\textbf{I}$$
Karena $(2\textbf{I})^2 \neq 2\textbf{I}$, maka $2\textbf{I} \notin W$. Akibatnya, $W$ bukan subruang vektor dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
Didefinisikan $W=\{a_0+a_1x+a_2x^2 \in P_2 \mid a_0=0 \}$. Periksa apakah $W$ subruang dari $P_2$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $P_2$. Selain itu, $W$ memuat $0+0x+0x^2$ sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\begin{aligned} \textbf{v} &= v_0+v_1x+v_2x^2, \quad &&v_0,v_1,v_2 \in \mathbb{R} \\ \textbf{w} &= w_0+w_1x+w_2x^2, \quad &&w_0,w_1,w_2 \in \mathbb{R} \end{aligned}$$ dengan $$v_0=0 \quad \text{dan} \quad w_0=0$$
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k \textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k \textbf{w} &= (v_0+v_1x+v_2x^2)+k(w_0+w_1x+w_2x^2) \\ &= (v_0+v_1x+v_2x^2)+(kw_0+kw_1x+kw_2x^2) \\ &= (\textcolor{green}{v_0+kw_0})+(v_1+kw_1)x+(v_2+kv_2)x^2 \end{aligned}$$
Karena $$\textcolor{green}{v_0+kw_0}=0+k\cdot 0=0$$ maka $\textbf{v}+k \textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $P_2$.
Didefinisikan $$W=\{a_0+a_1x+a_2x^2 \in P_2 \mid a_0+a_1+a_2=0 \}$$
Periksa apakah $W$ subruang dari $P_2$.
Berdasarkan definisi, $W$ adalah himpunan bagian dari $P_2$. Selain itu, $W$ memuat $0+0x+0x^2$ sehingga $W$ bukan himpunan kosong.
Diambil sebarang skalar $k$ dan $\textbf{v},\textbf{w} \in W$. Tulis $$\begin{aligned} \textbf{v} &= v_0+v_1x+v_2x^2, \quad &&v_0,v_1,v_2 \in \mathbb{R} \\ \textbf{w} &= w_0+w_1x+w_2x^2, \quad &&w_0,w_1,w_2 \in \mathbb{R} \end{aligned}$$ dengan $$v_0+v_1+v_2=0 \quad \text{dan} \quad w_0+w_1+w_2=0$$
Akan ditunjukkan $\textbf{v}+k \textbf{w} \in W$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k \textbf{w} &= (v_0+v_1x+v_2x^2)+k(w_0+w_1x+w_2x^2) \\ &= (v_0+v_1x+v_2x^2)+(kw_0+kw_1x+kw_2x^2) \\ &= (\textcolor{red}{v_0+kw_0})+(\textcolor{green}{v_1+kw_1})x+(\textcolor{blue}{v_2+kv_2})x^2 \end{aligned}$$
Karena $$\begin{aligned} (\textcolor{red}{v_0+kw_0})+(\textcolor{green}{v_1+kw_1})+(\textcolor{blue}{v_2+kw_2}) &= (v_0+v_1+v_2)+(kw_0+kw_1+kw_2) \\ &= (v_0+v_1+v_2)+k(w_0+w_1+w_2) \\ &= 0+k\cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$
maka $\textbf{v}+k \textbf{w} \in W$. Berdasarkan Teorema 2, $W$ adalah subruang dari $P_2$.