Subruang Vektor adalah himpunan bagian dari ruang vektor , yang juga merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .
Definisi Subruang
Sebelum membahas soal-soal, kita perlu menegaskan kembali definisi subruang vektor.
Definisi
Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan bagian dari . Himpunan disebut subruang dari , jika merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .
Uji Subruang
Berdasarkan definisi, kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada . Namun, sebagai himpunan bagian dari , himpunan mewarisi beberapa aksioma ruang vektor yang berlaku pada , seperti sifat komutatif dan asosiatif terhadap operasi penjumlahan vektor (Aksioma 2 dan 3).
Berikut adalah teorema yang digunakan untuk memeriksa apakah sebuah himpunan merupakan subruang vektor.
Teorema 1
Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor . Himpunan adalah subruang dari , jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku
Jika kedua syarat terpenuhi ( dan ) maka adalah subruang dari . Sebaliknya, jika salah satu atau keduanya tidak terpenuhi, maka bukan subruang dari .
Selain teorema di atas, kita juga dapat menggunakan teorema berikut.
Teorema 2
Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor . Himpunan adalah subruang dari jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku
Soal dan Pembahasan
Kita mulai dengan bukti Teorema 1 dan 2, dilanjutkan dengan penerapan kedua teorema ini.
Nomor 1Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor .
Buktikan bahwa adalah subruang dari , jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku
Pembahasan Nomor 2Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor .
Buktikan bahwa adalah subruang dari jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku
Pembahasan Nomor 3Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 4Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 5Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 6Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 7Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 8Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 9Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 10Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 11Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 12Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 13Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 14Misalkan dan didefinisikan
Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 15Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 16Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 17Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 18Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 19 didefinisikan sebagai himpunan matriks yang berbentuk
Periksa apakah subruang vektor dari .
Pembahasan Nomor 20Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 21Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan Nomor 22Didefinisikan
Periksa apakah subruang dari .
Pembahasan