Beranda › Struktur Aljabar
Subscribe!
untuk berlangganan artikel melalui WhatsApp.

Soal dan Pembahasan - Subgrup

Kirim Soal — Diperbarui 14 Oktober 2020

Setelah belajar mengenai grup, tentu kita dapat menyebutkan contoh-contoh grup. Dua di antaranya adalah dan . Perhatikan bahwa dua grup ini memenuhi hubungan berikut.

  • Keduanya memiliki operasi biner yang sama, yaitu .
  • adalah subset dari .

Ada banyak grup yang memiliki hubungan serupa, di mana sebuah grup memuat grup lain (dengan operasi biner yang sama). Hal ini menuntun kita pada bahasan mengenai subgrup.

Definisi Subgrup

Sebelum membahas soal-soal, kita perlu mengetahui apa itu subgrup.

Definisi

Misalkan adalah grup dan adalah subset tak kosong dari . Maka disebut subgrup dari jika adalah grup.

Setiap grup non trivial memiliki sedikitnya dua subgrup. Salah satunya adalah , di mana menyatakan elemen identitas dari . Subgrup lainnya adalah himpunan sendiri.

Grup non trivial adalah grup yang beranggotakan lebih dari satu objek.

Uji Subgrup

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup . Berdasarkan definisi, perlu diperiksa keberlakuan 4 syarat grup pada . Namun, ini tidak harus dilakukan. Berikut adalah teorema yang memungkinkan kita melakukan uji subgrup dengan lebih efisien.

Teorema 1

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup . Maka adalah subgrup dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Dalam teorema di atas, kita menggunakan notasi multiplikatif (multiplicative notation). Secara umum, jika operasi binernya adalah , maka kita perlu menunjukkan .

Lebih khusus, jika operasi binernya adalah penjumlahan, maka kita perlu menunjukkan .

Selain Teorema 1, teorema berikut juga bisa digunakan.

Teorema 2

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup . Maka adalah subgrup dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku dan .

Kedua teorema di atas berlaku untuk semua grup, baik yang berhingga maupun yang tidak berhingga. Khusus untuk grup berhingga, terdapat cara yang lebih sederhana. Sebagaimana termuat dalam teorema berikut.

Teorema 3

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup berhingga . Maka subgrup dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Soal dan Pembahasan

Kita mulai dengan dua sifat dasar dari subgrup. Dilanjutkan dengan bukti Teorema 1, 2, dan 3.

Nomor 1

Misalkan adalah subgrup dari grup . Buktikan bahwa elemen identitas pada dan sama.

Pembahasan

Loading...

Nomor 2

Misalkan adalah subgrup dari grup dan . Buktikan bahwa invers dari di H sama dengan invers dari di G.

Pembahasan

Loading...

Nomor 3

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup . Buktikan bahwa adalah subgrup dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Pembahasan

Loading...

Nomor 4

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup . Buktikan bahwa adalah subgrup dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku dan .

Pembahasan

Loading...

Nomor 5

Misalkan adalah subset tak kosong dari grup berhingga . Buktikan bahwa subgrup dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Pembahasan

Loading...

Nomor 6

Misalkan adalah grup. Center dari didefinisikan sebagai Buktikan bahwa adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 7

Misalkan adalah grup dan . Jika satu-satunya elemen dengan order , maka buktikan bahwa .

Pembahasan

Loading...

Nomor 8

Misalkan adalah grup abelian dengan elemen identitas . Didefinisikan

Buktikan bahwa adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 9

Misalkan adalah grup abelian. Didefinisikan Buktikan bahwa subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 10

Misalkan adalah grup dan . Centralizer dari dalam , didefinisikan sebagai Buktikan bahwa adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 11

Misalkan dan adalah subgrup dari grup . Buktikan bahwa subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 12

Buktikan bahwa sebuah grup tidak dapat ditulis sebagai gabungan dari dua subgrup sejati.

Pembahasan

Loading...

Nomor 13

Misalkan adalah subgrup dari grup . Buktikan bahwa .

Pembahasan

Loading...

Nomor 14

Misalkan adalah subset dari grup berhingga . Jika , maka buktikan bahwa subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 15

Misalkan dan adalah subgrup dari grup . Buktikan bahwa subgrup dari jika dan hanya jika .

Pembahasan

Loading...

Nomor 16

Misalkan dan adalah subgrup dari grup abelian . Buktikan bahwa subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 17

Misalkan . Buktikan subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 18

Misalkan . Buktikan subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 19

Misalkan dan

Himpunan adalah grup di bawah operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 20

Misalkan menyatakan himpunan matriks real yang non-singular. Diketahui adalah grup di bawah operasi perkalian matriks.

Didefinisikan

Periksa apakah adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 21

Diketahui adalah grup di bawah operasi perkalian matriks. Didefinisikan

Periksa apakah adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 22

Notasi menyatakan himpunan bilangan kompleks tak nol. Diketahui adalah grup di bawah operasi perkalian bilangan kompleks. Didefinisikan

Periksa apakah adalah subgrup dari .

Pembahasan

Loading...

Nomor 23

Dalam grup permutasi , himpunan didefinisikan sebagai Apakah subgrup dari ?

Pembahasan

Loading...