Soal dan Pembahasan - Subgrup
Setelah belajar mengenai grup, tentu kita dapat menyebutkan contoh-contoh grup. Dua di antaranya adalah $(\mathbb{Z},+)$ dan $(\mathbb{Q},+)$. Perhatikan bahwa dua grup ini memenuhi hubungan berikut.
- Keduanya memiliki operasi biner yang sama, yaitu $+$.
- $\mathbb{Z}$ adalah subset dari $\mathbb{Q}$.
Ada banyak grup yang memiliki hubungan serupa, di mana sebuah grup memuat grup lain (dengan operasi biner yang sama). Hal ini menuntun kita pada bahasan mengenai subgrup.
Daftar Isi
Definisi Subgrup
Sebelum membahas soal-soal, kita perlu mengetahui apa itu subgrup.
Definisi
Misalkan $(G,\ast)$ adalah grup dan $H$ adalah subset tak kosong dari $G$. Maka $(H,\ast)$ disebut subgrup dari $(G,\ast)$ jika $(H,\ast)$ adalah grup.
Setiap grup non trivial $G$ memiliki sedikitnya dua subgrup. Salah satunya adalah $\{e\}$, di mana $e$ menyatakan elemen identitas dari $G$. Subgrup lainnya adalah himpunan $G$ sendiri.
Grup non trivial adalah grup yang beranggotakan lebih dari satu objek.
Uji Subgrup
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup $G$. Berdasarkan definisi, perlu diperiksa keberlakuan 4 syarat grup pada $H$. Namun, ini tidak harus dilakukan. Berikut adalah teorema yang memungkinkan kita melakukan uji subgrup dengan lebih efisien.
Teorema 1
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup $G$. Maka $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab^{-1} \in H$.
Dalam teorema di atas, kita menggunakan notasi multiplikatif (multiplicative notation). Secara umum, jika operasi binernya adalah $\ast$, maka kita perlu menunjukkan $a \ast b^{-1} \in H$.
Lebih khusus, jika operasi binernya adalah penjumlahan, maka kita perlu menunjukkan $a-b \in H$.
Selain Teorema 1, teorema berikut juga bisa digunakan.
Teorema 2
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup $G$. Maka $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.
Kedua teorema di atas berlaku untuk semua grup, baik yang berhingga maupun yang tidak berhingga. Khusus untuk grup berhingga, terdapat cara yang lebih sederhana. Sebagaimana termuat dalam teorema berikut.
Teorema 3
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup berhingga $G$. Maka $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab \in H$.
Soal dan Pembahasan
Kita mulai dengan dua sifat dasar dari subgrup. Dilanjutkan dengan bukti Teorema 1, 2, dan 3.
Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$. Buktikan bahwa elemen identitas pada $G$ dan $H$ sama.
Andaikan $G$ dan $H$ memiliki elemen identitas yang berbeda. Misalkan $e$ adalah elemen identitas pada $G$ dan $e'$ elemen identitas pada $H$, dengan $e \neq e'$.
Karena $e' \in H \subseteq G$ dan $e$ elemen identitas pada $G$, maka $$e'e=e' \tag{1}$$
Di lain pihak, $e'$ adalah elemen identitas pada $H$, sehingga $$e'e'=e' \tag{2}$$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $e'e=e'e'$. Berdasarkan Hukum Kanselasi, diperoleh $e=e'$. Kontradiksi.
Dengan demikian, elemen identitas pada $G$ dan $H$ sama.
Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$ dan $a \in H$. Buktikan bahwa invers dari $a$ di H sama dengan invers dari $a$ di G.
Misalkan $a'$ adalah invers dari $a$ di $H$ dan $a^{-1}$ adalah invers dari $a$ di $G$. Andaikan kedua invers ini berbeda, yaitu $a' \neq a^{-1}$.
Misalkan pula $e$ adalah elemen identitas pada $G$ dan $H$. Sebagai invers dari $a$ di $H$, $a'$ memenuhi $$aa'=e \tag{1}$$
Di lain pihak, sebagai invers dari $a$ di $G$, $a^{-1}$ memenuhi $$aa^{-1}=e \tag{2}$$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $aa'=aa^{-1}$. Berdasarkan Hukum Kanselasi, diperoleh $a'=a^{-1}$. Kontradiksi.
Dengan demikian, invers dari $a$ di $H$ sama dengan invers dari $a$ di $G$.
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup $G$. Buktikan bahwa $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab^{-1} \in H$.
Misalkan $H$ adalah subgrup dari $G$, dan $a,b \in H$. Karena $H$ subgrup, maka $H$ adalah grup. Sehingga, $b \in H$ berakibat $b^{-1} \in H$.
Berikutnya, berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $ab^{-1} \in H$. Terbukti.
Dari KananMisalkan $H$ adalah subset tak kosong dari $G$ yang memenuhi $ab^{-1} \in H$, untuk setiap $a,b \in H$. Untuk membuktikan $H$ subgrup dari $G$, perlu ditunjukkan bahwa $H$ adalah grup.
Karena $H$ tak kosong, maka dapat dipilih sebarang $a \in H$. Karena $a,a \in H$, maka $aa^{-1}=e \in H$. Artinya, $H$ mempunyai elemen identitas.
Berikutnya, $e,a \in H$ berakibat $ea^{-1}=a^{-1} \in H$. Artinya, setiap anggota $H$ mempunyai invers.
Sebagai subset dari grup $G$, $H$ mewarisi sifat asosiatif. Terakhir, perlu ditunjukkan bahwa $H$ memenuhi sifat tertutup.
Misalkan $b \in H$, sehingga $b^{-1} \in H$ (telah ditunjukkan). Perhatikan bahwa $a,b^{-1} \in H$ berakibat $$a(b^{-1})^{-1}=ab \in H$$
Artinya, $H$ memenuhi sifat tertutup. Dengan demikian, $H$ adalah grup. Lebih lanjut, $H$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup $G$. Buktikan bahwa $H$ adalah subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.
Misalkan $H$ adalah subgrup dari $G$, dan $a,b \in H$. Karena $H$ subgrup, maka $H$ adalah grup. Akibatnya, $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$. Terbukti.
Dari KananMisalkan $H$ adalah subset tak kosong dari $G$ yang memenuhi $$\begin{aligned} &ab \in H \qquad &&(1) \\ &b^{-1} \in H &&(2) \end{aligned}$$ untuk setiap $a,b \in H$. Untuk membuktikan $H$ subgrup dari $G$, akan digunakan Teorema 1.
Karena $H$ tak kosong, maka dapat dipilih sebarang $x,y \in H$. Pandang $y$ sebagai $b$ pada $(2)$, sehingga $y^{-1} \in H$. Berikutnya, pandang $x$ sebagai $a$ dan $y^{-1}$ sebagai $b$ pada $(1)$, sehingga $xy^{-1} \in H$.
Perhatikan bahwa $x,y \in H$ berakibat $xy^{-1} \in H$. Berdasarkan Teorema 1, $H$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup berhingga $G$. Buktikan bahwa $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab \in H$.
Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$, dan $a,b \in H$. Karena $H$ subgrup, maka $H$ adalah grup. Akibatnya, $ab \in H$. Terbukti.
Dari KananMisalkan $H$ adalah subset tak kosong dari grup berhingga $G$, sedemikian sehingga $ab \in H$ untuk setiap $a,b \in H$.
Misalkan $h \in H$. Jika $h=e$, maka diperoleh $h^{-1}=e^{-1}=e \in H$. Berdasarkan Teorema 2, $H$ adalah subgrup dari $G$.
Sekarang, asumsikan $h \neq e$. Perhatikan bahwa $$h,h^2,h^3, \ldots, h^n, \ldots \in H$$ sehingga $$S=\{h,h^2,h^3, \ldots, h^n, \ldots\} \subseteq H$$
Karena $H$ himpunan berhingga, maka sebagai subset, himpunan $S$ juga berhingga. Akibatnya, elemen-elemen $S$ tidak semuanya berbeda. Terdapat $m,n \in \mathbb{N}$ dengan $1 \leq m < n$, sedemikian sehingga $h^m=h^n$.
Perhatikan bahwa $$e = h^mh^{-m} = h^nh^{-m} = h^{n-m}$$
Karena $h \neq e$, maka $n-m > 1$. Dengan kata lain, $n-m \geq 2$, sehingga $$n-m-1 \geq 1$$
Sebelumnya, telah diperoleh $e=h^{n-m}$. Perhatikan bahwa $$e = h^{n-m} = eh^{n-m} = hh^{-1}h^{n-m} = hh^{n-m-1}$$
Karena $n-m-1 \geq 1$, maka $h^{n-m-1} \in H$. Akibatnya, persamaan $e=hh^{n-m-1}$ menunjukkan bahwa $$h^{-1} = h^{n-m-1} \in H$$
Karena $h^{-1} \in H$ dan $H$ bersifat tertutup (diketahui), maka berdasarkan Teorema 2, $H$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup. Center dari $G$ didefinisikan sebagai $$Z(G) = \{b \in G \mid ab=ba \text{ untuk setiap } a \in G \}$$ Buktikan bahwa $Z(G)$ adalah subgrup dari $G$.
Berdasarkan definisi, $Z(G)$ adalah subset dari $G$. Selain itu, $Z(G)$ bukan himpunan kosong, karena elemen identitas $e$ memenuhi $$ae=ea \text{ untuk setiap } a \in G$$ sehingga $e \in Z(G)$.
Misalkan $x,y \in Z(G)$, sehingga berlaku $ay=ya$, untuk setiap $a \in G$. Perhatikan bahwa $$ay=ya \quad \Longrightarrow \quad ay^{-1}=y^{-1}a$$ sehingga $y^{-1} \in Z(G)$.
Berikutnya, perlu ditunjukkan $xy \in Z(G)$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a(xy) &= (ax)y \quad &&[\text{Sifat Asosiatif}] \\ &= (xa)y &&[x \in Z(G), \text{ sehingga } ax=xa] \\ &= x(ay) &&[\text{Sifat Asosiatif}] \\ &= x(ya) &&[y \in Z(G), \text{ sehingga } ay=ya] \\ &= (xy)a &&[\text{Sifat Asosiatif}] \end{aligned}$$
Karena $a(xy)=(xy)a$, maka $xy \in Z(G)$. Berdasarkan Teorema 2, $Z(G)$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup dan $a \in G$. Jika $a$ satu-satunya elemen $G$ dengan order $n$, maka buktikan bahwa $a \in Z(G)$.
Misalkan $a$ adalah satu-satunya elemen dengan order $n$ pada grup $G$. Misalkan pula $b$ adalah sebarang elemen $G$. Perhatikan bahwa $$(bab^{-1})^n = ba^nb^{-1}, \text{ untuk } n \in \mathbb{N}$$
Ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika (Buktikan!). Karena $a$ memiliki order $n$, maka $a^n=e$, sehingga $$(bab^{-1})^n = ba^nb^{-1}=beb^{-1}=bb^{-1}=e$$
Namun, ini berakibat $bab^{-1}$ memiliki order $n$. Karena $a$ satu-satunya elemen $G$ dengan order $n$, maka haruslah $$a=bab^{-1} \quad \Longrightarrow \quad ab=ba$$
Karena $b$ sebarang elemen dari $G$, maka $a$ komutatif dengan setiap anggota $G$. Akibatnya, $a \in Z(G)$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup abelian dengan elemen identitas $e$. Didefinisikan $$H=\{ x \in G \mid x^2=e \}$$
Buktikan bahwa $H$ adalah subgrup dari $G$.
Misalkan $G$ adalah grup abelian dan $a,b \in G$. Berdasarkan definisi, $H$ adalah subset dari $G$. Selain itu, $H$ bukan himpunan kosong. Alasannya, elemen identitas $e$ memenuhi $e^2=e$, sehingga $e \in H$.
Untuk membuktikan $H$ subgrup dari $G$, cukup ditunjukkan bahwa $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.
Sebagai anggota $H$, $a$ dan $b$ memenuhi $$a^2=e \quad \text{dan} \quad b^2=e$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^2 &= a^2b^2 \quad &&[G \text{ grup abelian}] \\ &= ee &&[a^2=e \quad \text{dan} \quad b^2=e] \\ &= e &&[e \text{ elemen identitas}] \end{aligned}$$
Karena $(ab)^2=e$, maka $ab \in H$. Perhatikan pula $$\begin{aligned} (b^{-1})^2 &= \textcolor{red}{b}^{-1}\textcolor{blue}{b}^{-1} \\ &= (\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{b})^{-1} \quad &&[\text{Sifat grup}] \\ &= (b^2)^{-1} \\ &= e^{-1} &&[b^2=e] \\ &= e \end{aligned}$$
Karena $(b^{-1})^2=e$, maka $b^{-1} \in H$. Berdasarkan Teorema 2, $H$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup abelian. Didefinisikan $$H=\{a \in G \mid a \text{ memiliki order berhingga}\}$$ Buktikan bahwa $H$ subgrup dari $G$.
Misalkan $G$ adalah grup abelian dan $a,b \in G$. Berdasarkan definisi, $H$ adalah subset dari $G$. Selain itu, $H$ bukan himpunan kosong. Alasannya, elemen identitas $e$ mempunyai order berhingga, sehingga $e \in H$.
Untuk membuktikan $H$ subgrup dari $G$, cukup ditunjukkan bahwa $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.
Sebagai anggota $H$, $a$ dan $b$ memenuhi $$a^m=e \quad \text{dan} \quad b^m=e$$ untuk suatu bilangan asli $m$ dan $n$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^{mn} &= a^{mn}b^{mn} \quad &&[G \text{ grup abelian}] \\ &= (a^m)^n (b^n)^m &&[\text{Sifat pangkat pada grup}] \\ &= e^ne^m &&[a^m=e \text{ dan }b^n=e] \\ &= e &&[\text{Sifat elemen identitas}] \end{aligned}$$
Karena $(ab)^{mn}=e$, maka $ab$ memiliki order berhingga. Akibatnya, $ab \in H$. Perhatikan pula $$\begin{aligned} (b^{-1})^n &= (b^n)^{-1} \quad &&[\text{Sifat pangkat pada grup}] \\ &= e^{-1} &&[b^n=e] \\ &= e &&[\text{Sifat elemen identitas}] \end{aligned}$$
Diperoleh $(b^{-1})^n=e$, sehingga $b^{-1} \in H$. Berdasarkan Teorema 2, $H$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup dan $a \in G$. Centralizer dari $a$ dalam $G$, didefinisikan sebagai $$C(a) = \{b \in G \mid ba=ab\}$$ Buktikan bahwa $C(a)$ adalah subgrup dari $G$.
Misalkan $G$ adalah grup dan $a \in G$. Berdasarkan definisi, $C(a)$ adalah subset dari $G$. Selain itu, $C(a)$ bukan himpunan kosong. Alasannya, elemen identitas $e$ memenuhi $ea=ae$, sehingga $e \in C(a)$.
Misalkan $x,y \in H$. Untuk membuktikan $C(a)$ subgrup dari $G$, cukup ditunjukkan bahwa $xy \in C(a)$ dan $y^{-1} \in C(a)$.
Sebagai anggota $C(a)$, $x$ dan $y$ memenuhi $$xa=ax \quad \text{dan} \quad ya=ay$$
Perhatikan bahwa $ya=ay$ berakibat $y^{-1}a=ay^{-1}$, sehingga $y^{-1} \in C(a)$. Perhatikan pula $$\begin{aligned} (xy)a &= x(ya) \quad &&[\text{Sifat Asosiatif}] \\ &= x(ay) &&[ya=ay] \\ &= (xa)y &&[\text{Sifat Asosiatif}] \\ &= (ax)y &&[xa=ax] \\ &= a(xy) &&[\text{Sifat Asosiatif}] \end{aligned}$$
Karena $(xy)a=a(xy)$, maka $xy \in C(a)$. Berdasarkan Teorema 2, $C(a)$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup dari grup $G$. Buktikan bahwa $H \cap K$ subgrup dari $G$.
Misalkan $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$. Misalkan pula $H$ dan $K$ subgrup dari $G$.
Karena $H$ dan $K$ subset dari $G$, maka $H \cap K$ juga subset dari $G$. Selain itu, $H \cap K$ bukan himpunan kosong. Alasannya, $H$ dan $K$ memuat elemen identitas $e$, sehingga $e \in H \cap K$.
Misalkan $a,b \in H \cap K$, sehingga $$a,b \in H \quad \text{dan} \quad a,b \in K$$ Untuk membuktikan $H \cap K$ subgrup dari $G$, cukup ditunjukkan bahwa $ab^{-1} \in H \cap K$.
Karena $b \in H$ dan $H$ subgrup, maka $b^{-1} \in H$. Lalu, berdasarkan sifat tertutup, $a,b^{-1} \in H$ berakibat $$ab^{-1} \in H$$
Dengan argumen yang serupa, dapat diperoleh $$ab^{-1} \in K$$
Dengan demikian, $ab^{-1} \in H \cap K$. Berdasarkan Teorema 1, $H \cap K$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Buktikan bahwa sebuah grup tidak dapat ditulis sebagai gabungan dari dua subgrup sejati.
Pernyataan ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan $G$ adalah grup dan $H,K$ subgrup sejati dari $G$. Andaikan $G$ dapat ditulis sebagai gabungan dari $H$ dan $K$, yaitu $G=H \cup K$.
Tinjau $h \in H \setminus K$ dan $k \in K \setminus H$. Keduanya adalah anggota $G$, sehingga $hk \in G$. Karena $G = H \cup K$, maka $hk \in H$ atau $hk \in K$.
Kasus 1: $hk \in H$Karena $h \in H$ dan $H$ subgrup, maka $h$ memiliki invers, sebutlah $h^{-1} \in H$. Berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $$h^{-1}(hk)=k \in H$$
Kontradiksi.
Kasus 2: $hk \in K$Karena $k \in K$ dan $K$ subgrup, maka $k$ memiliki invers, sebutlah $k^{-1} \in K$. Berdasarkan sifat tertutup pada $K$, diperoleh $$(hk)k^{-1}=h \in K$$
Kontradiksi.
Keduanya menimbulkan kontradiksi. Dengan demikian, $G$ tidak dapat ditulis sebagai gabungan dari $H$ dan $K$. Terbukti.
Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$. Buktikan bahwa $HH = H$.
Misalkan $G$ adalah grup dan $H$ subgrup dari $G$. Untuk membuktikan $HH=H$, perlu ditunjukkan $HH \subseteq H$ dan $H \subseteq HH$.
Misalkan $a \in HH$. Sebagai anggota $HH$, $a$ dapat ditulis sebagai $h_1h_2$, untuk suatu $h_1,h_2 \in H$. Berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $$a=h_1h_2 \in H$$ Karena $a \in H$, maka $HH \subseteq H$.
Berikutnya, misalkan $b \in H$. Perhatikan bahwa $b=be$, di mana $e$ menyatakan elemen identitas pada $H$. Akibatnya, $b=be \in HH$, sehingga $H \subseteq HH$.
Karena $H \subseteq HH$ dan $HH \subseteq H$, maka dapat disimpulkan $HH=H$. Terbukti.
Misalkan $H$ adalah subset dari grup berhingga $G$. Jika $HH \subseteq H$, maka buktikan bahwa $H$ subgrup dari $G$.
Misalkan $H$ adalah subset dari grup berhingga $G$ dan $HH \subseteq H$. Misalkan pula $a,b \in H$. Karena $G$ himpunan berhingga, maka untuk membuktikan $H$ subgrup dari $G$, cukup ditunjukkan bahwa $ab \in H$.
Perhatikan bahwa $ab \in HH$. Karena $HH \subseteq H$, maka $ab \in H$. Berdasarkan Teorema 3, $H$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup dari grup $G$. Buktikan bahwa $HK$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $HK=KH$.
Misalkan $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$. Misalkan pula $H$ dan $K$ subgrup dari $G$, sedemikian sehingga $HK$ subgrup dari $G$.
Untuk membuktikan bahwa $HK=KH$, perlu ditunjukkan $HK \subseteq KH$ dan $KH \subseteq HK$.
Misalkan $a \in HK$. Karena $HK$ grup, maka $a^{-1} \in HK$. Tulis $a^{-1}=hk$, untuk suatu $h \in H$ dan $k \in K$. Perhatikan bahwa $$a=(a^{-1})^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH$$ Akibatnya, $HK \subseteq KH$.
Berikutnya, akan ditunjukkan $KH \subseteq HK$. Misalkan $b \in KH$. Tulis $b=kh$, untuk suatu $k \in K$ dan $h \in H$.
Diketahui $K$ adalah subgrup, sehingga $k=ek$. Karena $e$ dapat dipandang sebagai anggota $H$, maka $$k=ek \in HK$$ Dengan cara yang sama, diperoleh $$h=he \in HK$$
Berdasarkan sifat tertutup pada grup $HK$, diperoleh $b=kh \in HK$. Akibatnya, $KH \subseteq HK$.
Karena $HK \subseteq KH$ dan $KH \subseteq HK$, maka dapat disimpulkan bahwa $HK=KH$. Terbukti.
Dari KananMisalkan $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$. Misalkan pula $H$ dan $K$ subgrup dari $G$, sedemikian sehingga $HK=KH$. Perhatikan bahwa $HK$ bukan himpunan kosong, karena $e = ee \in HK$.
Misalkan $a \in HK$. Tulis $a=hk$, untuk suatu $h \in H$ dan $k \in K$. Karena $H \subseteq G$ dan $K \subseteq G$, maka $h,k \in G$. Berdasarkan sifat tertutup pada $G$, diperoleh $a=hk \in G$. Akibatnya, $HK$ adalah subset dari $G$.
Misalkan $x,y \in HK$. Untuk membuktikan $HK$ subgrup dari $G$, cukup ditunjukkan bahwa $xy^{-1} \in HK$.
Sebagai anggota $HK$, $x$ dan $y$ dapat ditulis sebagai $$x=h_1k_1 \quad \text{dan} \quad y=h_2k_2$$ untuk suatu $h1,h_2 \in H$ dan $k_1,k_2 \in K$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} xy^{-1} &= (h_1k_1)(h_2k_2)^{-1} \\ &= (h_1k_1)(k_2^{-1}h_2^{-1}) \quad &&[\text{Sifat Grup}] \\ &= h_1(k_1k_2^{-1}h_2^{-1}) &&[\text{Sifat Asosiatif}] \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa $k_1k_2^{-1}h_2^{-1} \in KH$. Karena $KH=HK$, maka terdapat $h_3 \in H$ dan $k_3 \in K$ sedemikian sehingga $$k_1k_2^{-1}h_2^{-1} = h_3k_3$$
Akibatnya $$\begin{aligned} xy^{-1} &= h_1(k_1k_2^{-1}h_2^{-1}) \\ &= h_1(h_3k_3) \\ &= (h_1h_3)k_3 \end{aligned}$$
Diperoleh $xy^{-1}=(h_1h_3)k_3 \in HK$. Berdasarkan Teorema 1, $HK$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup dari grup abelian $G$. Buktikan bahwa $HK$ subgrup dari $G$.
Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup dari grup abelian $G$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} HK &= \{ hk \mid h \in H \text{ dan } k \in K \} \\ &= \{ kh \mid h \in H \text{ dan } k \in K \} \quad [h \in H \subseteq G \text{, } k \in K \subseteq G \text{ dan } G \text{ abelian}] \\ &= KH \end{aligned}$$
Diperoleh $HK=KH$. Akibatnya, $HK$ adalah subgrup dari $G$. Terbukti.
Misalkan $H=\{ [0],[3],[6],[9] \}$. Buktikan $H$ subgrup dari $(\mathbb{Z}_{12},+_{12})$.
Perhatikan bahwa $H$ adalah subset tak kosong dari $\mathbb{Z}_{12}$. Karena $\mathbb{Z}_{12}$ grup berhingga, maka Teorema 3 bisa digunakan.
Perhatikan tabel berikut, yang menyatakan hasil operasi $a +_{12} b$, untuk setiap $a,b \in H$. $$\def\arraystretch{1.6} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline +_{12} & [0] & [3] & [6] & [9]\\ \hline [0] & [0] & [3] & [6] & [9] \\ \hline [3] & [3] & [6] & [9] & [0] \\ \hline [6] & [6] & [9] & [0] & [3] \\ \hline [9] & [9] & [0] & [3] & [6] \\ \hline \end{array}$$
Hasil-hasil operasi dalam tabel di atas adalah anggota dari $H$. Artinya, untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $a +_{12} b \in H$. Berdasarkan Teorema 3, $H$ adalah subgrup dari $\mathbb{Z}_{12}$.
Misalkan $H=\{ [0],[2],[4],[6],[8],[10] \}$. Buktikan $H$ subgrup dari $(\mathbb{Z}_{12},+_{12})$.
Perhatikan bahwa $H$ adalah subset tak kosong dari $\mathbb{Z}_{12}$. Karena $\mathbb{Z}_{12}$ grup berhingga, maka Teorema 3 bisa digunakan.
Perhatikan tabel berikut. $$\def\arraystretch{1.6} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline +_{12} & [0] & [2] & [4] & [6] & [8] & [10] \\ \hline [0] & [0] & [2] & [4] & [6] & [8] & [10] \\ \hline [2] & [2] & [4] & [6] & [8] & [10] & [0] \\ \hline [4] & [4] & [6] & [8] & [10] & [0] & [2] \\ \hline [6] & [6] & [8] & [10] & [0] & [2] & [4] \\ \hline [8] & [8] & [10] & [0] & [2] & [4] & [6] \\ \hline [10] & [10] & [0] & [2] & [4] & [6] & [8] \\ \hline \end{array}$$
Semua hasil operasi adalah anggota $H$. Artinya, untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $a +_{12} b \in H$. Berdasarkan Teorema 3, $H$ adalah subgrup dari $\mathbb{Z}_{12}$.
Misalkan $$G= \left\{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z} \right\}$$ dan $$H= \left\{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \in G \mid a+b+c+d=0 \right\}$$
Himpunan $G$ adalah grup di bawah operasi penjumlahan matriks. Buktikan bahwa $H$ adalah subgrup dari $G$.
Berdasarkan definisi, himpunan $H$ adalah subset dari $G$. Selain itu, $H$ bukan himpunan kosong, karena memuat matriks nol.
Misalkan $A,B \in H$, di mana $$A = \begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad B = \begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu bilangan bulat $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$, dengan $$\begin{aligned} a_1+a_2+a_3+a_4 &= 0 \\ b_1+b_2+b_3+b_4 &= 0 \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} A-B &= \begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}a_1-b_1&a_2-b_2\\a_3-b_3&a_4-b_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$ dengan $$\begin{aligned} (a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(a_3-b_3)+(a_4-b_4) &= (a_1+a_2+a_3+a_4)-(b_1+b_2+b_3+b_4) \\ &= 0-0 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Karena entri-entrinya merupakan bilangan bulat yang berjumlah nol, maka $A-B \in H$. Berdasarkan Teorema 1, $H$ adalah subgrup dari $G$.
Misalkan $GL(2,\mathbb{R})$ menyatakan himpunan matriks real $2 \times 2$ yang non-singular. Diketahui $GL(2,\mathbb{R})$ adalah grup di bawah operasi perkalian matriks.
Didefinisikan $$S = \left\{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{R} \text{ dan } ad-bc=1 \right\}$$
Periksa apakah $S$ adalah subgrup dari $GL(2,\mathbb{R})$.
Setiap matriks dalam $S$ mempunyai determinan $1$ (non-singular), sehingga $S$ adalah subset dari $GL(2,\mathbb{R})$. Selain itu, $S$ bukan himpunan kosong, karena memuat matriks identitas.
Himpunan $S$ dapat dinyatakan sebagai $$S = \{ X \in GL(2,\mathbb{R}) \mid \text{det}(X)=1\}$$
Misalkan $A,B \in S$. Sebagai anggota $S$, matriks $A$ dan $B$ memenuhi $$\text{det}(A)=1 \quad \text{dan} \quad \text{det}(B)=1$$
Perlu diperiksa apakah $AB^{-1} \in S$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \text{det}(AB^{-1}) &= \text{det}(A) \cdot \text{det}(B^{-1}) \\ &= \text{det}(A) \cdot \frac{1}{\text{det}(B)} \\ &= 1 \cdot \frac{1}{1} \\ &= 1 \end{aligned}$$
Karena $\text{det}(AB^{-1})=1$, maka $AB^{-1} \in S$. Berdasarkan Teorema 1, $S$ adalah subgrup dari $GL(2,\mathbb{R})$.
Diketahui $GL(2,\mathbb{R})$ adalah grup di bawah operasi perkalian matriks. Didefinisikan $$S = \left\{ \begin{bmatrix} a&0\\0&a \end{bmatrix} \mid a \in \mathbb{R} \text{ dan } a \neq 0 \right\}$$
Periksa apakah $S$ adalah subgrup dari $GL(2,\mathbb{R})$.
Setiap anggota $S$ adalah matriks non singular (mengapa?), sehingga $S$ adalah subset dari $GL(2,\mathbb{R})$. Selain itu, $S$ bukan himpunan kosong, karena memuat matriks identitas.
Misalkan $A,B \in S$, di mana $$A = \begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad B = \begin{bmatrix}b&0\\0&b\end{bmatrix}$$ untuk suatu $a,b \in \mathbb{R}$, dengan $a,b \neq 0$.
Perhatikan bahwa $$B^{-1} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b&0\\0&b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1/b&0\\0&1/b\end{bmatrix}$$ sehingga $$\begin{aligned} AB^{-1} &= \begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1/b&0\\0&1/b\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}a/b&0\\0&a/b\end{bmatrix} \end{aligned}$$
Karena $a/b$ bilangan real tak nol, maka $AB^{-1} \in S$. Berdasarkan Teorema 1, $S$ adalah subgrup dari $GL(2,\mathbb{R})$.
Notasi $\mathbb{C}^{\ast}$ menyatakan himpunan bilangan kompleks tak nol. Diketahui $\mathbb{C}^{\ast}$ adalah grup di bawah operasi perkalian bilangan kompleks. Didefinisikan $$H = \{ a+bi \in \mathbb{C}^{\ast} \mid a^2+b^2=1\}$$
Periksa apakah $H$ adalah subgrup dari $\mathbb{C}^{\ast}$.
Himpunan $H$ dapat dinyatakan sebagai $$H = \{z \in \mathbb{C}^{\ast} : |z| = 1\}$$ di mana notasi $|z|$ menyatakan modulus dari bilangan kompleks $z$.
Berdasarkan definisi, jelas bahwa $H$ adalah subset dari $\mathbb{C}^{\ast}$. Selain itu, $H$ bukan himpunan kosong, karena memuat identitas perkalian $1+0i$.
Misalkan $x,y \in H$, di mana $$|x| = 1 \quad \text{dan} \quad |y| = 1$$
Perlu diperiksa apakah $xy^{-1} \in H$. Perhatikan bahwa $$| xy^{-1} | = \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} = \frac{1}{1} = 1$$
Karena $| xy^{-1} |=1$, maka $xy^{-1} \in H$. Berdasarkan Teorema 1, $S$ adalah subgrup dari $GL(2,\mathbb{R})$.
Dalam grup permutasi $S_3$, himpunan $T$ didefinisikan sebagai $$T = \{ x \in S_3 \mid x^2=e \}$$ Apakah $T$ subgrup dari $S_3$?
Himpunan $T$ bukan subgrup dari $S_3$, karena $T$ tidak memenuhi sifat tertutup terhadap operasi komposisi.
Permutasi $\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}$ memiliki order $2$, sehingga merupakan anggota $T$. Namun, hasil operasinya $$\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}$$ memiliki order $3$.