Soal dan Pembahasan - Grup Abelian
Grup abelian, atau sering disebut grup komutatif, merupakan grup yang memenuhi sifat komutatif terhadap operasi yang didefinisikan pada grup tersebut. Pembaca tentu mengetahui bahwa $(\mathbb{Z},+)$ merupakan grup. Operasi penjumlahan ini bersifat komutatif, sehingga $(\mathbb{Z},+)$ merupakan contoh grup abelian.
Sebelum membahas lebih lanjut tentang grup abelian, mari perhatikan daftar isi berikut.
Daftar Isi
Definisi dan Contoh Grup Abelian
Definisi
Jika $(G,*)$ adalah grup dan untuk setiap $a,b \in G$ berlaku $a*b=b*a$ maka $(G,*)$ disebut grup abelian atau grup komutatif.
Sebagai contoh, perhatikan grup $(\mathbb{R},+)$ dengan $+$ operasi penjumlahan standar. Untuk setiap $a,b \in \mathbb{R}$ berlaku $a+b=b+a$, sehingga $(\mathbb{R},+)$ merupakan grup abelian. Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{R}\backslash\{0\},\times)$, dan $(\mathbb{Q}\backslash\{0\},\times)$ juga grup abelian, dimana $\times$ merupakan operasi perkalian standar.
Grup yang tidak memenuhi sifat komutatif disebut grup non abelian atau grup non komutatif. Misalkan $G$ adalah himpunan matriks real $2 \times 2$ dengan determinan tak nol. Himpunan $G$ merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Namun, $G$ ini bukan grup abelian karena terdapat dua matriks $$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\quad \text{dan} \quad B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$$ sedemikian sehingga $AB \neq BA$.
Beberapa Sifat yang Sering Digunakan
Berikut ini beberapa sifat yang sering digunakan ketika menyelesaikan soal-soal terkait grup abelian.
Sifat
Misalkan $G$ adalah grup. Untuk setiap $x,y \in G$ dan $n \in \mathbb{Z}$ berlaku
1. $(x^{-1})^{-1}=x$
2. $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$
3. $x^m=(x^{-1})^{-m}$
Hukum Kanselasi Kiri
Misalkan $G$ adalah grup. Untuk setiap $x,y,z \in G$ berlaku $$\text{Jika }zx=zy\text{ maka }x=y$$
Hukum Kanselasi Kanan
Misalkan $G$ adalah grup. Untuk setiap $x,y,z \in G$ berlaku $$\text{Jika }xz=yz\text{ maka }x=y$$
Pembahasan Soal Grup Abelian
Misalkan $G$ adalah grup. Jika $a^2=e$ untuk setiap $a \in G$, maka buktikan bahwa $G$ abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$. Untuk membuktikan $G$ abelian, akan ditunjukkan bahwa $ab=ba$. Berdasarkan sifat tertutup pada $G$, diperoleh $ab \in G$. Diketahui bahwa kuadrat dari setiap anggota $G$ adalah elemen identitas. Akibatnya $$\begin{aligned} (ab)^2 &= e \\ abab &= e \\ a(abab)b &= aeb \\ a^2(ba)b^2 &= ab \\ e(ba)e &= ab \quad &[a^2=e,\;b^2=e]\\ ba &= ab \end{aligned}$$
Diperoleh $ab=ba$. Dengan demikian, $G$ adalah grup abelian.
Misalkan $G$ adalah grup. Jika $a=a^{-1}$ untuk setiap $a \in G$, maka buktikan bahwa $G$ abelian.
Cara 1. Diambil sebarang $a \in G$. Perhatikan bahwa $a=a^{-1}$ sehingga $$a^2 = aa = aa^{-1} = e$$
Karena $a^2=e$ untuk setiap $a\in G$, maka berdasarkan soal sebelumnya, $G$ adalah grup abelian. Terbukti.
Cara 2. Diambil sebarang $a ,b\in G$. Untuk membuktikan $G$ abelian, akan ditunjukkan bahwa $ab=ba$. Berdasarkan sifat tertutup pada $G$, diperoleh $ab \in G$. Diketahui bahwa invers dari setiap elemen $G$ adalah dirinya sendiri, sehingga $$ab = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba$$
Diperoleh $ab=ba$. Dengan demikian, $G$ adalah grup abelian.
Misalkan $G$ adalah grup. Buktikan bahwa $G$ abelian jika dan hanya jika $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$, untuk setiap $a,b \in G$.
Pernyataan dalam soal berbentuk biimplikasi, sehingga perlu dibuktikan dalam dua arah.
Dari kiri. Diambil sebarang $a,b \in G$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^{-1} &= b^{-1}a^{-1} \quad &&[\text{Sifat 2}] \\ &= a^{-1}b^{-1} &&[G \text{ abelian}] \end{aligned}$$ Terbukti.
Dari kanan. Diambil sebarang $a,b \in G$ dengan $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} ab &= ((ab)^{-1})^{-1} \quad &&[\text{Sifat 1, }ab \in G]\\ &= (a^{-1}b^{-1})^{-1} &&[\text{Diketahui}]\\ &= (b^{-1})^{-1}(a^{-1})^{-1} &&[\text{Sifat 2}]\\ &= ba &&[\text{Sifat 1}] \end{aligned}$$
Diperoleh $ab=ba$, sehingga terbukti bahwa $G$ abelian.
Misal $G$ adalah grup, sedemikian sehingga $(ab)^2=a^2b^2$ untuk setiap $a,b \in G$. Buktikan bahwa $G$ abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$ dengan $(ab)^2=a^2b^2$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^2 &= a^2b^2 \\ \textcolor{red}{a}\:ba\:\textcolor{blue}{b} &= \textcolor{red}{a}\:ab\:\textcolor{blue}{b} \quad &&[\text{Kanselasi kiri dan kanan}]\\ ba &= ab \end{aligned}$$
Diperoleh $ba=ab$, sehingga $G$ merupakan grup abelian. Terbukti.
Misal $G$ adalah grup, sedemikian sehingga untuk setiap $x,y,z \in G$ berlaku, jika $xy=zx$ maka $y=z$. Buktikan bahwa $G$ abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$. Untuk membuktikan $G$ abelian, akan ditunjukkan $ab=ba$. Perhatikan bahwa $$bab=bab \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{red}{b}(ab)=(ba)\textcolor{red}{b}$$
Berdasarkan asumsi dalam soal, diperoleh $ab=ba$. Jadi, terbukti bahwa $G$ abelian.
Misal $G$ adalah grup, sedemikian sehingga untuk setiap $a,b,c,d,x \in G$ berlaku, jika $axb=cxd$ maka $ab=cd$. Buktikan bahwa $G$ abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$. Untuk membuktikan $G$ abelian, akan ditunjukkan bahwa $ab=ba$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} eb &= be \\ (aa^{-1})b &= b(a^{-1}a) \\ a\;\textcolor{red}{a^{-1}}\;b &= b\;\textcolor{red}{a^{-1}}\;a \end{aligned}$$
Berdasarkan asumsi dalam soal, diperoleh $ab=ba$. Dengan demikian, terbukti bahwa $G$ abelian.
Jika $G$ grup abelian, maka buktikan bahwa $(ab)^n=a^nb^n$ untuk setiap $a,b \in G$ dan $n \in \mathbb{Z}$.
Diambil sebarang $a,b \in G$ dan $n \in \mathbb{Z}$. Bukti akan dibagi menjadi 3 kasus, yaitu untuk $n=0$, $n > 0$, dan $n < 0$.
Kasus 1. Untuk $n=0$ diperoleh $a^0=b^0=(ab)^0=e$, sehingga berlaku $$(ab)^0=a^0b^0$$
Kasus 2. Untuk $n>0$, akan dibuktikan dengan induksi matematika. Misalkan $P(n)$ adalah pernyataan $(ab)^n=a^nb^n$. Perhatikan bahwa $(ab)^1=ab=a^1b^1$, sehingga $P(1)$ bernilai benar.
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar, yaitu $(ab)^k=a^kb^k$. Akan ditunjukkan $P(k+1)$ juga benar, yaitu $(ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^{k+1} &= (ab)^k(ab) \\ &= (a^kb^k)(ab) \\ &= a^k(b^ka)b \\ &= a^k(ab^k)b \quad &&[G \text{ abelian: }b^ka=ab^k]\\ &= (a^ka)(b^kb) \\ &= a^{k+1}b^{k+1} \end{aligned}$$
Akibatnya $P(k+1)$ juga benar. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, $P(n)$ bernilai benar untuk $n > 0$. Terbukti.
Kasus 3. Untuk $n<0$, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^n &= [(ab)^{-1}]^{-n} &&[\text{Sifat 3, }ab\in G]\\ &= [b^{-1}a^{-1}]^{-n} &&[\text{Sifat 2}]\\ &= (b^{-1})^{-n}\;(a^{-1})^{-n} \quad &&[\text{Kasus 2, } -n > 0] \\ &= b^na^n &&[\text{Sifat 3}]\\ &= a^nb^n &&[G\text{ abelian}] \end{aligned}$$
Terbukti. Berdasarkan tiga kasus di atas, terbukti bahwa $(ab)^n=a^nb^n$ untuk setiap $a,b \in G$ dan $n \in \mathbb{Z}$.
Misal $G$ adalah grup, sedemikian sehingga untuk setiap $a,b \in G$ berlaku $$(ab)^3=a^3b^3 \quad \text{dan} \quad (ab)=a^5b^5$$
Buktikan bahwa $G$ grup abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$ dengan $$(ab)^3=a^3b^3 \quad \text{dan} \quad (ab)=a^5b^5$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^3 &= a^3b^3 \\ \textcolor{red}{a}baba\textcolor{blue}{b} &= \textcolor{red}{a}aabb\textcolor{blue}{b} \\ baba &= aabb \qquad \ldots(1) \end{aligned}$$
Di lain pihak $$\begin{aligned} (ab)^5 &= a^5b^5 \\ \textcolor{red}{a}babababa\textcolor{blue}{b} &= \textcolor{red}{a}aaaabbbb\textcolor{blue}{b} \\ baba \; baba &= aaaabbbb \\ aabb \; aabb &= aaaabbbb \quad &[\text{Persamaan (1)}] \\ bbaa &= aabb \\ bbaa &= baba \quad &[\text{Persamaan (1)}] \\ ba &= ab \end{aligned}$$
Diperoleh $ba=ab$, sehingga $G$ adalah grup abelian. Terbukti.
Misal $G$ adalah grup, sedemikian sehingga untuk setiap $a,b \in G$ berlaku $(ab)^n=a^nb^n$, untuk tiga bilangan bulat berurutan $n$. Buktikan bahwa $G$ grup abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$. Misalkan bilangan bulat berurutan itu adalah $n$, $n+1$, dan $n+2$ sehingga $$(ab)^n=a^nb^n,\quad(ab)^{n+1}=a^{n+1}b^{n+1},\quad(ab)^{n+2}=a^{n+2}b^{n+2}$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^{n+1} &= a^{n+1}b^{n+1} \\ (ab)^n\;(ab) &= a^{n+1}b^{n+1} \\ a^nb^n \; ab &= a^na\;b^nb \\ b^na &= ab^n \quad &\ldots(1) \end{aligned}$$
Di lain pihak $$\begin{aligned} (ab)^{n+2} &= a^{n+2}b^{n+2} \\ (ab)^{n+1}(ab) &= a^{n+2}b^{n+2} \\ a^{n+1}b^{n+1} \; ab &= a^{n+1}a\;b^{n+1}b \\ b^{n+1}a &= ab^{n+1} \\ b\;b^na &= ab\;b^n \\ b\;ab^n &= ab\;b^n \quad &[\text{Persamaan (1)}] \\ ba &= ab \end{aligned}$$
Diperoleh $ba=ab$. Dengan demikian, $G$ grup abelian.
Misal $G$ adalah grup abelian. Misalkan pula $a$ elemen $G$ dengan order $m$ dan $b$ elemen dengan order $n$. Jika $m$ dan $n$ relatif prima, maka tunjukkan bahwa order dari $ab$ adalah $mn$.
Misalkan $p$ adalah order dari $ab$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab)^{mn} &= a^{mn}b^{mn} \quad &[\text{Karena G abelian}] \\ &= (a^m)^n\:(b^n)^m \\ &= e^n\:e^m \\ &= e \end{aligned}$$
Diperoleh $(ab)^{mn}=e$, sehingga order dari $ab$ habis membagi $mn$, yaitu $$p \:|\: mn \qquad \ldots(1)$$
Berikutnya, perhatikan bahwa $p$ adalah order dari $ab$, sehingga $$e = (ab)^p = a^pb^p$$
Akibatnya $$e=e^m = (a^pb^p)^m=a^{pm}b^{pm}=(a^m)^pb^{pm}=e^pb^{pm}=b^{pm}$$
Diperoleh $b^{pm}=e$. Diketahui order dari $b$ adalah $n$, sehingga $n\:|\:pm$. Karena $m$ dan $n$ relatif prima, maka $$n \: | \: p \qquad \ldots(2)$$
Dengan argumen yang serupa, dapat diperoleh $$m \: | \: p \qquad \ldots(3)$$
Dari $(2)$ dan $(3)$, serta fakta bahwa $m$ dan $n$ relatif prima, diperoleh $$mn \: | \: p \qquad \ldots(4)$$
Berdasarkan $(1)$ dan $(4)$, dapat disimpulkan bahwa $p=mn$. Dengan kata lain, order dari $ab$ adalah $mn$. Terbukti.
Misalkan $G$ adalah grup, sedemikian sehingga untuk setiap $x,y,z \in G$ dengan $x,y,z \neq e$ berlaku $xyz=zyx$. Buktikan bahwa $G$ grup abelian.
Diambil sebarang $a,b \in G$. Kita akan meninjau beberapa kasus.
Kasus 1. Jika $a=e$, maka kita punya $$ab=eb=b=be=ba \qquad \blacksquare$$
Kasus 2. Jika $b=e$, maka kita punya $$ab=ae=a=ea=ba \qquad \blacksquare$$
Kasus 3. Jika $a,b\neq e$ tetapi $ab=e$, maka kita punya $a=b^{-1}$ sehingga $$ba = bb^{-1} = e=ab \qquad \blacksquare$$
Kasus 4. Jika $a,b,ab\neq e$, maka berdasarkan asumsi dalam soal ($x=b$, $y=a$, $z=ab$) diperoleh $$\begin{aligned} ba\textcolor{red}{ab} &= ab\textcolor{red}{ab} \\ ba &= ab \qquad &\blacksquare \end{aligned}$$
Berdasarkan keempat kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa $G$ grup abelian. Terbukti.