Prinsip Sangkar Burung: Titik Tengah Berkoordinat Bulat

Problem

Misal $(x_i,y_i,z_i)$, $i=1,2, \ldots ,9$, adalah himpunan 9 titik berbeda dengan koordinat bulat pada ruang $xyz$. Tunjukkan bahwa titik tengah dari garis yang menghubungkan sedikitnya satu pasang dari titik-titik tersebut berkoordinat bulat.
[ON MIPA-PT Matematika 2006, Tingkat Wilayah]

Solusi

Misal $(a,b,c)$ adalah sebarang titik berkoordinat bulat pada ruang $xyz$. Komponen pertama ($a$) dapat bernilai ganjil atau genap. Begitupun dengan komponen kedua ($b$) dan ketiga ($c$). Berdasarkan aturan perkalian, terdapat $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ komposisi yang mungkin. Kita bentuk sebuah himpunan untuk setiap komposisi.

Misal $o$ menyatakan bilangan ganjil dan $e$ menyatakan bilangan genap. Sehingga 8 komposisi yang dimaksud adalah $$ooo,ooe,oeo,oee,eoo,eoe,eeo,eee$$ Semua titik dengan komposisi $oeo$ memiliki komponen pertama ganjil ($o$), komponen kedua genap ($e$), dan komponen ketiga ganjil ($o$). Aturan ini juga berlaku untuk komposisi lainnya.

Pada soal, terdapat 9 titik berbeda. Padahal, kita hanya punya 8 komposisi. Berdasarkan Prinsip Sangkar Burung, terdapat 2 titik dengan komposisi sama. Misal kedua titik tersebut adalah $(a_1,b_1,c_1)$ dan $(a_2,b_2,c_2)$. Karena komposisi kedua titik ini sama, maka $a_1+a_2$, $b_1+b_2$, dan $c_1+c_2$ adalah bilangan genap.

Ingat! Jumlah dua bilangan genap adalah genap dan jumlah dua bilangan ganjil adalah genap.

Tulis $$\begin{aligned} &a_1+a_2 = 2p, \quad &\text{untuk suatu } p \in \mathbb{Z} \\ &b_1+b_2 = 2q, &\text{untuk suatu } q \in \mathbb{Z} \\ &c_1+c_2 = 2r, &\text{untuk suatu } r \in \mathbb{Z} \end{aligned}$$

Titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan $(a_1,b_1,c_1)$ dan $(a_2,b_2,c_2)$ adalah $$\begin{aligned} \left(\frac{a_1+a_2}{2},\frac{b_1+b_2}{2},\frac{c_1+c_2}{2} \right) &= \left(\frac{2p}{2},\frac{2q}{2},\frac{2r}{2} \right) \\ &= (p,q,r) \end{aligned}$$ Karena $p,q,r \in \mathbb{Z}$ maka titik tengah dari ruas garis tersebut berkoordinat bulat. Terbukti.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Tambah Komentar