Prinsip Sangkar Burung: Titik Tengah Berkoordinat Bulat

Problem

Misal $(x_i,y_i,z_i)$, $i=1,2, \ldots ,9$, adalah himpunan 9 titik berbeda dengan koordinat bulat pada ruang $xyz$. Tunjukkan bahwa titik tengah dari garis yang menghubungkan sedikitnya satu pasang dari titik-titik tersebut berkoordinat bulat.
[ON MIPA-PT Matematika 2006, Tingkat Wilayah]

Solusi

Misal $(a,b,c)$ adalah sebarang titik berkoordinat bulat pada ruang $xyz$. Komponen pertama ($a$) dapat bernilai ganjil atau genap. Begitupun dengan komponen kedua ($b$) dan ketiga ($c$). Berdasarkan aturan perkalian, terdapat $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ komposisi yang mungkin. Kita bentuk sebuah himpunan untuk setiap komposisi.

Misal $o$ menyatakan bilangan ganjil dan $e$ menyatakan bilangan genap. Sehingga 8 komposisi yang dimaksud adalah $$ooo,ooe,oeo,oee,eoo,eoe,eeo,eee$$ Semua titik dengan komposisi $oeo$ memiliki komponen pertama ganjil ($o$), komponen kedua genap ($e$), dan komponen ketiga ganjil ($o$). Aturan ini juga berlaku untuk komposisi lainnya.

Pada soal, terdapat 9 titik berbeda. Padahal, kita hanya punya 8 komposisi. Berdasarkan Prinsip Sangkar Burung, terdapat 2 titik dengan komposisi sama. Misal kedua titik tersebut adalah $(a_1,b_1,c_1)$ dan $(a_2,b_2,c_2)$. Karena komposisi kedua titik ini sama, maka $a_1+a_2$, $b_1+b_2$, dan $c_1+c_2$ adalah bilangan genap.

Ingat! Jumlah dua bilangan genap adalah genap dan jumlah dua bilangan ganjil adalah genap.

Tulis $$\begin{aligned} &a_1+a_2 = 2p, \quad &\text{untuk suatu } p \in \mathbb{Z} \\ &b_1+b_2 = 2q, &\text{untuk suatu } q \in \mathbb{Z} \\ &c_1+c_2 = 2r, &\text{untuk suatu } r \in \mathbb{Z} \end{aligned}$$

Titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan $(a_1,b_1,c_1)$ dan $(a_2,b_2,c_2)$ adalah $$\begin{aligned} \left(\frac{a_1+a_2}{2},\frac{b_1+b_2}{2},\frac{c_1+c_2}{2} \right) &= \left(\frac{2p}{2},\frac{2q}{2},\frac{2r}{2} \right) \\ &= (p,q,r) \end{aligned}$$ Karena $p,q,r \in \mathbb{Z}$ maka titik tengah dari ruas garis tersebut berkoordinat bulat. Terbukti.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Komentar

15 Februari 2020
pan

mantap

Balas
Tambah Komentar