Prinsip Sangkar Burung: Periode Waktu dengan Tepat 24 Latih Tanding

Problem

Seorang petinju mempunyai waktu 75 minggu untuk mempertahankan gelar. Untuk itu pelatih menjadwalkan program latih tanding. Pelatih merencanakan sedikitnya terdapat satu latih tanding dalam satu minggu, tetapi tidak lebih dari total 125 latih tanding dalam periode 75 minggu. Perlihatkan ada periode waktu yang terdiri atas beberapa minggu berurutan sehingga terdapat tepat 24 latih tanding dalam periode waktu tersebut.
[ON MIPA-PT Matematika 2017, Tingkat Wilayah]

Solusi

Misalkan $a_n$ menyatakan banyaknya latih tanding pada minggu ke-n. Kita definisikan $b_n$ sebagai banyaknya latih tanding yang dilakukan hingga minggu ke-$n$, artinya $b_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Dalam satu minggu, terdapat sedikitnya satu latih tanding, namun dalam periode 75 minggu tidak boleh lebih dari 125 latih tanding, sehingga $$1 \leq b_1 < b_2 < \ldots < b_{75} \leq 125 \quad \ldots (1)$$ Tambahkan 24 pada setiap ruas, sehingga diperoleh $$25 \leq b_1+24 < b_2+24 < \ldots < b_{75}+24 \leq 149$$

Perhatikan barisan $$b_1,b_2,\ldots,b_{75},b_1+24,b_2+24,\ldots,b_{75}+24$$ yang terdiri dari 150 bilangan. Ada 149 nilai yang mungkin untuk bilangan-bilangan ini, yaitu $1,2,\ldots,149$. Berdasarkan Prinsip Sangkar Burung, terdapat dua bilangan yang bernilai sama. Namun, berdasarkan $(1)$ tidak ada bilangan yang sama di antara $b_1,b_2,\ldots,b_{75}$. Begitupun dengan $b_1+24,b_2+24,\ldots,b_{75}+24$. Dengan demikian, terdapat suatu $i,j \in \{1,2,\ldots,75\}$ sedemikian sehingga $b_i=b_j+24$. Artinya $b_i>b_j$, yang berakibat $i>j$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} b_j+24 &= b_i \\ 24 &= b_i-b_j \\ &= a_1+a_2+\ldots+a_j+a_{j+1}+\ldots+a_i)-(a_1+a_2+\ldots+a_j) \\ &= a_{j+1}+\ldots+a_i \end{aligned}$$

Dengan demikian, terdapat tepat 24 latih tanding pada minggu ke-$j+1$ sampai dengan minggu ke-$i$. Terbukti.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Tambah Komentar