12 Soal dan Pembahasan - Subruang Vektor

Soal dan Pembahasan - Subruang Vektor

Kategori: Aljabar Linear
Kirim Soal - Subruang Vektor
Ekstensi File: .jpg, .png, atau .gif

Subruang Vektor adalah himpunan bagian dari ruang vektor , yang juga merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .

Materi Subruang Vektor

Sebelum membahas soal-soal, kita perlu mengetahui apa itu subruang dan bagaimana cara memeriksa apakah suatu himpunan merupakan subruang atau bukan.

Definisi Subruang

Berikut adalah definisi subruang vektor.

Definisi

Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan bagian dari . Himpunan disebut subruang dari , jika merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .

Uji Subruang

Berdasarkan definisi, kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada . Namun, sebagai himpunan bagian dari , himpunan mewarisi beberapa aksioma ruang vektor yang berlaku pada , seperti sifat komutatif dan asosiatif terhadap operasi penjumlahan vektor (Aksioma 2 dan 3).

Berikut adalah teorema yang digunakan untuk memeriksa apakah sebuah himpunan merupakan subruang vektor.

Teorema 1

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor . Himpunan adalah subruang dari , jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Jika kedua syarat terpenuhi ( dan ) maka adalah subruang dari .

Namun, jika salah satu atau keduanya tidak terpenuhi, maka bukan subruang dari .

Selain teorema di atas, kita juga dapat menggunakan teorema berikut.

Teorema 2

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor . Himpunan adalah subruang dari jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Soal dan Pembahasan

Kita mulai dengan bukti Teorema 1 dan 2, dilanjutkan dengan penerapan kedua teorema ini.

Nomor 1

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor .
Buktikan bahwa adalah subruang dari , jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Pembahasan Dari Kiri

Misalkan adalah subruang dari ruang vektor , sehingga sendiri merupakan ruang vektor.

Berdasarkan Aksioma 1 dan 6, untuk setiap skalar dan diperoleh Terbukti.

Dari Kanan

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor , yang memenuhi untuk setiap skalar dan .

Untuk membuktikan bahwa subruang dari , perlu ditunjukkan bahwa memenuhi 10 aksioma ruang vektor.

Berdasarkan (1) dan (2), himpunan memenuhi Aksioma 1 dan 6. Selain itu, sebagai himpunan bagian dari ruang vektor , mewarisi beberapa aksioma ruang vektor yang dipenuhi oleh .

Diambil sebarang . Karena , maka diperoleh .

Sebagai ruang vektor, memenuhi Aksioma 2, sehingga

Jadi, juga memenuhi Aksioma 2. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa memenuhi Aksioma 3, 7, 8, 9, dan 10.

Dengan ini, tersisa dua aksioma ruang vektor, yaitu Aksioma 4 dan 5. Untuk itu, perlu ditunjukkan bahwa memuat dan .

Berdasarkan sifat ruang vektor dan (2), untuk skalar dan , diperoleh

Jadi, juga memenuhi Aksioma 4 dan 5. Dengan demikian, adalah ruang vektor, sehingga adalah subruang dari . Terbukti.

Nomor 2

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor .
Buktikan bahwa adalah subruang dari jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan berlaku

Pembahasan Dari Kiri

Misalkan adalah subruang dari ruang vektor , sehingga sendiri merupakan ruang vektor.

Diambil sebarang skalar dan . Berdasarkan Aksioma 6, diperoleh . Berikutnya, berdasarkan Aksioma 1, diperoleh . Terbukti.

Dari Kanan

Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor , yang memenuhi untuk setiap skalar dan .

Akan dibuktikan bahwa subruang vektor dari , menggunakan Teorema 1. Diambil sebarang dan skalar .

Karena adalah skalar dan , maka berdasarkan (1) diperoleh

Selain itu, skalar dan berakibat

Diperoleh dan . Berdasarkan Teorema 1, adalah subruang dari . Terbukti.

Nomor 3

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi himpunan , jelas bahwa himpunan bagian dari . Selain itu, terdapat sehingga bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Tulis untuk suatu .

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Kita tahu bahwa adalah ruang vektor. Karena dan adalah skalar, maka .

Akibatnya, . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 4

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Selain itu, terdapat sehingga bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Tulis

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Setiap komponen dari adalah bilangan real, dengan

Akibatnya, . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 5

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Terdapat skalar dan sedemikian sehingga

Dengan demikian, bukan subruang dari .

Nomor 6

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Untuk dan diperoleh

Karena , maka . Akibatnya, bukan subruang dari .


Himpunan matriks dengan entri-entri bilangan real, dinotasikan sebagai . Pada bagian ini, disajikan soal-soal terkait ruang vektor ini.

Nomor 7

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Selain itu, memuat matriks nol sehingga bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Sebagai anggota , dan memenuhi

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena , maka . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 8

Misalkan dan didefinisikan Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Matriks nol komutatif dengan , sehingga matriks nol adalah anggota . Akibatnya, bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Sebagai anggota , dan memenuhi

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena matriks dan komutatif dengan , maka . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 9

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Perhatikan bahwa , sehingga . Akibatnya, bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Sebagai anggota , dan memenuhi

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Akibatnya . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 10

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Perhatikan bahwa , sehingga . Akibatnya, bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Sebagai anggota , dan memenuhi

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Akibatnya . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 11

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Perhatikan matriks dan . Keduanya adalah matriks diagonal dengan determinan nol, sehingga .

Namun, jumlah kedua matriks adalah

Kita tahu bahwa determinan matriks identitas adalah 1, sehingga . Dengan demikian, bukan subruang dari .


Himpunan polinomial berderajat atau kurang, dengan koefisien bilangan real, dinotasikan sebagai .

Nomor 12

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Selain itu, memuat sehingga bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Tulis dengan

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena maka . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .

Nomor 12

Didefinisikan . Periksa apakah subruang dari .

Pembahasan

Berdasarkan definisi, adalah himpunan bagian dari . Selain itu, memuat sehingga bukan himpunan kosong.

Diambil sebarang skalar dan . Tulis dengan

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena

maka . Berdasarkan Teorema 2, adalah subruang dari .