Soal dan Pembahasan - Subgrup Normal

Diperbarui 14 Oktober 2020 — 10 Soal

Pada bagian sebelumnya, kita telah belajar dan membahas soal-soal mengenai Subgrup. Berikutnya, kita akan belajar mengenai Subgrup Normal.

Definisi Subgrup Normal

Sebelum membahas soal-soal, kita perlu mengetahui apa itu Subgrup Normal.

Definisi

Misalkan $G$ adalah grup dan $H$ subgrup dari $G$. Maka $H$ disebut Subgrup Normal dari $G$ jika dan hanya jika $aH=Ha$, untuk setiap $a \in G$.

Setiap grup non trivial $G$ memiliki sedikitnya dua subgrup normal. Salah satunya adalah $\{e\}$, di mana $e$ menyatakan elemen identitas dari $G$. Subgrup normal lainnya adalah himpunan $G$ sendiri.

Grup non trivial adalah grup yang beranggotakan lebih dari satu objek.

Uji Subgrup Normal

Kita dapat menggunakan definisi untuk memeriksa apakah sebuah subgrup merupakan subgrup normal. Namun, berdasarkan definisi, kita perlu memeriksa dua hal, yaitu $aH \subseteq Ha$ dan $Ha \subseteq aH$.

Cara yang lebih singkat adalah menggunakan teorema berikut.

Teorema 1

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$. Maka $H$ adalah subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $aHa^{-1} \subseteq H$, untuk setiap $a \in G$.

Cara lainnya adalah menggunakan teorema berikut.

Teorema 2

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$. Maka $H$ adalah subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $aha^{-1} \in H$, untuk setiap $a \in G$ dan $h \in H$.

Teorema 1 bisa digunakan untuk membuktikan Teorema 2, mengingat $$aHa^{-1} \subseteq H\;\; \Longleftrightarrow \;\; aha^{-1} \in H, \; \forall h \in H$$

Soal dan Pembahasan

Mari memulai dengan bukti Teorema 1.

✶ Nomor 1

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$. Buktikan bahwa $H$ subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $aHa^{-1} \subseteq H$, untuk setiap $a \in G$.

Dari Kiri

Misalkan $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$ dan $a$ sebarang elemen $G$. Misalkan pula $H$ subgrup normal dari $G$, sehingga berlaku $aH=Ha$. Akan dibuktikan bahwa $aHa^{-1} \subseteq H$.

Misalkan $aha^{-1} \in aHa^{-1}$, dimana $h \in H$. Akan ditunjukkan bahwa $aha^{-1} \in H$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} aha^{-1} &= (ah)a^{-1} \quad &&[\text{Sifat asosiatif}] \\ &= (h_1a)a^{-1} &&[aH=Ha, \; h_1 \in H] \\ &= h_1(aa^{-1}) &&[\text{Sifat asosiatif}] \\ &= h_1e &&[a^{-1} \text{ invers dari } a] \\ &= h_1 &&[e \text{ elemen identitas}] \end{aligned}$$

Diperoleh $aha^{-1} = h_1 \in H$. Akibatnya, $aHa^{-1} \subseteq H$. Terbukti.

Dari Kanan

Misalkan $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$ dan $a$ sebarang elemen $G$. Misalkan pula $H$ subgrup dari $G$, sedemikian sehingga $aHa^{-1} \subseteq H$.

Untuk membuktikan $H$ subgrup normal dari $G$, perlu ditunjukkan bahwa $aH=Ha$.

Misalkan $ah_1 \in aH$, di mana $h_1 \in H$. Perhatikan bahwa $$ah_1 = ah_1e = ah_1(a^{-1}a)=(ah_1a^{-1})a$$

Karena $ah_1a^{-1} \in aHa^{-1} \subseteq H$, maka $ah_1a^{-1}=h_2$, untuk suatu $h_2 \in H$. Akibatnya $$ah_1 = h_2a \in Ha$$ sehingga $$aH \subseteq Ha \tag{1}$$

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa $$Ha \subseteq aH \tag{2}$$

Berdasarkan $(1)$ dan $(2)$, dapat disimpulkan bahwa $aH=Ha$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 2

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari grup $G$. Buktikan bahwa $H \cap K$ adalah subgrup normal dari $G$.

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari grup $G$. Irisan dua subgrup adalah subgrup, sehingga $H \cap K$ subgrup dari $G$ (tunjukkan!).

Misalkan $a \in G$ dan $b \in H \cap K$. Untuk membuktikan $H \cap K$ subgrup normal dari $G$, kita akan menunjukkan $aba^{-1} \in H \cap K$.

Berdasarkan definisi irisan, $b \in H \cap K$ berakibat $b \in H$ dan $b \in K$. Karena $a \in G$, $b \in H$, dan $H$ subgrup normal, maka berdasarkan Teorema 2 diperoleh $$aba^{-1} \in H$$

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh $aba^{-1} \in K$. Akibatnya $$aba^{-1} \in H \cap K$$

Berdasarkan Teorema 2, $H \cap K$ adalah subgrup normal dari $G$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 3

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari grup $G$. Buktikan bahwa $HK=KH$.

Misalkan $H$ dan $K$ subgrup normal dari grup $G$. Untuk membuktikan $HK=KH$, kita akan menunjukkan $HK \subseteq KH$ dan $KH \subseteq HK$.

Misalkan $hk \in HK$, dimana $h \in H$ dan $k \in K$. Karena $K$ subgrup normal dan $h \in H \subseteq G$, maka $hK=Kh$. Artinya, $hk=k'h$, untuk suatu $k' \in K$.

Akibatnya, $hk =k'h \in KH$, sehingga $$HK \subseteq KH \tag{1}$$

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa $$KH \subseteq HK \tag{2}$$

Berdasarkan $(1)$ dan $(2)$, dapat disimpulkan bahwa $HK=KH$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 4

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari grup $G$. Buktikan bahwa $HK$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari grup $G$. Berdasarkan soal sebelumnya, diperoleh $HK=KH$. Akibatnya, $HK$ subgrup dari $G$.[1]

Misalkan $a \in G$ dan $hk \in HK$, dimana $h \in H$ dan $k \in K$. Untuk membuktikan $HK$ subgrup normal dari $G$, kita akan menunjukkan $a(hk)a^{-1} \in HK$.

Perhatikan bahwa $$a(hk)a^{-1} =(aha^{-1})(aka^{-1})$$

Karena $a \in G$, $h \in H$, dan $H$ subgrup normal, maka $aha^{-1} \in H$. Dengan cara yang sama, diperoleh $aka^{-1} \in K$. Akibatnya $$a(hk)a^{-1} =(\textcolor{green}{aha^{-1}})(\textcolor{blue}{aka^{-1}}) \in \textcolor{green}{H}\textcolor{blue}{K}$$

Berdasarkan Teorema 2, $HK$ adalah subgrup normal dari $G$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$, sedemikian sehingga $x^2 \in H$, untuk setiap $x \in G$. Buktikan bahwa $H$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$, sedemikian sehingga $x^2 \in H$, untuk setiap $x \in G$.

Misalkan $a \in G$ dan $h \in H$. Untuk membuktikan $H$ subgrup normal dari $G$, kita akan menunjukkan $aha^{-1} \in H$.

Perhatikan bahwa $$aha^{-1} = (ah)^2h^{-1}(a^{-1})^2$$

Selain itu $$\begin{aligned} &ah \in G \;\; && \Longrightarrow \;\; (ah)^2 \in H \\ &a^{-1} \in G && \Longrightarrow \;\; (a^{-1})^2 \in H \end{aligned}$$

Berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $$aha^{-1} = (ah)^2h^{-1}(a^{-1})^2 \in H$$

Dengan demikian, $H$ adalah subgrup normal dari $G$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Misalkan $H$ adalah subgrup sejati dari grup $G$, sedemikian sehingga $xy \in H$, untuk setiap $x,y \in G\setminus H$. Buktikan bahwa $H$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $H$ adalah subgrup sejati dari grup $G$, sedemikian sehingga $xy \in H$, untuk setiap $x,y \in G \setminus H$.

Misalkan pula $a \in G$ dan $h \in H$. Untuk membuktikan $H$ subgrup normal dari $G$, kita akan menunjukkan $aha^{-1} \in H$.

Karena $H \subseteq G$, maka ada 2 kemungkinan yang diperoleh dari $a \in G$. Pertama, $a \in H$. Kedua, $a \in G\setminus H$. Kita bagi menjadi dua kasus berdasarkan hal ini.

Kasus I

Jika $a \in H$, maka berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $aha^{-1} \in H$. Akibatnya, $H$ subgrup normal dari $G$.

Kasus II

Jika $a \in G \setminus H$, maka $a^{-1} \in G \setminus H$. Selain itu, $ah \in G\setminus H$. Mengapa?

Hal ini dapat ditunjukkan dengan kontradiksi. Andaikan $ah \in H$. Berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $(ah)h^{-1}=a \in H$. Kontradiksi dengan $a \in G \setminus H$.

Karena $ah \in G\setminus H$ dan $a^{-1} \in G\setminus H$, maka $$aha^{-1} \in H$$ Berdasarkan Teorema 2, $H$ adalah subgrup normal dari $G$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$, sedemikian sehingga $xy \in H$ berakibat $yx \in H$, untuk setiap $x,y \in G$. Buktikan bahwa $H$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $H$ adalah subgrup dari grup $G$, sedemikian sehingga $xy \in H$ berakibat $yx \in H$, untuk setiap $x,y \in G$.

Misalkan pula $a \in G$ dan $h \in H$. Untuk membuktikan $H$ subgrup normal dari $G$, kita akan menunjukkan $aha^{-1} \in H$.

Karena $a \in G$, maka $a^{-1} \in G$. Misalkan $b=ah \in G$, sehingga $$a^{-1}b=a^{-1}(ah)=h \in H$$ Akibatnya $$ba^{-1}=(ah)a^{-1}=aha^{-1} \in H$$

Berdasarkan Teorema 2, $H$ adalah subgrup normal dari $G$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 8

Center dari grup $G$ didefinisikan sebagai $$Z(G)=\{b \in G | ab=ba \text{ untuk setiap } a\in G\}$$ Buktikan bahwa $Z(G)$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $G$ adalah grup. Himpunan $Z(G)$ adalah subgrup dari $G$.[1] Misalkan $a \in G$ dan $h \in Z(G)$. Untuk membuktikan $Z(G)$ subgrup normal dari $G$, kita akan menunjukkan $aha^{-1} \in Z(G)$.

Karena $a \in G$ dan $h \in Z(G)$, maka $$ah=ha \;\; \Longrightarrow \;\; aha^{-1}=h$$

Akibatnya, $aha^{-1}=h \in H$. Berdasarkan Teorema 2, $Z(G)$ adalah subgrup normal dari $G$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 9

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari grup $G$. Jika $H \cap K = \{e\}$, buktikan bahwa $hk=kh$ untuk setiap $h \in H$ dan $k \in K$.

Misalkan $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$. Misalkan pula $H$ dan $K$ subgrup normal dari $G$, yang memenuhi $H \cap K = \{e\}$.

Misalkan $h \in H$ dan $k \in K$. Akan ditunjukkan bahwa $hk=kh$.

Perhatikan bahwa $$hkh^{-1}k^{-1} = (hkh^{-1})k^{-1}$$ Karena $h \in H \subseteq G$, $k \in K$, dan $K$ subgrup normal, maka $hkh^{-1} \in K$. Selain itu, $k^{-1} \in K$ sehingga $$hkh^{-1}k^{-1} = (hkh^{-1})k^{-1} \in K \tag{1}$$

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa $$hkh^{-1}k^{-1} \in H \tag{2}$$

Berdasarkan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh $$hkh^{-1}k^{-1} \in H \cap K$$ Karena $H \cap K=\{e\}$, maka haruslah $$hkh^{-1}k^{-1}=e \;\; \Longrightarrow \;\; hk=kh$$

Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 10

Misalkan $G$ grup, $H$ subgrup dari $G$, dan $K$ subgrup normal dari $G$. Buktikan bahwa $HK$ subgrup dari $G$.

Misalkan $G$ grup dengan elemen identitas $e$. Misalkan pula $H$ subgrup dari $G$ dan $K$ subgrup normal dari $G$.

Karena $H \subseteq G$ dan $K \subseteq G$, maka $HK \subseteq G$. Lebih lanjut, $HK$ bukan himpunan kosong, karena memuat $ee=e$.

Misalkan $a,b \in HK$. Untuk membuktikan $HK$ subgrup dari $G$, kita akan menunjukkan $ab^{-1} \in HK$.

Sebagai elemen $HK$, $a$ dan $b$ memenuhi $$a=h_1k_1 \quad \text{dan} \quad b=h_2k_2$$ untuk suatu $h_1,h_2 \in H$ dan $k_1,k_2 \in K$.

Perhatikan bahwa $$ab^{-1}=(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}$$

Misalkan $k_3=k_1k_2^{-1}$, untuk suatu $k_3 \in K$, sehingga $$\begin{aligned} ab^{-1} &= h_1k_3h_2^{-1} \\ &= h_1ek_3h_2^{-1} \\ &= h_1(h_2^{-1}h_2)k_3h_2^{-1} \\ &= (h_1h_2^{-1})(h_2k_3h_2^{-1}) \end{aligned}$$

Karena $h_2 \in H \subseteq G$, $k_3 \in K$, dan $K$ subgrup normal, maka $$h_2k_3h_2^{-1} \in K$$ Selain itu, berdasarkan sifat tertutup pada $H$, diperoleh $h_1h_2^{-1} \in H$. Akibatnya $$ab^{-1}=(\textcolor{green}{h_1h_2^{-1}})(\textcolor{blue}{h_2k_3h_2^{-1}}) \in \textcolor{green}{H}\textcolor{blue}{K}$$

Dengan demikian, $HK$ adalah subgrup dari $G$.

Pembahasan