Soal dan Pembahasan - SPLDV
SPLDV, singkatan dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari pada jenjang SMP. Berikut ini kami sajikan soal-soal yang berkaitan dengan materi SPLDV, yang disertai dengan pembahasan.
Soal dan Pembahasan
Periksa apakah sistem berikut merupakan SPLDV. $$\left\{\begin{alignat*}{2} x & \:-\: &y \:=\: &z \\ x & \:+\: &2y \:=\: &3 \end{alignat*}\right.$$
Sistem di atas bukan SPLDV, karena memuat tiga variabel ($x$, $y$, dan $z$).
Periksa apakah sistem berikut merupakan SPLDV. $$\left\{\begin{alignat*}{2} x & \:-\: &y^2 \:=\: &1 \\ x & \:+\: &2y \:=\: &3 \end{alignat*}\right.$$
Sistem di atas terdiri dari dua variabel ($x$ dan $y$). Namun, terdapat variabel berpangkat dua pada persamaan pertama. Akibatnya, sistem di atas bukan SPLDV.
Periksa apakah sistem berikut merupakan SPLDV. $$\left\{\begin{alignat*}{2} x & \:-\: &xy \:=\: &2 \\ 3x & \:+\: &2y \:=\: &1 \end{alignat*}\right.$$
Sistem di atas terdiri dari dua variabel ($x$ dan $y$). Namun, terdapat perkalian variabel pada persamaan pertama ($xy$). Akibatnya, sistem di atas bukan SPLDV.
Periksa apakah sistem berikut merupakan SPLDV. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 2x & \:+\: &y \:=\: &2 \\ x & \:-\: &\dfrac{2}{y} \:=\: &3 \end{alignat*}\right.$$
Di persamaan kedua, terdapat variabel $y$ pada penyebut. Akibatnya, sistem di atas bukan SPLDV.
Periksa apakah sistem berikut merupakan SPLDV. $$\left\{\begin{alignat*}{2} \sqrt{x} & \:+\: &y \:=\: &2 \\ x & \:-\: &y \:=\: &3 \end{alignat*}\right.$$
Pada persamaan pertama, terdapat variabel $x$ di dalam akar. Akibatnya, sistem di atas bukan SPLDV.
Periksa apakah $(8,-9)$ merupakan solusi dari SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} x & \:-\: &y \:=\: &17 \\ x & \:+\: &y \:=\: &-1 \end{alignat*}\right.$$
Kita perlu memeriksa apakah $(\textcolor{green}{8},\textcolor{blue}{-9})$ memenuhi persamaan-persamaan dalam SPLDV. Kita mulai dari persamaan pertama. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{8}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{-9}$. Diperoleh $$\begin{aligned} \textcolor{green}{x}-\textcolor{blue}{y} &= 17 \\ \textcolor{green}{8}-(\textcolor{blue}{-9}) &\stackrel{?}{=} 17 \\ 17 &\stackrel{?}{=} 17 \end{aligned}$$
Karena $17=17$ bernilai benar, maka $(8,-9)$ adalah solusi dari persamaan pertama.
Kita lanjut pada persamaan kedua. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{8}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{-9}$. Diperoleh $$\begin{aligned} \textcolor{green}{x}+\textcolor{blue}{y} &= -1 \\ \textcolor{green}{8}+(\textcolor{blue}{-9}) &\stackrel{?}{=} -1 \\ -1 &\stackrel{?}{=} -1 \end{aligned}$$
Karena $-1=-1$ bernilai benar, maka $(8,-9)$ adalah solusi dari persamaan kedua. Dengan demikian, $(8,-9)$ adalah solusi dari SPLDV dalam soal.
Periksa apakah $(5,1)$ merupakan solusi dari SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} x & \:+\: &y \:=\: &6 \\ x & \:-\: &y \:=\: &4 \end{alignat*}\right.$$
Kita perlu memeriksa apakah $(\textcolor{green}{5},\textcolor{blue}{1})$ memenuhi persamaan-persamaan dalam SPLDV. Kita mulai dari persamaan pertama. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{5}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{1}$. Diperoleh $$\begin{aligned} \textcolor{green}{x}+\textcolor{blue}{y} &= 6 \\ \textcolor{green}{5}+\textcolor{blue}{1} &\stackrel{?}{=} 6 \\ 6 &\stackrel{?}{=} 6 \end{aligned}$$
Karena $6=6$ bernilai benar, maka $(5,1)$ adalah solusi dari persamaan pertama.
Kita lanjut pada persamaan kedua. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{5}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{1}$. Diperoleh $$\begin{aligned} \textcolor{green}{x}-\textcolor{blue}{y} &= 4 \\ \textcolor{green}{5}-\textcolor{blue}{1} &\stackrel{?}{=} 4 \\ 4 &\stackrel{?}{=} 4 \end{aligned}$$
Karena $4=4$ bernilai benar, maka $(5,1)$ adalah solusi dari persamaan kedua. Dengan demikian, $(5,1)$ adalah solusi dari SPLDV dalam soal.
Periksa apakah $(-1,2)$ merupakan solusi dari SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 3x & \:-\: &5y \:=\: &-12 \\ x & \:-\: &y \:=\: &1 \end{alignat*}\right.$$
Kita perlu memeriksa apakah $(\textcolor{green}{-1},\textcolor{blue}{2})$ memenuhi persamaan-persamaan dalam SPLDV. Kita mulai dari persamaan pertama. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{-1}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{2}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 3\textcolor{green}{x}-5\textcolor{blue}{y} &= -12 \\ 3 \cdot (\textcolor{green}{-1})-5 \cdot \textcolor{blue}{2} &\stackrel{?}{=} -12 \\ -3-10 &\stackrel{?}{=} -12 \\ -13 &\stackrel{?}{=} -12 \end{aligned}$$
Karena $-13=-12$ bernilai salah, maka $(-1,2)$ bukan solusi dari persamaan pertama. Dengan demikian, $(-1,2)$ bukan solusi dari SPLDV dalam soal.
Periksa apakah $(5,2)$ merupakan solusi dari SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 2x & \:-\: &y \:=\: &8 \\ 3x & \:+\: &2y \:=\: &20 \end{alignat*}\right.$$
Kita perlu memeriksa apakah $(\textcolor{green}{5},\textcolor{blue}{2})$ memenuhi persamaan-persamaan dalam SPLDV. Kita mulai dari persamaan pertama. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{5}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{2}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 2\textcolor{green}{x}-\textcolor{blue}{y} &= 8 \\ 2 \cdot \textcolor{green}{5}-\textcolor{blue}{2} &\stackrel{?}{=} 8 \\ 10-2 &\stackrel{?}{=} 8 \\ 8 &\stackrel{?}{=} 8 \end{aligned}$$
Karena $8=8$ bernilai benar, maka $(5,2)$ adalah solusi dari persamaan pertama.
Kita lanjut pada persamaan kedua. Ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ dengan $\textcolor{green}{5}$ dan nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{2}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 3\textcolor{green}{x}+2\textcolor{blue}{y} &= 20 \\ 3 \cdot \textcolor{green}{5}+2 \cdot \textcolor{blue}{2} &\stackrel{?}{=} 20 \\ 15+4 &\stackrel{?}{=} 20 \\ 19 &\stackrel{?}{=} 20 \end{aligned}$$
Karena $19=20$ bernilai salah, maka $(5,2)$ bukan solusi dari persamaan kedua. Dengan demikian, $(5,2)$ bukan solusi dari SPLDV dalam soal.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 3x & \:+\: &y \:=\: &-7 & \quad \ldots (1) \\ x & \:-\: &y \:=\: &-5 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Dari persamaan $(2)$ diperoleh $$x-y=-5 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{blue}{x=y-5} \quad \ldots (3)$$
Pada persamaan $(1)$, ganti nilai $\textcolor{blue}{x}$ dengan $\textcolor{blue}{y-5}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 3 \textcolor{blue}{x} + y &= -7 \\ 3 \cdot (\textcolor{blue}{y-5}) + y &= -7 \\ 3y-15+y &= -7 \\ 4y &= 8 \\ \textcolor{green}{y} &\textcolor{green}{=} \textcolor{green}{2} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{green}{y}$ pada persamaan $(3)$ dengan $\textcolor{green}{2}$. Diperoleh $$x=\textcolor{green}{y}-5 = \textcolor{green}{2}-5 = -3$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(-3,2)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 6x & \:-\: &y \:=\: &5 & \quad \ldots (1) \\ &&y \:=\: &11x & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Pada persamaan $(2)$, diketahui bahwa $\textcolor{blue}{y}=\textcolor{blue}{11x}$. Ganti nilai $\textcolor{blue}{y}$ pada persamaan $(1)$ dengan $\textcolor{blue}{11x}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 6x-\textcolor{blue}{y} &= 5 \\ 6x-\textcolor{blue}{11x} &= 5 \\ -5x &= 5 \\ \textcolor{green}{x} &\textcolor{green}{=} \textcolor{green}{-1} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ pada persamaan $(2)$ dengan $\textcolor{green}{-1}$. Diperoleh $$y=11 \textcolor{green}{x} = 11 \cdot (\textcolor{green}{-1}) = -11$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(-1,-11)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 3x & \:-\: &2y \:=\: &0 & \quad \ldots (1) \\ 9x & \:+\: &8y \:=\: &7 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Kalikan setiap ruas persamaan $(1)$ dengan $3$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \textcolor{maroon}{9x} \: - \: 6y \: &= \: 0 \\ \textcolor{maroon}{9x} \: + \: 8y \: &= \:7 \end{aligned}$$
Kurangkan. $$\begin{aligned} \textcolor{maroon}{9x} \: - \: 6y \: &= \: 0 \\ \textcolor{maroon}{9x} \: + \: 8y \: &= \:7 \\ \hline -14y \: &= \: -7 \\ y \: &= \: \frac{-7}{-14} \\ \textcolor{blue}{y} \: &\textcolor{blue}{=} \: \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{blue}{y}$ pada persamaan $(1)$ dengan $\textcolor{blue}{1/2}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 3x-2\textcolor{blue}{y} &= 0 \\ 3x-2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} &= 0 \\ 3x-1 &= 0 \\ 3x &= 1 \\ x &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(1/3,1/2)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 3x & \:-\: &5y \:=\: &7 & \quad \ldots (1) \\ 2x & \:+\: &3y \:=\: &30 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Kalikan setiap ruas persamaan $(1)$ dengan $2$, dan setiap ruas persamaan $(2)$ dengan $3$, sehingga diperoleh $$\begin{alignat*}{2} \textcolor{maroon}{6x} & \:-\: &10y \:=\: &14 \\ \textcolor{maroon}{6x} & \:+\: &9y \:=\: &90 \end{alignat*}$$
Kurangkan. $$\begin{alignat*}{2} \textcolor{maroon}{6x} & \:-\: &10y \:=\: &14 \\ \textcolor{maroon}{6x} & \:+\: &9y \:=\: &90 \\ \hline & \:-\: & 19y \:=\: &-76 \\ && y \:=\: &\frac{-76}{-19} \\ && \textcolor{blue}{y} \:\textcolor{blue}{=}\: &\textcolor{blue}{4} \end{alignat*}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{blue}{y}$ pada persamaan $(1)$ dengan $\textcolor{blue}{4}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 3x-5\textcolor{blue}{y} &= 7 \\ 3x-5 \cdot \textcolor{blue}{4} &= 7 \\ 3x-20 &= 7 \\ 3x &= 27 \\ x &= 9 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(9,4)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 2x & \:+\: &3y \:=\: &10 & \quad \ldots (1) \\ -3x & \:+\: &y \:=\: &18 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Dari persamaan $(2)$, diperoleh $$-3x+y=18 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{blue}{y=18+3x} \quad \ldots (3)$$
Pada persamaan $(1)$, ganti nilai $\textcolor{blue}{y}$ dengan $\textcolor{blue}{18+3x}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 2x+ 3\textcolor{blue}{y} &= 10 \\ 2x+3 \cdot (\textcolor{blue}{18+3x}) &= 10 \\ 2x+54+9x &= 10 \\ 11x &= -44 \\ x &= \frac{-44}{11} \\ \textcolor{green}{x} &\textcolor{green}{=} \textcolor{green}{-4} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ pada persamaan $(3)$ dengan $\textcolor{green}{-4}$. Diperoleh $$\begin{aligned} y &= 18+3\textcolor{green}{x} \\ &= 18+3 \cdot (\textcolor{green}{-4}) \\ &= 18-12 \\ &= 6 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(-4,6)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} x & \:+\: &y \:=\: &10 & \quad \ldots (1) \\ 2x & \:-\: &y \:=\: &5 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Dari persamaan $(1)$, diperoleh $$x+y=10 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{blue}{x}=\textcolor{blue}{10-y} \quad \ldots (3)$$
Pada persamaan $(2)$, ganti nilai $\textcolor{blue}{x}$ dengan $\textcolor{blue}{10-y}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 2\textcolor{blue}{x}-y &= 5 \\ 2 \cdot (\textcolor{blue}{10-y})-y &= 5 \\ 20-2y-y &= 5 \\ -3y &= -15 \\ y &= \frac{-15}{-3} \\ \textcolor{green}{y} &\textcolor{green}{=} \textcolor{green}{5} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{green}{y}$ pada persamaan $(3)$ dengan $\textcolor{green}{5}$. Diperoleh $$x=10-\textcolor{green}{y}=10-\textcolor{green}{5}=5$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(5,5)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{3} y & \:=\: &-\frac{1}{5}x & \:+\: &1 && \quad \ldots (1) \\ y & \:=\: &\frac{3}{5}x & \:-\: &3 && \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Pada persamaan $(2)$, diketahui bahwa $$\textcolor{blue}{y}=\textcolor{blue}{\frac{3}{5}x-3}$$ Ganti nilai $\textcolor{blue}{y}$ pada persamaan $(1)$ dengan $\textcolor{blue}{\frac{3}{5}x-3}$. Diperoleh $$\begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= -\frac{1}{5}x+1 \\ \textcolor{blue}{\frac{3}{5}x-3} &= -\frac{1}{5}x+1 \\ \frac{3}{5}x &= -\frac{1}{5}x+4 \\ \frac{4}{5}x &= 4 \\ x &= 4 \cdot \frac{5}{4} \\ \textcolor{green}{x} &\textcolor{green}{=} \textcolor{green}{5} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{green}{x}$ pada persamaan $(2)$ dengan $\textcolor{green}{5}$. Diperoleh $$\begin{aligned} y &= \frac{3}{5}\textcolor{green}{x}-3 \\ &= \frac{3}{5} \cdot \textcolor{green}{5}-3 \\ &= 3-3 \\ &= 0 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(5,0)\}$.
Selesaikan SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 0.3x & \:+\: &0.2y \:=\: &0.4 \\ 0.5x & \:+\: &0.4y \:=\: &0.7 \end{alignat*}\right.$$
Kalian setiap ruas persamaan dengan $10$, sehingga diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{2} 3x & \:+\: &2y \:=\: &4 & \quad \ldots (1) \\ 5x & \:+\: &4y \:=\: &7 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Kalikan setiap ruas persamaan $(1)$ dengan $5$, dan setiap ruas persamaan $(2)$ dengan $3$, sehingga diperoleh $$\begin{alignat*}{2} \textcolor{maroon}{15x} & \:+\: &10y \:=\: &20 \\ \textcolor{maroon}{15x} & \:+\: &12y \:=\: &21 \end{alignat*}$$
Kurangkan. $$\begin{aligned} \textcolor{maroon}{15x} \:+\: 10y \:&=\: 20 \\ \textcolor{maroon}{15x} \:+\: 12y \:&=\: 21 \\ \hline \:-\: 2y \:&=\: -1 \\ y \:&=\: \frac{-1}{-2} \\ \textcolor{blue}{y} \:&\textcolor{blue}{=}\: \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{blue}{y}$ pada persamaan $(1)$ dengan $\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 3x+2\textcolor{blue}{y} &= 4 \\ 3x + 2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} &= 4 \\ 3x + 1 &= 4 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{(1,1/2)\}$.
Selesaikan sistem persamaan berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} \frac{4}{x} & \:+\: &\frac{6}{y} \:=\: &11 \\ \frac{1}{x} & \:-\: &\frac{2}{y} \:=\: &1 \end{alignat*}\right.$$
Misalkan $p=\frac{1}{x}$ dan $q=\frac{1}{y}$, sehingga sistem di atas menjadi SPLDV berikut. $$\left\{\begin{alignat*}{2} 4p & \:+\: &6q \:=\: &11 & \quad \ldots (1) \\ p & \:-\: &2q \:=\: &1 & \quad \ldots (2) \end{alignat*}\right.$$
Dari persamaan $(2)$, diperoleh $$p-2q=1 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{blue}{p}=\textcolor{blue}{1+2q} \quad \ldots (3)$$
Pada persamaan $(1)$, ganti nilai $\textcolor{blue}{p}$ dengan $\textcolor{blue}{1+2q}$. Diperoleh $$\begin{aligned} 4 \textcolor{blue}{p} + 6q &= 11 \\ 4 \cdot (\textcolor{blue}{1+2q}) + 6q &= 11 \\ 4+8q+6q &= 11 \\ 14q &= 7 \\ q &= \frac{7}{14} \\ \textcolor{green}{q} &\textcolor{green}{=} \textcolor{green}{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Berikutnya, ganti nilai $\textcolor{green}{q}$ pada persamaan $(3)$ dengan $\textcolor{green}{\frac{1}{2}}$. Diperoleh $$\begin{aligned} p &= 1+2\textcolor{green}{q} \\ &= 1+2 \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{2}} \\ &= 1+1 \\ &= 2 \end{aligned}$$
Sebelumnya, kita memisalkan $p=\frac{1}{x}$ dan $q=\frac{1}{y}$. Karena $\textcolor{maroon}{p=2}$ dan $\textcolor{green}{q=\frac{1}{2}}$, maka $$\begin{aligned} p=\frac{1}{x} \quad &\Longrightarrow \quad x=\frac{1}{\textcolor{maroon}{p}} = \frac{1}{\textcolor{maroon}{2}} \\ q=\frac{1}{y} \quad &\Longrightarrow \quad y=\frac{1}{\textcolor{green}{q}} = \frac{1}{\textcolor{green}{1/2}} = 2 \end{aligned}$$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\left\{\left(\frac{1}{2},2 \right)\right\}$.