11 Soal dan Pembahasan - Sifat Ruang Vektor

Soal dan Pembahasan - Sifat Ruang Vektor

Kategori: Aljabar Linear
Kirim Soal - Sifat Ruang Vektor
Ekstensi File: .jpg, .png, atau .gif

Ruang Vektor adalah himpunan tak kosong (dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar) yang memenuhi 10 aksioma ruang vektor. Sifat-sifat ruang vektor dapat diturunkan dari 10 aksioma ini.

Definisi Ruang Vektor

Sebelum membahas soal-soal mengenai sifat ruang vektor, mari ingat kembali 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma Ruang Vektor

Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan . Misalkan pula dan .

  1. Terdapat , yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga
  2. Untuk setiap terdapat , yang disebut invers penjumlahan dari , sedemikian sehingga

Soal dan Pembahasan

Soal

Buktikan sifat-sifat ruang vektor berikut.

Sifat Ruang Vektor

Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan . Untuk setiap dan , berlaku

  1. Jika maka
  2. Vektor nol dalam bersifat tunggal
  3. Invers penjumlahan dari bersifat tunggal
  4. Jika maka
  5. Jika maka
  6. Jika maka atau

Pembahasan

Misalkan adalah ruang vektor atas lapangan . Misalkan pula dan .

Sifat 1

Jika maka

Bukti

Berdasarkan Aksioma 4, terdapat yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga

Vektor mempunyai invers penjumlahan, dengan notasi , yang memenuhi (Aksioma 5). Akibatnya

Diperoleh . Terbukti.

Sifat 2

Vektor nol dalam bersifat tunggal

Bukti

Berdasarkan Aksioma 4, memiliki vektor nol, dengan notasi . Akan dibuktikan bahwa vektor nol tunggal menggunakan kontradiksi.

Andaikan vektor nol dalam tidak tunggal. Artinya, terdapat , dengan , yang juga memenuhi Aksioma 4.

Diambil sebarang. Karena dan memenuhi Aksioma 4, maka

Akibatnya

Berdasarkan Sifat 1, diperoleh . Kontradiksi. Dengan demikian, vektor nol dalam bersifat tunggal.

Sifat 3

Invers penjumlahan dari bersifat tunggal

Bukti

Berdasarkan Aksioma 5, mempunyai invers penjumlahan, dengan notasi . Akan dibuktikan bahwa invers penjumlahan ini tunggal menggunakan kontradiksi.

Andaikan invers penjumlahan dari tidak tunggal. Artinya, terdapat , dengan , yang juga memenuhi Aksioma 5.

Keduanya memenuhi Aksioma 5, sehingga

Akibatnya

Berdasarkan Sifat 1, diperoleh . Kontradiksi. Dengan demikian, invers penjumlahan dari bersifat tunggal.

Sifat 4

Jika maka

Bukti

Diketahui . Berdasarkan Aksioma 2, diperoleh

Pada persamaan di atas, terlihat memenuhi syarat sebagai invers penjumlahan dari . Di pihak lain, invers penjumlahan dari didefinisikan sebagai .

Karena invers penjumlahan itu tunggal (Sifat 3), maka haruslah . Terbukti.

Sifat 5

Bukti

Berdasarkan Aksioma 4, adalah vektor nol, sehingga untuk setiap berlaku

Untuk , diperoleh

Pandang persamaan di atas sebagai , di mana . Berdasarkan Sifat 4, diperoleh

Terbukti.

Sifat 6

Bukti

Berdasarkan Aksioma 5, mempunyai invers penjumlahan, dengan notasi , yang memenuhi

Pandang persamaan di atas sebagai , di mana dan . Berdasarkan Sifat 4, diperoleh Terbukti.

Sifat 7

Jika maka

Bukti

Diketahui . Berdasarkan Aksioma 2, diperoleh

Pada persamaan di atas, terlihat memenuhi syarat sebagai vektor nol. Di pihak lain, vektor nol dalam didefinisikan sebagai .

Karena vektor nol itu tunggal (Sifat 2), maka haruslah .

Sifat 8

Bukti

Sebelum membuktikan sifat ini, perlu dicermati bahwa pada ruas kiri adalah skalar, sedangkan pada ruas kanan adalah vektor.

Berdasarkan Aksioma 10, diperoleh , sehingga

Karena dan adalah skalar, maka berdasarkan Aksioma 8 diperoleh

Berdasarkan Sifat 7, berakibat . Terbukti.

Sifat 9

Bukti

Dengan menggunakan Aksioma 7 dan 4, kita dapat menulis

Berdasarkan Sifat 7, berakibat . Terbukti.

Sifat 10

Jika maka atau .

Bukti

Sifat ini akan dibuktikan dengan kontradiksi.

Andaikan dan . Karena maka terdapat , invers perkalian dari , sedemikian sehingga .

Perhatikan bahwa

Diperoleh . Kontradiksi. Dengan demikian, haruslah atau . Terbukti.

Sifat 11

Bukti

Berdasarkan Aksioma 10, diperoleh , sehingga

Karena dan adalah skalar, maka berdasarkan Aksioma 8 diperoleh

Kita tahu bahwa (Sifat 8), sehingga

Berdasarkan Sifat 4, diperoleh . Terbukti.