Soal dan Pembahasan - Sifat Ruang Vektor

Diperbarui 14 Oktober 2020 — 11 Soal

Ruang Vektor adalah himpunan tak kosong (dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar) yang memenuhi 10 aksioma ruang vektor. Dari 10 aksioma ini, dapat diturunkan sifat-sifat ruang vektor.

Aksioma Ruang Vektor

Sebelum membuktikan sifat-sifat ruang vektor, mari ingat kembali 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma Ruang Vektor

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$. Misalkan pula $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k,m \in F$.

  1. $\textbf{u}+\textbf{v} \in V$
  2. $\textbf{u}+\textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{u}$
  3. $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$
  4. Terdapat $\textbf{0} \in V$, yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga $\textbf{u}+\textbf{0}=\textbf{0}+\textbf{u}=\textbf{u}$
  5. Untuk setiap $\textbf{u} \in V$ terdapat $-\textbf{u} \in V$, yang disebut invers penjumlahan dari $\textbf{u}$, sedemikian sehingga $\textbf{u}+(-\textbf{u})=(-\textbf{u})+\textbf{u}=\textbf{0}$
  6. $k\textbf{u} \in V$
  7. $k(\textbf{u}+\textbf{v})=k\textbf{u}+k\textbf{v}$
  8. $(k+m)\textbf{u}=k\textbf{u}+m\textbf{u}$
  9. $k(m\textbf{u})=(km)\textbf{u}$
  10. $1\textbf{u}=\textbf{u}$

Sifat Ruang Vektor

Sifat-sifat ruang vektor dapat diturunkan dari aksioma ruang vektor. Berikut adalah sifat-sifat ruang vektor yang penting untuk diketahui.

Sifat Ruang Vektor

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$. Untuk setiap $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k \in F$, berlaku

  1. Jika $\textbf{u}+\textbf{v}=\textbf{u}+\textbf{w}$ maka $\textbf{v}=\textbf{w}$
  2. Vektor nol dalam $V$ bersifat tunggal
  3. Invers penjumlahan dari $\textbf{v} \in V$ bersifat tunggal
  4. Jika $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0}$ maka $\textbf{w}=-\textbf{v}$
  5. $-\textbf{0}=\textbf{0}$
  6. $-(-\textbf{u})=\textbf{u}$
  7. Jika $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{v}$ maka $\textbf{w}=\textbf{0}$
  8. $0\textbf{v}=\textbf{0}$
  9. $k\textbf{0}=\textbf{0}$
  10. Jika $k\textbf{v}=\textbf{0}$ maka $k=0$ atau $\textbf{v}=\textbf{0}$
  11. $(-1)\textbf{v}=-\textbf{v}$

Soal dan Pembahasan

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$. Misalkan pula $\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w} \in V$ dan $k \in F$.

✶ Nomor 1

Buktikan bahwa: Jika $\textbf{u}+\textbf{v}=\textbf{u}+\textbf{w}$ maka $\textbf{v}=\textbf{w}$

Berdasarkan Aksioma 4, terdapat $\textbf{0} \in V$ yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga $$\textbf{v}=\textbf{0}+\textbf{v}$$

Vektor $\textbf{u} \in V$ mempunyai invers penjumlahan, dengan notasi $-\textbf{u}$, yang memenuhi $-\textbf{u}+\textbf{u}=\textbf{0}$ (Aksioma 5). Akibatnya $$\begin{aligned} \textbf{v} &= (-\textbf{u}+\textbf{u})+\textbf{v} \\ &= -\textbf{u}+(\textbf{u}+\textbf{v}) \quad &&[\text{Aksioma 3}] \\ &= -\textbf{u}+(\textbf{u}+\textbf{w}) &&[\text{Diketahui}] \\ &= (-\textbf{u}+\textbf{u})+\textbf{w} &&[\text{Aksioma 3}] \\ &= \textbf{0}+\textbf{w} &&[\text{Aksioma 5}] \\ &= \textbf{w} &&[\text{Aksioma 4}] \end{aligned}$$

Diperoleh $\textbf{v}=\textbf{w}$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 2

Buktikan bahwa: Vektor nol dalam $V$ bersifat tunggal

Berdasarkan Aksioma 4, $V$ memiliki vektor nol, dengan notasi $\textbf{0}$. Akan dibuktikan bahwa vektor nol tunggal menggunakan kontradiksi.

Andaikan vektor nol dalam $V$ tidak tunggal. Artinya, terdapat $\textbf{w} \in V$, dengan $\textbf{w} \neq \textbf{0}$, yang juga memenuhi Aksioma 4.

Diambil $\textbf{v} \in V$ sebarang. Karena $\textbf{w}$ dan $\textbf{0}$ memenuhi Aksioma 4, maka $$\textbf{v} = \textbf{v}+\textbf{w} \text{ dan }\textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{0}$$

Akibatnya $$\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{v}+\textbf{0}$$

Berdasarkan Sifat 1, diperoleh $\textbf{w}=\textbf{0}$. Kontradiksi. Dengan demikian, vektor nol dalam $V$ bersifat tunggal.

Pembahasan
✶ Nomor 3

Buktikan bahwa: Invers penjumlahan dari $\textbf{v} \in V$ bersifat tunggal

Berdasarkan Aksioma 5, $\textbf{v} \in V$ mempunyai invers penjumlahan, dengan notasi $-\textbf{v}$. Akan dibuktikan bahwa invers penjumlahan ini tunggal menggunakan kontradiksi.

Andaikan invers penjumlahan dari $\textbf{v} \in V$ tidak tunggal. Artinya, terdapat $\textbf{w} \in V$, dengan $\textbf{w} \neq -\textbf{v}$, yang juga memenuhi Aksioma 5.

Keduanya memenuhi Aksioma 5, sehingga $$\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0} \text{ dan } \textbf{v}+(-\textbf{v})=\textbf{0}$$

Akibatnya $$\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{v}+(-\textbf{v})$$

Berdasarkan Sifat 1, diperoleh $\textbf{w}=-\textbf{v}$. Kontradiksi. Dengan demikian, invers penjumlahan dari $\textbf{v} \in V$ bersifat tunggal.

Pembahasan
✶ Nomor 4

Buktikan bahwa: Jika $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0}$ maka $\textbf{w}=-\textbf{v}$

Diketahui $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0}$. Berdasarkan Aksioma 2, diperoleh $$\textbf{w}+\textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0}$$

Pada persamaan di atas, terlihat $\textbf{w}$ memenuhi syarat sebagai invers penjumlahan dari $\textbf{v}$. Di pihak lain, invers penjumlahan dari $\textbf{v}$ didefinisikan sebagai $-\textbf{v}$.

Karena invers penjumlahan itu tunggal (Sifat 3), maka haruslah $\textbf{w}=-\textbf{v}$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Buktikan bahwa: $-\textbf{0}=\textbf{0}$

Berdasarkan Aksioma 4, $\textbf{0}$ adalah vektor nol, sehingga untuk setiap $\textbf{v} \in V$ berlaku $$\textbf{v}+\textbf{0}=\textbf{v}$$

Untuk $\textbf{v}=\textbf{0}$, diperoleh $$\textbf{0}+\textbf{0}=\textbf{0}$$

Pandang persamaan di atas sebagai $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0}$, di mana $\textbf{v}=\textbf{w}=\textbf{0}$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh $$\textbf{0}=\textbf{w}=-\textbf{v}=-\textbf{0}$$

Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Buktikan bahwa: $-(-\textbf{u})=\textbf{u}$

Berdasarkan Aksioma 5, $\textbf{u} \in V$ mempunyai invers penjumlahan, dengan notasi $-\textbf{u}$, yang memenuhi $$(-\textbf{u})+\textbf{u}=0$$

Pandang persamaan di atas sebagai $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{0}$, di mana $\textbf{v}=-\textbf{u}$ dan $\textbf{w}=\textbf{u}$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh $$\textbf{u}=\textbf{w}=-\textbf{v}=-(-\textbf{u})$$ Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Buktikan bahwa: Jika $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{v}$ maka $\textbf{w}=\textbf{0}$

Diketahui $\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{v}$. Berdasarkan Aksioma 2, diperoleh $$\textbf{w}+\textbf{v}=\textbf{v}+\textbf{w}=\textbf{v}$$

Pada persamaan di atas, terlihat $\textbf{w}$ memenuhi syarat sebagai vektor nol. Di pihak lain, vektor nol dalam $V$ didefinisikan sebagai $\textbf{0}$.

Karena vektor nol itu tunggal (Sifat 2), maka haruslah $\textbf{w}=\textbf{0}$.

Pembahasan
✶ Nomor 8

Buktikan bahwa: $0\textbf{v}=\textbf{0}$

Sebelum membuktikan sifat ini, perlu dicermati bahwa $0$ pada ruas kiri adalah skalar, sedangkan $\textbf{0}$ pada ruas kanan adalah vektor.

Berdasarkan Aksioma 10, diperoleh $1\textbf{v}=\textbf{v}$, sehingga $$\textbf{v}+0\textbf{v}=1\textbf{v}+0\textbf{v}$$

Karena $1$ dan $0$ adalah skalar, maka berdasarkan Aksioma 8 diperoleh $$\textbf{v}+0\textbf{v}=(1+0)\textbf{v}=1\textbf{v}=\textbf{v}$$

Berdasarkan Sifat 7, $\textbf{v}+0\textbf{v}=\textbf{v}$ berakibat $0\textbf{v}=\textbf{0}$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 9

Buktikan bahwa: $k\textbf{0}=\textbf{0}$

Dengan menggunakan Aksioma 7 dan 4, kita dapat menulis $$k\textbf{v}+k\textbf{0}=k(\textbf{v}+\textbf{0})=k\textbf{v}$$

Berdasarkan Sifat 7, $k\textbf{v}+k\textbf{0}=k\textbf{v}$ berakibat $k\textbf{0}=\textbf{0}$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 10

Buktikan bahwa: Jika $k\textbf{v}=0$ maka $k=0$ atau $\textbf{v}=\textbf{0}$.

Sifat ini akan dibuktikan dengan kontradiksi.

Andaikan $k \neq 0$ dan $\textbf{v} \neq \textbf{0}$. Karena $k \neq 0$ maka terdapat $m \in F$, invers perkalian dari $k$, sedemikian sehingga $km=mk=1$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v} &= 1\textbf{v} \quad &&[\text{Aksioma 10}] \\ &= (mk)\textbf{v} &&[mk=1] \\ &= m(k\textbf{v}) &&[\text{Aksioma 9}] \\ &= m\textbf{0} &&[\text{Diketahui}] \\ &= \textbf{0} &&[\text{Sifat 9}] \end{aligned}$$

Diperoleh $\textbf{v}=\textbf{0}$. Kontradiksi. Dengan demikian, haruslah $k=0$ atau $\textbf{v}=\textbf{0}$. Terbukti.

Pembahasan
✶ Nomor 11

Buktikan bahwa: $(-1)\textbf{v}=-\textbf{v}$

Berdasarkan Aksioma 10, diperoleh $1\textbf{v}=\textbf{v}$, sehingga $$\textbf{v}+(-1)\textbf{v}=1\textbf{v}+(-1)\textbf{v}$$

Karena $1$ dan $-1$ adalah skalar, maka berdasarkan Aksioma 8 diperoleh $$\textbf{v}+(-1)\textbf{v}=[1+(-1)]\textbf{v}=0\textbf{v}$$

Kita tahu bahwa $0\textbf{v}=\textbf{0}$ (Sifat 8), sehingga $$\textbf{v}+(-1)\textbf{v}=\textbf{0}$$

Berdasarkan Sifat 4, diperoleh $(-1)\textbf{v}=-\textbf{v}$. Terbukti.

Pembahasan