11 Soal dan Pembahasan - Ruang Vektor

Soal dan Pembahasan - Pembuktian Ruang Vektor

Kategori: Aljabar Linear
Kirim Soal - Pembuktian Ruang Vektor
Ekstensi File: .jpg, .png, atau .gif

Ruang Vektor adalah himpunan tak kosong (dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar) yang memenuhi 10 aksioma ruang vektor. Apa saja aksioma-aksioma tersebut? Bagaimana cara menunjukkan bahwa suatu himpunan adalah ruang vektor?

Tulisan ini dibuat untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut. Sebelum membahas lebih lanjut, perhatikan Daftar Isi berikut.

Bahasan ini dimulai dengan definisi ruang vektor. Definisi inilah yang digunakan dalam memeriksa apakah suatu himpunan merupakan ruang vektor atau bukan.

Definisi Ruang Vektor

Definisi

Misalkan adalah himpunan tidak kosong, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Operasi penjumlahan adalah aturan yang memasangkan setiap objek dan dalam dengan objek . Operasi perkalian skalar adalah aturan yang memasangkan setiap skalar dan setiap objek dalam dengan objek .

Jika 10 aksioma berikut dipenuhi oleh setiap objek dalam V dan setiap skalar dan , maka disebut ruang vektor dan objek-objek dalam disebut vektor.

  1. Jika maka .
  2. Terdapat , yang disebut vektor nol, sedemikian sehingga .
  3. Untuk setiap terdapat , yang disebut negatif dari , sedemikian sehingga .
  4. Jika adalah skalar dan maka .

Skalar ini tidak terbatas pada bilangan real. Secara umum, skalar merupakan anggota dari suatu lapangan, sebutlah . Jika adalah ruang vektor dengan skalar-skalar anggota , maka kita sebut bahwa adalah ruang vektor atas lapangan . Jika , maka disebut ruang vektor real.

Soal dan Pembahasan

Setelah mengenal apa itu ruang vektor, mari berlatih mengerjakan soal.

Ruang Vektor

Nomor 1

Misalkan , dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar:

Periksa apakah merupakan ruang vektor real.

Pembahasan

Diambil sebarang dan . Berdasarkan definisi himpunan , kita dapat menulis untuk suatu .

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, maka . Akibatnya, . Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena dan memenuhi sifat komutatif penjumlahan, maka . Dengan argumen yang serupa, dapat diperoleh .

Akibatnya

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena dan memenuhi sifat asosiatif penjumlahan, maka . Dengan argumen yang serupa, dapat diperoleh .

Akibatnya

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, maka . Akibatnya . Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, adalah ruang vektor real.

Tutup
Nomor 2

Misalkan . Operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada didefinisikan sebagai

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Diambil sebarang dan . Berdasarkan definisi himpunan , kita dapat menulis untuk suatu .

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena dan bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, maka . Akibatnya, . Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena dan memenuhi sifat komutatif penjumlahan, maka . Akibatnya

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena dan memenuhi sifat asosiatif penjumlahan, maka . Akibatnya

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena dan bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, maka . Akibatnya . Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, adalah ruang vektor real.

Tutup
Nomor 3

Misalkan , dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Diambil sebarang dan . Berdasarkan definisi himpunan , kita dapat menulis untuk suatu .

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena , maka . Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena maka . Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, adalah ruang vektor.

Tutup
Nomor 4

Misalkan . Pada didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Diambil sebarang dan . Kita dapat menuliskan untuk suatu .

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena , maka . Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Karena operasi penjumlahannya tidak standar, maka unsur belum tentu . Kita perlu mencarinya terlebih dahulu.

Misalkan , sehingga

Dari persamaan di atas, diperoleh

Karena , maka inilah vektor yang kita cari.

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Serupa dengan Aksioma 4, kita perlu menentukan nilai . Misalkan , sehingga

Dari persamaan di atas, diperoleh

Karena , maka inilah vektor yang kita cari.

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena maka . Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Di pihak lain

Dari kedua persamaan ini, dapat disimpulkan bahwa . Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Jika anda merasa kesulitan, coba gunakan cara yang serupa saat membuktikan berlakunya Aksioma 7.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, adalah ruang vektor real.

Tutup
Nomor 5

Himpunan didefinisikan sebagai dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar pada matriks.

Periksa apakah adalah ruang vektor real.

Pembahasan

Diambil sebarang dan . Kita dapat menuliskan

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena , maka . Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena maka . Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 7 terpenuhi.

Aksioma 8

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 8 terpenuhi.

Aksioma 9

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 9 terpenuhi.

Aksioma 10

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 10 terpenuhi. Dengan demikian, adalah ruang vektor real.

Tutup
Nomor 6

Himpunan didefinisikan sebagai dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar:

Periksa apakah merupakan ruang vektor atas lapangan .

Pembahasan

Diambil sebarang dan . Kita dapat menuliskan untuk suatu .

Kita perlu memeriksa keberlakuan 10 aksioma ruang vektor.

Aksioma 1

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena , maka . Jadi, aksioma 1 terpenuhi.

Aksioma 2

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 2 terpenuhi.

Aksioma 3

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Jadi, aksioma 3 terpenuhi.

Aksioma 4

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 4 terpenuhi.

Aksioma 5

Terdapat sedemikian sehingga

Jadi, aksioma 5 terpenuhi.

Aksioma 6

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa

Karena maka . Jadi, aksioma 6 terpenuhi.

Aksioma 7

Akan ditunjukkan . Perhatikan bahwa