Soal dan Pembahasan - Limit Barisan

Istilah barisan bilangan telah diperkenalkan pada jenjang Sekolah Menengah. Pembaca tentu mengenal barisan berikut.

Secara berturut-turut, barisan ini dikenal dengan nama barisan aritmatika dan barisan geometri.

Sebenarnya, apa sih definisi barisan? Sebelum membahas lebih lanjut, mari perhatikan Daftar Isi berikut.

Definisi Barisan

Barisan dalam himpunan adalah fungsi yang memiliki domain dan daerah hasil termuat dalam himpunan . Jika maka barisan itu disebut Barisan Bilangan Real.

Misalkan adalah sebuah barisan. Barisan ini dapat dinyatakan dengan notasi

Sebagai contoh, barisan dapat dinyatakan sebagai atau cukup dengan

Limit Barisan

Perhatikan barisan berikut.

Suku-suku barisan di atas menuju ke sebuah bilangan. Suku ke- adalah , suku ke- adalah , dan suku ke- adalah . Yah, suku-suku dari barisan ini menuju ke bilangan .

Bilangan yang dituju oleh suku-suku barisan ini disebut limit dari barisan . Namun, tidak semua barisan mempunyai nilai limit. Coba perhatikan barisan berikut.

Suku-suku pada barisan di atas terus membesar, tidak menuju ke suatu bilangan tertentu. Barisan semacam ini disebut barisan divergen. Lawannya adalah barisan konvergen, yaitu barisan yang mempunyai nilai limit.

Jika barisan mempunyai limit , maka kita gunakan notasi

Selain menggunakan definisi, limit barisan dapat dibuktikan dengan Teorema berikut.

Soal dan Pembahasan

Kita mulai dengan membuktikan ketunggalan nilai limit dari suatu barisan konvergen.