Beranda › Analisis Real
Beli buku analisis realBeli buku metode penelitianBeli buku kalkulus peubah banyak
KLIK GAMBAR UNTUK MEMBELI

Soal dan Pembahasan - Limit Barisan

Kirim Soal — Diperbarui 14 Oktober 2020

Istilah barisan bilangan telah diperkenalkan pada jenjang Sekolah Menengah. Pembaca tentu mengenal barisan berikut.

Secara berturut-turut, barisan ini dikenal dengan nama barisan aritmatika dan barisan geometri.

Sebenarnya, apa sih definisi barisan? Sebelum membahas lebih lanjut, mari perhatikan Daftar Isi berikut.

Definisi Barisan

Barisan dalam himpunan adalah fungsi yang memiliki domain dan daerah hasil termuat dalam himpunan . Jika maka barisan itu disebut Barisan Bilangan Real.

Definisi

Barisan bilangan real (atau barisan dalam ) adalah sebuah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli , di mana daerah hasilnya termuat dalam himpunan bilangan real .

Misalkan adalah sebuah barisan. Barisan ini dapat dinyatakan dengan notasi

Sebagai contoh, barisan dapat dinyatakan sebagai atau cukup dengan

Limit Barisan

Perhatikan barisan berikut.

Suku-suku barisan di atas menuju ke sebuah bilangan. Suku ke- adalah , suku ke- adalah , dan suku ke- adalah . Yah, suku-suku dari barisan ini menuju ke bilangan .

Bilangan yang dituju oleh suku-suku barisan ini disebut limit dari barisan . Namun, tidak semua barisan mempunyai nilai limit. Coba perhatikan barisan berikut.

Suku-suku pada barisan di atas terus membesar, tidak menuju ke suatu bilangan tertentu. Barisan semacam ini disebut barisan divergen. Lawannya adalah barisan konvergen, yaitu barisan yang mempunyai nilai limit.

Definisi

Sebuah barisan dalam disebut konvergen ke , dengan kata lain disebut limit dari barisan , jika untuk setiap terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap , berlaku

Jika barisan mempunyai limit , maka kita gunakan notasi

Selain menggunakan definisi, limit barisan dapat dibuktikan dengan Teorema berikut.

Teorema 1

Misalkan adalah barisan bilangan real dan . Jika adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke , dan untuk suatu konstanta dan berlaku maka .

Soal dan Pembahasan

Kita mulai dengan membuktikan ketunggalan nilai limit dari suatu barisan konvergen.

Nomor 1

Misalkan adalah barisan bilangan real yang konvergen. Buktikan bahwa limit dari bersifat tunggal.

Pembahasan

Loading...

Nomor 2

Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 3

Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 4

Misalkan . Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 5

Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 6

Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 7

Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 8

Gunakan definisi limit barisan untuk membuktikan

Pembahasan

Loading...

Nomor 9

Misalkan adalah barisan bilangan real dan . Misalkan pula adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke , dan untuk suatu konstanta dan berlaku Buktikan bahwa .

Pembahasan

Loading...

Nomor 10

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 11

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 12

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 13

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 14

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 15

Buktikan bahwa jika dan hanya jika .

Pembahasan

Loading...

Nomor 16

Buktikan bahwa jika untuk setiap dan maka .

Pembahasan

Loading...

Nomor 17

Diketahui dan . Buktikan bahwa terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap .

Pembahasan

Loading...

Nomor 18

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 19

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 20

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 21

Misalkan , di mana . Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 22

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 23

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 24

Buktikan bahwa

Pembahasan

Loading...

Nomor 25

Misalkan . Buktikan bahwa terdapat bilangan asli sedemikian sehingga jika , maka .

Pembahasan

Loading...