Soal dan Pembahasan - Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi merupakan salah satu operasi yang bisa diterapkan pada dua atau lebih fungsi. Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi, maka komposisi fungsi $f$ dan $g$ dituliskan sebagai $f \circ g$, dengan $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
Hal ini berarti, nilai $x$ kita masukkan pada fungsi $g$, lalu hasilnya kita masukkan pada fungsi $f$.
Karena output dari fungsi $g$ menjadi input pada fungsi $f$, maka tidak semua fungsi dapat dikomposisikan. Fungsi $f$ dan $g$ bisa dikomposisikan ($f \circ g$ terdefinisi), jika daerah hasil fungsi $g$ termuat dalam daerah asal fungsi $f$.
Soal dan Pembahasan
Berikut ini disajikan beberapa soal terkait komposisi fungsi, yang disertai dengan pembahasan.
Misalkan $f(x)=2x+5$. Tentukan hasil dari $f(3x-1)$.
Diketahui $$f(\textcolor{blue}{x}) = 2\textcolor{blue}{x}+5$$
Ganti setiap nilai $\textcolor{blue}{x}$ dengan $\textcolor{blue}{3x-1}$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} f(\textcolor{blue}{3x-1}) &= 2(\textcolor{blue}{3x-1}) + 5 \\ &= 6x-2+5 \\ &= 6x+3 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=4x-5$. Tentukan hasil dari $(f \circ g)(x)$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f( \textcolor{blue}{g(x)} ) \\ &= f( \textcolor{blue}{4x-5} ) \end{aligned}$$
Terlihat bahwa $\textcolor{blue}{4x-5}$ menjadi input pada fungsi $f$. Sehingga, kita mengganti setiap nilai $x$ pada definisi fungsi $f$ dengan $\textcolor{blue}{4x-5}$. Diperoleh $$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= 3(\textcolor{blue}{4x-5}) + 2 \\ &= 12x-15+2 \\ &= 12x-13 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=-2x+5$ dan $g(x)=3x-1$. Tentukan hasil dari $(f \circ g)(x)$.
Berdasarkan definisi komposisi fungsi, diperoleh $$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f( \textcolor{blue}{g(x)} ) \\ &= f( \textcolor{blue}{3x-1} ) \\ &= -2(\textcolor{blue}{3x-1}) + 5 \\ &= -6x+2+5 \\ &= -6x+7 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=5x-5$. Tentukan hasil dari $f(f(x))$.
Berdasarkan definisi komposisi fungsi, diperoleh $$\begin{aligned} f(f(x)) &= f(5x-5) \\ &= 5(5x-5)-5 \\ &= 25x-25-5 \\ &= 25x-30 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=2x-6$ dan $g(x)=3x-9$. Tentukan hasil dari $f(g(2))$ dan $g(f(2))$.
Pertama, kita akan menentukan $f(g(2))$.
Masukkan $2$ pada $g(x)$, sehingga diperoleh
$$g(2)=3 \cdot 2-9=6-9=-3$$
Akibatnya $$\begin{aligned} f( \textcolor{blue}{g(2)} ) &= f( \textcolor{blue}{-3} ) \\ &= 2 \cdot (\textcolor{blue}{-3})-6 \\ &= -6-6 \\ &= -12 \end{aligned}$$
Berikutnya, kita akan menentukan $g(f(2))$.
Masukkan $2$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh
$$f(2)=2 \cdot 2-6=4-6=-2$$
Akibatnya $$\begin{aligned} g( \textcolor{green}{f(2)} ) &= g( \textcolor{green}{-2} ) \\ &= 3 \cdot (\textcolor{green}{-2})-9 \\ &= -6-9 \\ &= -15 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=x+3$ dan $g(x)=3x+5$. Tentukan hasil dari $f(g(4))-g(f(4))$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} f(g(4)) &= f(17) \quad &[\text{karena }g(4)=17]\\ &= 17+3 \\ &= 20 \end{aligned}$$
dan $$\begin{aligned} g(f(4)) &= g(7) \quad &[\text{karena }f(4)=7]\\ &= 3 \cdot 7 +5 \\ &= 21+5 \\ &= 26 \end{aligned}$$
Dengan demikian, $$f(g(4))-g(f(4)) = 20-26=-6$$
Misalkan $f$ adalah fungsi, dengan $f(x)=3x+10$. Tentukan nilai $x$ sehingga $f(f(x))=x$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} f( \textcolor{blue}{f(x)}) &= f( \textcolor{blue}{3x+10} ) \\ &= 3(\textcolor{blue}{3x+10})+10 \\ &= 9x+30+10 \\ &= 9x+40 \end{aligned}$$
Diketahui $f(f(x))=x$, sehingga $$\begin{aligned} 9x+40 &= x \\ 9x-x &= -40 \\ 8x &= -40 \\ x &= \frac{-40}{8} \\ x &= -5 \end{aligned}$$
Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi $f(f(x))=x$ adalah $-5$.
Misalkan $f(x)=3+2x$ dan $g(f(x))=4x-5$. Tentukan nilai $g(7)$.
Diketahui $g( \textcolor{blue}{f(x)})=4x-5$. Untuk menentukan nilai $g(\textcolor{blue}{7})$, kita perlu mengetahui nilai $x$ yang memenuhi $\textcolor{blue}{f(x)=7}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} f(x) &= 7 \\ 3+2x &= 7 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned}$$
Dengan demikian, $$\begin{aligned} g(\textcolor{blue}{7}) &= g(\textcolor{blue}{f(2)}) \\ &= 4 \cdot 2-5 \\ &= 8-5 \\ &= 3 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=2x-3$ dan $g(f(x))=5-4x$. Tentukan nilai $g(4)$.
Pertama, kita tentukan nilai $x$ yang memenuhi $f(x)=4$. $$\begin{aligned} f(x) &= 4 \\ 2x-3 &= 4 \\ 2x &= 7 \\ x &= \frac{7}{2} \end{aligned}$$
Akibatnya $$\begin{aligned} g(4) &= g(f(7/2)) \\ &= 5-4 \cdot \frac{7}{2} \\ &= 5-14 \\ &= -9 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=3x-8$ dan $g(f(x))=2x^2+5x-3$. Tentukan nilai $g(-5)$
Pertama, kita tentukan nilai $x$ yang memenuhi $f(x)=-5$. $$\begin{aligned} f(x) &= -5 \\ 3x-8 &= -5 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \end{aligned}$$
Akibatnya $$\begin{aligned} g(-5) &= g(f(1)) \\ &= 2 \cdot 1^2+5\cdot 1-3 \\ &= 2+5-3 \\ &= 4 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=3-x$ dan $g(f(x))=x^2+2x-5$. Tentukan nilai $g(x)$.
Misalkan $f(x)=p$, sehingga $$p=3-x \quad \Longrightarrow \quad x=3-p \quad \ldots(1)$$
Substitusi persamaan $(1)$ pada $g(f(x))$. $$\begin{aligned} g(f(x)) &= x^2+2x-5 \\ g(p) &= (3-p)^2+2 \cdot (3-p)-5 \\ &= (9-6p+p^2)+(6-2p)-5 \\ &= p^2-8p+10 \end{aligned}$$
Dengan demikian, $g(x)=x^2-8x+10$.
Misalkan $f(g(x))=3x+3$ dan $f(x)=x+6$. Jika $g(x)=ax+b$, tentukan nilai $a+b$.
Masukkan $g(x)=ax+b$ pada $f(x)$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} f(g(x)) &= f(\textcolor{blue}{ax+b}) \\ 3x+3 &= \textcolor{blue}{ax+b} + 6 \\ 3x+3-6 &= ax+b \\ 3x-3 &= ax+b \end{aligned}$$
Agar kedua ruas bernilai sama, maka haruslah $a=3$ dan $b=-3$. Akibatnya $$a+b = 3+(-3) = 0$$
Jika $f(x)=2x$ dan $g(x)=x+1$, maka tentukan nilai dari $g(f(g(f(1))))$.
Kita mulai dengan menentukan nilai $f(1)$, lalu memasukkan hasilnya pada $g(x)$. $$\begin{aligned} g(f(g(f(1)))) &= g(f(g(2))) \quad &&[f(1)=2\cdot 1=2] \\ &= g(f(3)) &&[g(2)=2+1=3] \\ &= g(6) &&[f(3)=2\cdot 3=6] \\ &= 7 \end{aligned}$$
Misalkan $p(x)=2x-7$ dan $q(x)=3x-b$. Jika $p(q(4))=7$, maka tentukan nilai $b$.
Untuk $x=4$, diperoleh $$q(4)=3\cdot 4-b=12-b$$
Akibatnya $$\begin{aligned} p(q(4)) &= p(\textcolor{blue}{12-b}) \\ 7 &= 2(\textcolor{blue}{12-b})-7 \\ 7 &= 24-2b-7 \\ 7 &= 17-2b \\ 2b &= 17-7 \\ 2b &= 10 \\ b &= 5 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=x+5$. Tentukan hasil dari $f^{19}(8)$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} f^2(x) &= f(f(x)) = (x+5)+5=x+2\cdot 5 \\ f^\textcolor{red}{3}(x) &= f(f^2(x)) = (x+2 \cdot 5) + 5 = x + \textcolor{red}{3} \cdot 5 \\ f^\textcolor{red}{4}(x) &= f(f^3(x)) = (x+3\cdot 5) + 5 = x+\textcolor{red}{4} \cdot 5 \\ &\vdots \\ f^{\textcolor{red}{19}}(x) &= x+\textcolor{red}{19} \cdot 5 \end{aligned}$$
Untuk $x=8$, diperoleh $$f^{19}(8) = 8+19 \cdot 5=8+95=103$$
Jika $f(x)=ax^4-bx^2+x+5$ dan $f(-3)=2$, maka tentukan nilai $f(3)$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} f(-3) &= 2 \\ a\cdot(-3)^4-b \cdot(-3)^2+(-3)+5 &= 2 \\ a \cdot 3^4-b \cdot 3^2+2 &= 2 \\ \textcolor{blue}{a \cdot 3^4-b \cdot 3^2} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned}$$
Sehingga nilai $f(3)$ adalah $$\begin{aligned} f(3) &= \textcolor{blue}{a\cdot 3^4-b \cdot 3^2}+3+5 \\ &= \textcolor{blue}{0}+3+5 \\ &= 8 \end{aligned}$$
Misalkan $f(x)=3x^2-7$ dan $g(f(4))=9$. Tentukan nilai dari $g(f(-4))$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} f(-4) &= 3 \cdot (-4)^2-7 \\ &= 3\cdot 4^2-7 \\ &= f(4) \end{aligned}$$
Sehingga $$g(f(-4)) = g(f(4)) = 9$$
Misalkan $g(x)=2x-\frac{6}{x}$. Tentukan semua nilai $a$, sedemikian sehingga $g(a)=-4$.
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} g(a) &= -4 \\ 2a-\frac{6}{a} &= -4 \\ 2a^2-6 &= -4a \\ 2a^2+4a-6 &= 0 \\ a^2+2a-3 &= 0 \\ (a+3)(a-1) &= 0 \end{aligned}$$
Ada dua nilai $a$ yang memenuhi, yaitu $a=-3$ dan $a=1$.
Misalkan $f$ adalah fungsi yang didefinisikan sebagai $f(x)=ax^2-\sqrt{2}$ untuk suatu bilangan real positif $a$. Jika $f(f(\sqrt{2}))=-\sqrt{2}$, maka tentukan nilai $a$.
Perhatikan bahwa $$f(\sqrt{2}) = a(\sqrt{2})^2-\sqrt{2}=2a-\sqrt{2}$$
Sehingga $$\begin{aligned} f(f(\sqrt{2})) &= f(2a-\sqrt{2}) \\ &= a(2a-\sqrt{2})^2-\sqrt{2} \end{aligned}$$
Agar $f(f(\sqrt{2}))=-\sqrt{2}$, maka haruslah $$a(2a-\sqrt{2})^2 = 0$$
Diketahui $a$ bilangan real positif, sehingga $$\begin{aligned} (2a-\sqrt{2})^2 &= 0 \\ 2a-\sqrt{2} &= 0 \\ 2a &= \sqrt{2} \\ a &= \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{aligned}$$