9 Soal dan Pembahasan - Kombinasi Linear

Soal dan Pembahasan - Kombinasi Linear

Kategori: Aljabar Linear
Kirim Soal - Kombinasi Linear
Ekstensi File: .jpg, .png, atau .gif

Kombinasi Linear adalah bahasan yang penting dalam ruang vektor. Disebut penting, karena kombinasi linear digunakan dalam mendefinisikan istilah lain, seperti himpunan bebas linear dan himpunan yang merentang ruang vektor.

Definisi Kombinasi Linear

Sebelum membahas soal-soal, kita perlu mengetahui apa itu kombinasi linear.

Definisi

Misalkan adalah ruang vektor dan . Vektor disebut kombinasi linear dari , jika terdapat skalar sedemikian sehingga Skalar-skalar ini disebut koefisien dari kombinasi linear.

Soal dan Pembahasan

Nomor 1

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua vektor di , diperoleh

Dari persamaan ketiga, diperoleh . Substitusi ke persamaan kedua, sehingga

Dapat diperiksa bahwa dan juga memenuhi persamaan pertama.

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari dan , di mana

Nomor 2

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua vektor di , diperoleh

Substitusi ke persamaan ketiga, sehingga

Dapat diperiksa bahwa dan tidak memenuhi persamaan kedua. Artinya, sistem persamaan di atas tidak mempunyai solusi.

Dengan demikian, bukan kombinasi linear dari dan .

Nomor 3

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari , , dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar , , dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua vektor di , diperoleh

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

dengan bentuk eselon baris tereduksi

Dari matriks di atas, diperoleh solusi , , dan .

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari , , dan , di mana

Nomor 4

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari , , dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar , , dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua vektor di , diperoleh

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

dengan bentuk eselon baris

Pada baris terakhir, diperoleh . Akibatnya, sistem persamaan di atas tidak mempunyai solusi.

Dengan demikian, bukan kombinasi linear dari , , dan .

Nomor 5

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari , , dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar , , dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

dengan bentuk eselon baris tereduksi

Dari matriks di atas, diperoleh solusi , , dan .

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari , , dan , di mana

Nomor 6

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari , , dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar , , dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

dengan bentuk eselon baris tereduksi

Dari matriks di atas, diperoleh solusi , , dan .

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari , , dan , di mana

Nomor 7

Misalkan Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari , , dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar , , dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

dengan bentuk eselon baris tereduksi

Dari matriks di atas, diperoleh solusi , , dan .

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari , , dan , di mana

Nomor 8

Misalkan Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari , , dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar , , dan yang memenuhi , yaitu

Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

dengan bentuk eselon baris tereduksi

Dari matriks di atas, diperoleh solusi , , dan .

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari , , dan , di mana

Nomor 9

Periksa apakah merupakan kombinasi linear dari dan .

Pembahasan

Perlu diperiksa apakah terdapat skalar dan yang memenuhi , yaitu

Ruas kiri dapat ditulis sebagai , sehingga kedua ruas bernilai sama jika

Karena , maka

Dengan demikian, adalah kombinasi linear dari dan , di mana