Pembahasan Soal - Diagonalisasi Matriks

Diperbarui 19 Mei 2022 — 8 Soal

Diagonalisasi matriks merupakan sebuah prosedur untuk mengubah matriks persegi $A$ menjadi matriks diagonal $D$, dengan memanfaatkan matriks non singular $P$. Diagonalisasi matriks ini dapat digunakan ketika menghitung pangkat dari sebuah matriks. Terlebih jika pangkatnya lumayan besar, sehingga sulit jika dihitung secara manual.

Langkah-langkah Diagonalisasi Matriks

Mari memulai dengan definisi.

Definisi

Matriks persegi $A$ dapat didiagonalkan jika terdapat matriks non singular $P$ sedemikian sehingga $P^{-1}AP$ adalah matriks diagonal.

Sebelum belajar mengenai langkah-langkah diagonalisasi matriks, pastikan teman-teman mengingat materi nilai eigen. Begitupun cara menentukan basis dari ruang eigen.

Langkah-langkah diagonalisasi matriks akan dijelaskan melalui sebuah contoh soal. Misalnya, kita akan mendiagonalkan matriks berikut. $$A=\begin{bmatrix} 4&0&1\\ 2&3&2\\ 1&0&4 \end{bmatrix}$$

Langkah 1. Tentukan persamaan karakteristik dan nilai eigen dari $A$.

Polinomial karakteristik dari matriks $A$ adalah $$\text{det}(A-\lambda I) =\left|\begin{matrix}4-\lambda&0&1\\2&3-\lambda&2\\1&0&4-\lambda\end{matrix}\right| = (3-\lambda)^2 \;(5-\lambda)$$ sehingga persamaan karakteristiknya $$(3-\lambda)^2 \;(5-\lambda)=0$$

Solusi dari persamaan ini merupakan nilai eigen matriks $A$, yaitu $\lambda = 3$ dan $\lambda = 5$.

Langkah 2. Tentukan basis ruang eigen, untuk setiap nilai eigen yang diperoleh.

Kita mulai dengan ruang eigen yang bersesuaian dengan $\lambda = 3$, sebutlah $E_1$. Matriks koefisien dari $(A-3I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-3I = \begin{bmatrix}1&0&1\\2&0&2\\1&0&1\end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_1+x_3=0 \quad \Longrightarrow \quad x_1=-x_3$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-x_3\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-x_3\\0\\x_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\x_2\\0\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_1$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$$

Berikutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen $E_2$ yang bersesuaian dengan $\lambda = 5$. Matriks koefisien dari $(A-5I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-5I = \begin{bmatrix}-1&0&1\\2&-2&2\\1&0&-1\end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-2\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$\begin{aligned} x_1-x_3 =0 \quad &\Longrightarrow \quad x_1=x_3 \\[3pt] x_2-2x_3 =0 \quad &\Longrightarrow \quad x_2=2x_3 \end{aligned}$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_3\\2x_3\\x_3\end{bmatrix} = x_3\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix} \end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_2$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\right\}$$

Langkah 3. Bentuk matriks singular $P$ dari vektor basis yang diperoleh.

Pada langkah sebelumnya, diperoleh vektor-vektor basis $$\textbf{v}_1=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}, \textbf{v}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \textbf{v}_3=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$$

Karena ada tiga vektor basis (sesuai dengan ordo matriks $A$), maka matriks $A$ dapat didiagonalkan. Vektor ini akan menjadi kolom dari matriks $P$, sehingga $$P = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{-1}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{blue}{1}\\ \textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{1}&\textcolor{blue}{2}\\ \textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{blue}{1} \end{bmatrix}$$

Langkah 4. Bentuk matriks diagonal $D$ dari nilai eigen yang diperoleh.

Matriks $A$ memiliki dua nilai eigen, yaitu $3$ dan $5$. Nilai ini kita masukkan sebagai entri pada diagonal utama matriks $D$.

Namun perlu diperhatikan, urutannya harus sesuai dengan vektor basis pada matriks $P$. Karena $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2$ bersesuaian dengan nilai eigen $3$ dan $\textbf{v}_3$ bersesuaian dengan nilai eigen $5$, maka $$D=\begin{bmatrix} \textcolor{red}{3}&0&0\\ 0&\textcolor{red}{3}&0\\ 0&0&\textcolor{blue}{5} \end{bmatrix}$$

Dengan demikian, matriks $A$ dapat didiagonalkan, dimana $$P=\begin{bmatrix}-1&0&1\\0&1&2\\1&0&1\end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad D=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{bmatrix}$$ adalah matriks yang memenuhi $P^{-1}AP=D$

Teorema Terkait Diagonalisasi Matriks

Teorema 1

Misalkan $A$ adalah matriks $n \times n$. Jika $A$ memiliki $n$ nilai eigen berbeda maka $A$ dapat didiagonalkan.

Teorema ini berguna dalam memeriksa apakah sebuah matriks dapat didiagonalkan atau tidak. Untuk menentukan matriks $P$, kita tetap mengikuti langkah-langkah pada bagian sebelumnya, yaitu dengan menentukan basis ruang eigen.

Teorema berikutnya berkaitan dengan multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri. Multiplisitas aljabar dari nilai eigen $\lambda_0$ adalah banyaknya kemunculan $\lambda-\lambda_0$ sebagai faktor pada polinomial karakteristik. Sedangkan multiplisitas geometri adalah dimensi ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen $\lambda_0$.

Teorema 2

Misalkan $A$ adalah matriks $n \times n$. Untuk setiap nilai eigen matriks $A$, multiplisitas geometri kurang dari atau sama dengan multiplisitas aljabar.

Teorema 3

Misalkan $A$ adalah matriks $n \times n$. Matriks $A$ dapat didiagonalkan jika dan hanya jika multiplisitas geometri dari setiap nilai eigen sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Teorema ini dapat meringankan kita dalam memeriksa apakah suatu matriks dapat didiagonalkan. Sebagai ilustrasi, misalkan kita punya matriks $A$ dengan tiga nilai eigen. Jika nilai eigen pertama mempunyai multiplisitas geometri yang kurang dari multiplisitas aljabar, maka berdasarkan teorema di atas matriks $A$ tidak dapat didiagonalkan. Kita tidak perlu memeriksa dua nilai eigen lainnya.

Sebagai tambahan, untuk menentukan multiplisitas geometri dari nilai eigen $\lambda$, kita tidak perlu menentukan basis dari ruang eigen terlebih dahulu. Cara yang lebih sederhana adalah dengan menentukan rank matriks $A-\lambda I$, lalu menggunakannya untuk menghitung nulitas, yang merupakan multiplitas geometri dari nilai eigen $\lambda$.

Contoh Soal Diagonalisasi Matriks

✶ Nomor 1

Tentukan matriks $P$ yang mendiagonalkan matriks berikut. $$A=\begin{bmatrix} 1&6\\0&-1 \end{bmatrix}$$

Langkah 1. Matriks $A$ merupakan matriks segitiga atas, sehingga nilai eigennya adalah entri-entri pada diagonal utama, yaitu $1$ dan $-1$.

Langkah 2. Berikutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen. Kita mulai dari ruang eigen $E_1$ yang bersesuaian dengan $\lambda = 1$. Matriks koefisien dari $(A-1I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-1I=\begin{bmatrix} 0&6\\0&-2 \end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 0&1\\0&0 \end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_2=0$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1\\0\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix} \end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_1$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right\}$$

Selanjutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen $E_2$ yang bersesuaian dengan $\lambda=-1$. Matriks koefisien dari $(A+1I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A+1I=\begin{bmatrix} 2&6\\0&0 \end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 1&3\\0&0 \end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_1+3x_2=0 \quad \Longrightarrow \quad x_1=-3x_2$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3x_2\\x_2\end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix}-3\\1\\\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_2$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}\right\}$$

Langkah 3. Pada langkah sebelumnya, diperoleh vektor-vektor basis $$\textbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \textbf{v}_2=\begin{bmatrix}-3\\1\end{bmatrix}$$

Karena ada dua vektor basis (sesuai dengan ordo matriks $A$), maka matriks $A$ dapat didiagonalkan. Vektor ini akan menjadi kolom dari matriks $P$, sehingga $$P = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1}&\textcolor{blue}{-3}\\ \textcolor{red}{0}&\textcolor{blue}{1} \end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 2

Tentukan matriks $P$ yang mendiagonalkan matriks berikut. $$A=\begin{bmatrix} -14&12\\-20&17 \end{bmatrix}$$

Langkah 1. Polinomial karakteristik dari matriks $A$ adalah $$\begin{aligned} \text{det}(A-\lambda I) &= \left|\begin{matrix}-14-\lambda&12\\-20&17-\lambda\end{matrix}\right| \\[3pt] &= (-14-\lambda)(17-\lambda)-(-20)\cdot 12 \\[3pt] &= -238+14\lambda-17\lambda+\lambda^2+240 \\[3pt] &= \lambda^2-3\lambda+2 \\[3pt] &= (\lambda-1)(\lambda-2) \end{aligned}$$ sehingga persamaan karakteristiknya $$(\lambda-1)\;(\lambda-2)=0$$

Solusi dari persamaan ini merupakan nilai eigen matriks $A$, yaitu $\lambda = 1$ dan $\lambda = 2$.

Langkah 2. Berikutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen. Kita mulai dari ruang eigen $E_1$ yang bersesuaian dengan $\lambda = 1$. Matriks koefisien dari $(A-1I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-1I=\begin{bmatrix} -15&12\\-20&16 \end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 1&-4/5\\0&0 \end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_1-\frac{4}{5}x_2=0 \quad \Longrightarrow \quad x_1=\frac{4}{5}x_2$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{4}{5}x_2\\[2pt]x_2\end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix}\dfrac{4}{5}\\[2pt]1\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_1$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}\dfrac{4}{5}\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}$$

Selanjutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen $E_2$ yang bersesuaian dengan $\lambda=2$. Matriks koefisien dari $(A-2I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-2I=\begin{bmatrix} -16&12\\-20&15 \end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 1&-3/4\\0&0 \end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_1-\dfrac{3}{4}x_2=0 \quad \Longrightarrow \quad x_1=\dfrac{3}{4}x_2$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{3}{4}x_2\\[2pt]x_2\end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix}\dfrac{3}{4}\\[2pt]1\\\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_2$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}\dfrac{3}{4}\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}$$

Langkah 3. Pada langkah sebelumnya, diperoleh vektor-vektor basis $$\textbf{v}_1=\begin{bmatrix}\dfrac{4}{5}\\[2pt]0\end{bmatrix}, \textbf{v}_2=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{4}\\[2pt]1\end{bmatrix}$$

Karena ada dua vektor basis (sesuai dengan ordo matriks $A$), maka matriks $A$ dapat didiagonalkan. Vektor ini akan menjadi kolom dari matriks $P$, sehingga $$P = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{\dfrac{4}{5}}&\textcolor{blue}{\dfrac{3}{4}}\\[2pt] \textcolor{red}{0}&\textcolor{blue}{1} \end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 3

Diketahui matriks $$A=\begin{bmatrix} 2&0&-2\\0&3&0\\0&0&3 \end{bmatrix}$$ Tentukan matriks $P$ dan $D$ sedemikian sehingga $P^{-1}AP=D$.

Langkah 1. Matriks $A$ merupakan matriks segitiga atas, sehingga nilai eigennya adalah entri-entri pada diagonal utama, yaitu $2$ dan $3$.

Langkah 2. Berikutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen. Kita mulai dari ruang eigen $E_1$ yang bersesuaian dengan $\lambda = 2$. Matriks koefisien dari $(A-2I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-2I=\begin{bmatrix} 0&0&-2\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_2=0 \quad \text{dan} \quad x_3=0$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1\\0\\0\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix} \end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_1$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right\}$$

Selanjutnya, kita akan menentukan basis ruang eigen $E_2$ yang bersesuaian dengan $\lambda=3$. Matriks koefisien dari $(A-3I)\textbf{x}=\textbf{0}$ adalah $$A-3I=\begin{bmatrix} -1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}$$ yang dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 1&0&2\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}$$

Dari matriks di atas diperoleh $$x_1+2x_3=0 \quad \Longrightarrow \quad x_1=-2x_3$$ sehingga $$\begin{aligned} \textbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2x_3\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\x_2\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2x_3\\0\\x_3\end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Akibatnya, basis dari ruang eigen $E_2$ adalah $$\left\{ \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$$

Langkah 3. Pada langkah sebelumnya, diperoleh vektor-vektor basis $$\textbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \textbf{v}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \textbf{v}_3=\begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix}$$

Karena ada tiga vektor basis (sesuai dengan ordo matriks $A$), maka matriks $A$ dapat didiagonalkan. Vektor ini akan menjadi kolom dari matriks $P$, sehingga $$P = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1}&\textcolor{blue}{0}&\textcolor{blue}{-2}\\ \textcolor{red}{0}&\textcolor{blue}{1}&\textcolor{blue}{0}\\ \textcolor{red}{0}&\textcolor{blue}{0}&\textcolor{blue}{1} \end{bmatrix}$$

Langkah 4. Matriks $A$ memiliki dua nilai eigen, yaitu $2$ dan $3$. Nilai ini kita masukkan sebagai entri pada diagonal utama matriks $D$, sesuai dengan urutan vektor basis pada langkah 3. $$D=\begin{bmatrix} \textcolor{red}{2}&0&0\\ 0&\textcolor{blue}{3}&0\\ 0&0&\textcolor{blue}{3} \end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 4

Periksa apakah matriks berikut dapat didiagonalkan. $$A=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&1\\0&1&1 \end{bmatrix}$$

Polinomial karakteristik dari matriks $A$ adalah $$\begin{aligned} \text{det}(A-\lambda I) &= \left|\begin{matrix}1-\lambda&0&0\\0&1-\lambda&1\\0&1&1-\lambda\end{matrix}\right| \\[3pt] &= (1-\lambda)\;[\:(1-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot 1\:] \\[3pt] &= (1-\lambda)\;(1-2\lambda+\lambda^2-1) \\[3pt] &= (1-\lambda)\;(\lambda^2-2\lambda) \\[3pt] &= \lambda\;(1-\lambda)\;(\lambda-2) \end{aligned}$$ sehingga persamaan karakteristiknya $$\lambda\;(1-\lambda)\;(\lambda-2)=0$$

Solusi dari persamaan ini merupakan nilai eigen matriks $A$, yaitu $\lambda = 0$, $\lambda = 1$, dan $\lambda = 2$. Karena $A$ memiliki tiga nilai eigen berbeda, maka berdasarkan Teorema 1, matriks $A$ dapat didiagonalkan.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Periksa apakah matriks berikut dapat didiagonalkan. $$A=\begin{bmatrix} 3&0&0\\0&2&1\\0&1&2 \end{bmatrix}$$

Polinomial karakteristik dari matriks $A$ adalah $$\begin{aligned} \text{det}(A-\lambda I) &= \left|\begin{matrix}3-\lambda&0&0\\0&2-\lambda&1\\0&1&2-\lambda\end{matrix}\right| \\[2pt] &= (3-\lambda)\;[\:(2-\lambda)^2-1^2\:] \\[2pt] &= (3-\lambda)\;[\:(2-\lambda+1)\;(2-\lambda-1)\:] \\[2pt] &= (3-\lambda)\;(3-\lambda)\;(1-\lambda) \\[2pt] &= (3-\lambda)^2\;(1-\lambda) \end{aligned}$$ sehingga persamaan karakteristiknya $$(3-\lambda)^2\;(1-\lambda)=0$$

Solusi dari persamaan ini merupakan nilai eigen matriks $A$, yaitu $\lambda = 3$ dan $\lambda = 1$.

Pada soal ini, kita hanya ingin memeriksa apakah matriks $A$ dapat didiagonalkan atau tidak. Karena itu, kita tidak perlu menentukan basis dari kedua ruang eigen. Kita bisa memanfaatkan Teorema 3.

Pertama, kita akan meninjau nilai eigen $\lambda=3$ yang mempunyai multiplisitas aljabar $2$. Perhatikan matriks $$A-3I=\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&-1&1\\0&1&-1 \end{bmatrix}$$

Matriks ini dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 0&1&-1\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}$$ sehingga mempunyai rank $1$ dan nulitas $3-1=2$. Akibatnya, $\lambda=3$ mempunyai multiplisitas geometri $2$.

Berikutnya, kita akan meninjau nilai eigen $\lambda=1$. Multiplisitas aljabar dari nilai eigen ini adalah $1$, sehingga multiplisitas geometrinya juga $1$. Karena multiplisitas geometri dari setiap nilai eigen sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka berdasarkan Teorema $3$, matriks $A$ dapat didiagonalkan.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Periksa apakah matriks berikut dapat didiagonalkan. $$A=\begin{bmatrix} 3&0&0\\0&2&0\\0&1&2 \end{bmatrix}$$

Matriks $A$ merupakan matriks segitiga bawah, sehingga nilai eigennya adalah entri-entri pada diagonal utama, yaitu $2$ dan $3$.

Kita akan meninjau nilai eigen $\lambda=2$ yang mempunyai multiplisitas aljabar $2$. Perhatikan matriks $$A-2I=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&1&0 \end{bmatrix}$$

Matriks ini dapat direduksi menjadi $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}$$ sehingga mempunyai rank $2$ dan nulitas $3-2=1$. Akibatnya, $\lambda=2$ mempunyai multiplisitas geometri $1$.

Karena terdapat nilai eigen dengan multiplisitas geometri kurang dari multiplisitas aljabar, maka berdasarkan Teorema $3$, matriks $A$ tidak dapat didiagonalkan.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Tentukan hasil dari $A^{100}$ jika diketahui $$A=\begin{bmatrix} 1&-2&8\\0&-1&0\\0&0&-1 \end{bmatrix}$$

Matriks $A$ dapat didiagonalkan (periksa!) dengan $$D=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ,\quad P=\begin{bmatrix}1&-4&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix} ,\quad P^{-1}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&-1&4\end{bmatrix}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} P^{-1}AP &= D \\[3pt] (P^{-1}AP)^{100} &= D^{100} \\[3pt] P^{-1}A^{100}P &= D^{100} \\[3pt] A^{100} &= PD^{100}P^{-1} \end{aligned}$$

Akibatnya $$\begin{aligned} A^{100} &= \begin{bmatrix}1&-4&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}^{100}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&-1&4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}1&-4&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&-1&4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}1&-4&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&-1&4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 8

Misalkan $$A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}$$ Jika $(a-d)^2+4bc>0$, maka buktikan bahwa $A$ dapat didiagonalkan.

Polinomial karakteristik dari matriks $A$ adalah $$\begin{aligned} \text{det}(A-\lambda I) &= \left|\begin{matrix}a-\lambda&b\\c&d-\lambda\end{matrix}\right| \\[3pt] &= (a-\lambda)(d-\lambda)-bc \\[3pt] &= \lambda^2-a\lambda-d\lambda+ad-bc \\[3pt] &= \lambda^2+(-a-d)\lambda+(ad-bc) \end{aligned}$$

Diperoleh fungsi kuadrat dalam variabel $\lambda$, dengan determinan $$\begin{aligned} D &= (-a-d)^2-4\cdot 1 \cdot (ad-bc) \\[2pt] &= (a^2+d^2+2ad)-4ad+4bc \\[2pt] &= (a^2+d^2-2ad)+4bc \\[2pt] &= (a-d)^2+4bc \end{aligned}$$

Karena $D=(a-d)^2+4bc>0$, maka terdapat dua akar real berbeda. Dengan kata lain, matriks $A$ mempunyai dua nilai eigen berbeda. Berdasarkan teorema 3, matriks $A$ dapat didiagonalkan. Terbukti.

Pembahasan