Soal dan Pembahasan - Deret Teleskopik

Diperbarui 26 April 2022 — 16 Soal

Deret teleskopik adalah sebuah deret yang suku-sukunya dapat diubah menjadi bentuk tertentu, sehingga terjadi pencoretan secara massal. Soal-soal mengenai deret teleskopik sering muncul dalam berbagai kompetisi matematika. Jadi, bagi teman-teman yang ingin mengikuti kompetisi matematika, wajib memahami materi ini dan berlatih menyelesaikan soal-soalnya.

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai deret teleskopik, mari perhatikan daftar isi berikut.

Apa itu Deret Teleskopik?

Deret teleskopik merupakan sebuah deret yang suku-sukunya dapat diubah menjadi bentuk tertentu, sehingga terjadi pencoretan secara massal. Untuk memperoleh gambaran terkait hal ini, perhatikan deret berikut. $$(-1+2)+(-2+3)+(-3+4)+(-4+5)+(-5+6)$$

Deret ini dapat kita tulis ulang menjadi $$-1+\textcolor{red}{(2-2)+(3-3)+(4-4)+(5-5)}+6=-1+6=5$$

Pada uraian di atas, terlihat bahwa $+2$ pada suku pertama dapat dicoret dengan $-2$ pada suku kedua, karena hasil penjumlahannya adalah $0$. Hal yang sama terjadi pada $+3$ pada suku kedua dengan $-3$ pada suku ketiga.

Hal ini terus berlanjut, hingga menyisakan $-1$ dan $+6$, yang tidak mempunyai pasangan pada suku lainnya. Dengan demikian, diperoleh hasil penjumlahan $-1+6=5$.

Beberapa deret mempunyai bentuk yang sederhana, sehingga bagian yang bisa dicoret terlihat dengan jelas. Namun, ada banyak deret yang tidak demikian, sehingga bentuknya perlu diubah terlebih dahulu. Sebagai contoh, perhatikan deret berikut. $$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}$$

Bagian yang bisa dicoret masih belum terlihat, sehingga perlu dilakukan manipulasi aljabar terhadap suku-sukunya. Berdasarkan sifat $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$ deret tersebut bisa dituliskan sebagai $$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)$$

Setelah melakukan pencoretan, akan tersisa $$\frac{1}{1}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$

Sifat-sifat lain yang sering digunakan, akan kita bahas pada bagian berikutnya.

Beberapa Sifat yang Sering Digunakan

Berikut adalah beberapa sifat yang sering digunakan dalam penyelesaian soal terkait deret teleskopik.

Sifat 1

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

Sifat 2

$$\frac{1}{k(k+m)}=\frac{1}{m} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+m} \right)$$

Sifat 3

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$$

Soal dan Pembahasan

✶ Nomor 1

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5}+\frac{1}{5 \times 6}+\frac{1}{6 \times 7}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5}+\frac{1}{5 \times 6}+\frac{1}{6 \times 7} \\[5pt] &= \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6}-\frac{1}{7} \right) \\[5pt] &= \frac{1}{3}-\frac{1}{7} \\[5pt] &= \frac{4}{21} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 2

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\ldots+\frac{1}{2021 \times 2022}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\ldots+\frac{1}{2021 \times 2022} \\[5pt] &= \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right) +\ldots+ \left( \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \right) \\[5pt] &= \frac{1}{1}-\frac{1}{2022} \\[5pt] &= \frac{2021}{2022} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 3

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\frac{1}{7 \times 9}+\frac{1}{9 \times 11}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right)$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\frac{1}{7 \times 9}+\frac{1}{9 \times 11} \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right)+\frac{1}{2} \left( \frac{1}{5}-\frac{1}{7} \right)+\frac{1}{2} \left( \frac{1}{7}-\frac{1}{9} \right)+\frac{1}{2} \left( \frac{1}{9}-\frac{1}{11} \right) \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{7} \right)+\left( \frac{1}{7}-\frac{1}{9} \right)+\left( \frac{1}{9}-\frac{1}{11} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}-\frac{1}{11} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times \frac{8}{33} \\[5pt] &= \frac{4}{33} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 4

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{2 \times 4}+\frac{1}{4 \times 6}+\frac{1}{6 \times 8}+\ldots+\frac{1}{2020 \times 2022}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right)$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{2 \times 4}+\frac{1}{4 \times 6}+\frac{1}{6 \times 8}+\ldots+\frac{1}{2020 \times 2022} \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{8} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{2020}-\frac{1}{2022} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{2022} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times \frac{1010}{2022} \\[5pt] &= \frac{505}{2022} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 5

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\ldots+\frac{1}{575}$$

Bentuk di atas dapat dituliskan sebagai $$\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\ldots+\frac{1}{23 \times 25}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right)$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\ldots+\frac{1}{23 \times 25} \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{7} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{23}-\frac{1}{25} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1}-\frac{1}{25} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times \frac{24}{25} \\[5pt] &= \frac{12}{25} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 6

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{4}+\frac{1}{28}+\frac{1}{70}+\ldots+\frac{1}{9700}$$

Bentuk di atas dapat dituliskan sebagai $$\frac{1}{1 \times 4}+\frac{1}{4 \times 7}+\frac{1}{7 \times 10}+\ldots+\frac{1}{97 \times 100}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{1 \times 4}+\frac{1}{4 \times 7}+\frac{1}{7 \times 10}+\ldots+\frac{1}{97 \times 100} \\[5pt] &= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+\left( \frac{1}{7}-\frac{1}{10} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{97}-\frac{1}{100} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{1}-\frac{1}{100} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{3} \times \frac{99}{100} \\[5pt] &= \frac{33}{100} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 7

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{1\times2\times3}+\frac{1}{2\times3\times4}+\frac{1}{3\times4\times5}+\ldots+\frac{1}{19\times20\times21}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right]$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{1\times2\times3}+\frac{1}{2\times3\times4}+\frac{1}{3\times4\times5}+\ldots+\frac{1}{19\times20\times21} \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times3} \right)+\left( \frac{1}{2\times3}-\frac{1}{3\times4} \right)+\left( \frac{1}{3\times4}-\frac{1}{4\times5} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{19\times20}-\frac{1}{20\times21} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1\times2}-\frac{1}{20\times21} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times \frac{209}{420} \\[5pt] &= \frac{209}{840} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 8

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{2\times4\times6}+\frac{1}{4\times6\times8}+\frac{1}{6\times8\times10}+\ldots+\frac{1}{18\times20\times22}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{1}{k(k+2)(k+4)} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{k(k+2)}-\frac{1}{(k+2)(k+4)} \right]$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{2\times4\times6}+\frac{1}{4\times6\times8}+\frac{1}{6\times8\times10}+\ldots+\frac{1}{18\times20\times22} \\[5pt] &= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{2\times4}-\frac{1}{4\times6} \right)+\left( \frac{1}{4\times6}-\frac{1}{6\times8} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{18\times20}-\frac{1}{20\times22} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2\times4}-\frac{1}{20\times22} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{4} \times \frac{54}{440} \\[5pt] &= \frac{27}{880} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 9

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{1\times2\times4}+\frac{1}{2\times4\times5}+\frac{1}{4\times5\times7}+\ldots+\frac{1}{37\times38\times40}$$

Perhatikan bahwa $$\textcolor{red}{\frac{1}{k(k+1)(k+3)} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+3)} \right]}$$ dan $$\textcolor{blue}{\frac{1}{m(m+2)(m+3)} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{m(m+2)}-\frac{1}{(m+2)(m+3)} \right]}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{1\times2\times4}+\frac{1}{2\times4\times5}+\frac{1}{4\times5\times7}+\ldots+\frac{1}{37\times38\times40} \\[5pt] &= \textcolor{red}{\frac{1}{3} \left( \frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times4} \right)}+\textcolor{blue}{\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2\times4}-\frac{1}{4\times5} \right)}+\ldots+\textcolor{red}{\frac{1}{3} \left( \frac{1}{37\times38}-\frac{1}{38\times40} \right)} \\[5pt] &= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times4} \right)+\left( \frac{1}{2\times4}-\frac{1}{4\times5} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{37\times38}-\frac{1}{38\times40} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{1\times2}-\frac{1}{38\times40} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{3} \times \frac{759}{1520} \\[5pt] &= \frac{253}{1520} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 10

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{5^2-1}+\frac{1}{7^2-1}+\frac{1}{9^2-1}+\ldots+\frac{1}{2019^2-1}$$

Berdasarkan identitas aljabar $$k^2-1=(k-1)(k+1)$$

Diperoleh $$\begin{aligned} &\frac{1}{5^2-1}+\frac{1}{7^2-1}+\frac{1}{9^2-1}+\ldots+\frac{1}{2019^2-1}\\[5pt] &= \frac{1}{4\times6}+\frac{1}{6\times8}+\frac{1}{8\times10}+\ldots+\frac{1}{2018\times2020}\\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{8} \right)+\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{10} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{2018}-\frac{1}{2020} \right) \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4}-\frac{1}{2020} \right] \\[5pt] &= \frac{1}{2} \times \frac{126}{505} \\[5pt] &= \frac{63}{505} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 11

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+2021}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{1}{1+2+3+\ldots+n} &= \frac{1}{n(n+1)/2} \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \\ &= 2\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ \end{aligned}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+2021}\\[5pt] &= 2\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+2\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+2\left( \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \right) \\[5pt] &= 2 \left[ \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \right) \right] \\[5pt] &= 2 \left[ \frac{1}{1}-\frac{1}{2022} \right] \\[5pt] &= 2 \times \frac{2021}{2022} \\[5pt] &= \frac{2021}{1011} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 12

Tentukan hasil dari $$\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021} \right)\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2022} \right)-\left( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021} \right)\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2022} \right)$$

Misalkan $$\begin{aligned} p &= \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021} \\[5pt] q &= \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2022} \end{aligned}$$

Sehingga ekspresi dalam soal dapat ditulis sebagai $$\begin{aligned} \textcolor{red}{p(1+q)}\textcolor{blue}{-(1+p)q} &= \textcolor{red}{p+pq}\textcolor{blue}{-q-pq} \\ &= p-q \end{aligned}$$

Substitusi nilai $p$ dan $q$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} p-q &= \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021} \right)-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2022} \right) \\[5pt] &= -\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{2021}-\frac{1}{2021} \right)+\frac{1}{2022} \\[5pt] &= -\frac{1}{2}+\frac{1}{2022} \\[5pt] &= -\frac{505}{1011} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 13

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{\sqrt1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} &= \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}} \\[5pt] &= \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{-1} \\[5pt] &= -\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \end{aligned}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\\[5pt] &= (-\sqrt{1}+\sqrt{2})+(-\sqrt{2}+\sqrt{3})+(-\sqrt{3}+\sqrt{4})+\ldots+(-\sqrt{2024}+\sqrt{2025}) \\[5pt] &= -\sqrt{1}+\sqrt{2025} \\[5pt] &= -1+45 \\[5pt] &= 44 \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 14

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{\sqrt1+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{10}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1021}+\sqrt{1024}}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+3}} &= \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+3}} \times \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+3}} \\[5pt] &= \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+3}}{-3} \\[5pt] &= \frac{1}{3} (-\sqrt{n}+\sqrt{n+3}) \end{aligned}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt1+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{10}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1021}+\sqrt{1024}}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\left[(-\sqrt{1}+\sqrt{4})+(-\sqrt{4}+\sqrt{7})+(-\sqrt{7}+\sqrt{10})+\ldots+(-\sqrt{1021}+\sqrt{1024})\right] \\[5pt] &= \frac{1}{3} (-\sqrt{1}+\sqrt{1024}) \\[5pt] &= \frac{1}{3} (-1+32) \\[5pt] &= \frac{31}{3} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 15

Tentukan hasil dari $$\frac{1}{2\sqrt1+1\sqrt2}+\frac{1}{3\sqrt2+2\sqrt3}+\ldots+\frac{1}{1024\sqrt{1023}+1023\sqrt{1024}}$$

Setiap suku dapat ditulis dalam bentuk $$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} &= \frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} \times \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}} \\[5pt] &= \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{(k+1)^2k-k^2(k+1)} \\[5pt] &= \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} \\[5pt] &= \frac{\sqrt{k}}{k}-\frac{\sqrt{k+1}}{k+1} \\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{aligned}$$

Sehingga $$\begin{aligned} &\frac{1}{2\sqrt1+1\sqrt2}+\frac{1}{3\sqrt2+2\sqrt3}+\ldots+\frac{1}{1024\sqrt{1023}+1023\sqrt{1024}}\\[5pt] &= \left( \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{\sqrt{1023}}-\frac{1}{\sqrt{1024}} \right) \\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{1024}} \\[5pt] &= \frac{1}{1}-\frac{1}{32} \\[5pt] &= \frac{31}{32} \end{aligned}$$

Pembahasan
✶ Nomor 16

Diketahui $$S=\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+ \ldots+\frac{200}{1+200^2+200^4}$$

Nilai dari $80402 \times S$ adalah ...

Setiap suku dari $S$ dapat ditulis dalam bentuk $$\frac{a}{1+a^2+a^4}$$

Perhatikan bahwa $$\frac{a}{1+a^2+a^4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a^2-a+1}-\frac{1}{a^2+a+1} \right)$$

Sehingga $$\begin{aligned} S &= \frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+ \ldots+\frac{200}{1+200^2+200^4} \\[2pt] &= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{39801}-\frac{1}{40201} \right)\right] \\[2pt] &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1}-\frac{1}{40201} \right] \end{aligned}$$

Dengan demikian $$\begin{aligned} 80402 \times S &= 80402 \times \frac{1}{2} \left[ 1-\frac{1}{40201} \right] \\[2pt] &= 40201 \left[ 1-\frac{1}{40201} \right] \\[2pt] &= 40201-1 \\[2pt] &= 40200 \end{aligned}$$

Pembahasan