Soal dan Pembahasan - Bentuk Kuadratik

Diperbarui 27 Agustus 2022 — 6 Soal

Bentuk kuadratik merupakan polinomial yang setiap sukunya mempunyai jumlah derajat 2. Sebagai contoh, polinomial $x_1^2+3x_2^2-2x_1x_2$ merupakan bentuk kuadratik karena setiap sukunya mempunyai jumlah derajat 2. Sedangkan $2x_1^2-4x_2^2+3x_1$ bukan bentuk kuadratik karena terdapat suku dengan jumlah derajat bukan 2, yaitu $3x_1$.

Definisi Bentuk Kuadratik

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, bentuk kuadratik merupakan polinomial yang setiap sukunya mempunyai jumlah derajat 2. Secara umum, bentuk kuadratik pada $\mathbb R^2$ mempunyai bentuk $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_1x_2+a_4x_2x_1$$ Untuk menghindari duplikasi, suku $a_3x_1x_2$ dan $a_4x_2x_1$ dapat dijumlahkan sehingga diperoleh $(a_3+a_4)x_1x_2$. Atau agar lebih sederhana, suku ini kita nyatakan sebagai $2a_3x_1x_2$. Sehingga bentuk kuadratik pada $\mathbb R^2$ mempunyai bentuk $$Q=a_1x_1^2+a_2x_2^2+2a_3x_1x_2$$

Dengan cara serupa, bentuk kuadratik pada $\mathbb R^3$ mempunyai bentuk $$Q=a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2+2a_4x_1x_2+2a_5x_1x_3+2a_6x_2x_3$$ Suku-suku yang tidak memuat kuadrat dari suatu variabel, dengan kata lain suku yang berbentuk $a_kx_ix_j$ dengan $i \neq j$ disebut suku hasil kali silang.

Pengenalan Notasi Matriks

Bentuk kuadratik pada $\mathbb R^2$ dapat dinyatakan sebagai $$Q=a_1x_1^2+a_2x_2^2+2a_3x_1x_2$$ Jika bilangan $a$ tidak dibedakan dengan matriks $[a]$, maka bentuk di atas dapat dinyatakan sebagai $$Q=\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1&a_3\\a_3&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\textbf{x}^TA\textbf{x}$$

Pada bentuk di atas, $\textbf{x}$ menyatakan matriks kolom yang memuat variabel-variabel dari $Q$ dan $A$ suatu matriks simetri. Matriks $\textbf{x}^TA\textbf{x}$ disebut notasi matriks dari bentuk kuadratik $Q$.

Dengan cara serupa, notasi matriks dari bentuk kuadratik pada $\mathbb{R}^3$ yaitu $$Q=a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2+2a_4x_1x_2+2a_5x_1x_3+2a_6x_2x_3$$ adalah $$\begin{aligned} Q &= \textbf{x}^TA\textbf{x} \\ &= \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1&a_4&a_5\\a_4&a_2&a_6\\a_5&a_6&a_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ merupakan koefisien dari suku yang memuat kuadrat dari suatu variabel, sedangkan entri lainnya merupakan setengah dari koefisien suku hasil kali silang. Hal ini dapat memudahkan kita dalam menentukan notasi matriks dari suatu bentuk kuadratik.

Menyatakan Bentuk Kuadratik dalam Notasi Matriks

Bentuk Kuadratik pada $\mathbb R^2$

Sebagai contoh, kita akan mengubah bentuk kuadratik pada $\mathbb{R}^2$ berikut ke dalam notasi matriks.. $$Q=\textcolor{red}{2}x_1^2\textcolor{red}{-4}x_2^2+6x_1x_2$$

Entri-entri dari matriks $\textbf{x}$ merupakan variabel-variabel pada $Q$, yaitu $x_1$ dan $x_2$. Untuk matriks $A$, kita mulai dengan menuliskan koefisien suku-suku yang memuat $x_1^2$ dan $x_2^2$ sebagai entri pada diagonal utama. Sehingga $$A=\begin{bmatrix} \textcolor{red}{2}&\ldots\\\ldots&\textcolor{red}{-4} \end{bmatrix}$$

Suku hasil kali silang pada $Q$ adalah $6\textcolor{blue}{x_1}\textcolor{green}{x_2}$, sehingga entri pada baris $\textcolor{blue}{1}$ kolom $\textcolor{green}{2}$ adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $6/2=3$. Karena $A$ matriks simetri, maka entri pada baris $2$ kolom $1$ juga $3$, sehingga $$A=\begin{bmatrix} \textcolor{red}{2}&3\\3&\textcolor{red}{-4} \end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriks dari $Q$ adalah $$Q = \begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&3\\3&-4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$$

Bentuk Kuadratik pada $\mathbb R^3$

Berikutnya, kita akan membahas cara mengubah bentuk kuadratik pada $\mathbb R^3$ ke dalam notasi matriks. Perhatikan bentuk kuadratik berikut. $$Q=-3x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+4x_1x_2-8x_1x_3+6x_2x_3$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$, adalah koefisien dari suku yang memuat kuadrat variabel sehingga $$A=\begin{bmatrix} -3&\ldots&\ldots \\ \ldots&5&\ldots \\ \ldots&\ldots&2 \end{bmatrix}$$

Perhatikan suku hasil kali silang satu per satu. Kita mulai dari $4\textcolor{blue}{x_1}\textcolor{green}{x_2}$. Entri pada baris $\textcolor{blue}{1}$ kolom $\textcolor{green}{2}$ adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $4/2=2$. Begitupun dengan entri pada baris $2$ kolom $1$. $$A=\begin{bmatrix} -3&2&\ldots \\ 2&5&\ldots \\ \ldots&\ldots&2 \end{bmatrix}$$

Berikutnya, perhatikan suku hasil kali silang $-8\textcolor{blue}{x_1}\textcolor{green}{x_3}$. Entri pada baris $\textcolor{blue}{1}$ kolom $\textcolor{green}{3}$ adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $-8/2=-4$ sehingga $$A=\begin{bmatrix} -3&2&-4 \\ 2&5&\ldots \\ -4&\ldots&2 \end{bmatrix}$$

Terakhir, perhatikan suku hasil kali silang $6\textcolor{blue}{x_2}\textcolor{green}{x_3}$. Entri pada baris $\textcolor{blue}{2}$ kolom $\textcolor{green}{3}$ adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $6/2=3$ sehingga $$A=\begin{bmatrix} -3&2&-4 \\ 2&5&3 \\ -4&3&2 \end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriks dari $Q$ adalah $$Q = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-3&2&-4\\2&5&3\\-4&3&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$$

Pembahasan Soal Bentuk Kuadratik

Berikut ini kami sajikan soal-soal untuk materi bentuk kuadratik yang disertai pembahasan.

✶ Nomor 1

Nyatakan bentuk kuadratik berikut dalam notasi matriks. $$3x_1^2+7x_2^2$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ adalah koefisien dari suku-suku yang memuat kuadrat variabel, sehingga $$A=\begin{bmatrix}3&\ldots\\\ldots&7\end{bmatrix}$$

Karena bentuk kuadratik dalam soal tidak mempunyai suku hasil kali silang, maka entri-entri lain pada matriks $A$ bernilai nol. $$A=\begin{bmatrix}3&0\\0&7\end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriks dari bentuk kuadratik $3x_1^2+7x_2^2$ adalah $$\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&0\\0&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 2

Nyatakan bentuk kuadratik berikut dalam notasi matriks. $$4x_1^2-9x_2^2-6x_1x_2$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ adalah koefisien dari suku-suku yang memuat kuadrat variabel, sehingga $$A=\begin{bmatrix}4&\ldots\\\ldots&-9\end{bmatrix}$$

Suku hasil silangnya adalah $-6x_1x_2$, sehingga entri pada pada baris satu kolom dua adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $-6/2=-3$. Karena $A$ matriks simetri, maka entri pada baris dua kolom satu juga $-3$, sehingga $$A=\begin{bmatrix}4&-3\\-3&-9\end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriks dari bentuk kuadratik $4x_1^2-9x_2^2-6x_1x_2$ adalah $$\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}4&-3\\-3&-9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 3

Nyatakan bentuk kuadratik berikut dalam notasi matriks. $$5x_1^2+5x_1x_2$$

Bentuk kuadratik dalam soal dapat dinyatakan sebagai $$5x_1^2+0x_2^2+5x_1x_2$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ adalah koefisien dari suku-suku yang memuat kuadrat variabel, sehingga $$A=\begin{bmatrix}5&\ldots\\\ldots&0\end{bmatrix}$$

Suku hasil silangnya adalah $5x_1x_2$, sehingga entri pada pada baris satu kolom dua adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $5/2$. Karena $A$ matriks simetri, maka entri pada baris dua kolom satu juga $5/2$, sehingga $$A=\begin{bmatrix}5&5/2\\5/2&0\end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriks dari bentuk kuadratik $5x_1^2+5x_1x_2$ adalah $$\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5&5/2\\5/2&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 4

Nyatakan bentuk kuadratik berikut dalam notasi matriks. $$-8x_1x_2$$

Bentuk kuadratik dalam soal dapat dinyatakan sebagai $$0x_1^2+0x_2^2-8x_1x_2$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ adalah koefisien dari suku-suku yang memuat kuadrat variabel, sehingga $$A=\begin{bmatrix}0&\ldots\\\ldots&0\end{bmatrix}$$

Suku hasil silangnya adalah $-8x_1x_2$, sehingga entri pada pada baris satu kolom dua adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $-8/2=-4$. Karena $A$ matriks simetri, maka entri pada baris dua kolom satu juga $-4$, sehingga $$A=\begin{bmatrix}0&-4\\-4&0\end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriks dari bentuk kuadratik $-8x_1x_2$ adalah $$\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&-4\\-4&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 5

Nyatakan bentuk kuadratik berikut dalam notasi matriks. $$9x_1^2-x_2^2+4x_3^2+6x_1x_2-8x_1x_3+2x_2x_3$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ adalah koefisien dari suku-suku yang memuat kuadrat variabel, sehingga $$A=\begin{bmatrix}6&\ldots&\ldots\\\ldots&-1&\ldots\\\ldots&\ldots&4\end{bmatrix}$$

Perhatikan suku hasil kali silang $6x_1x_2$. Entri pada pada baris satu kolom dua adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $6/2=3$. Karena $A$ matriks simetri, maka entri pada baris dua kolom satu juga $3$, sehingga $$A=\begin{bmatrix}6&3&\ldots\\3&-1&\ldots\\\ldots&\ldots&4\end{bmatrix}$$

Ulangi cara di atas untuk suku hasil kali silang lainnya. Sehingga diperoleh $$A=\begin{bmatrix}6&3&-4\\3&-1&1\\-4&1&4\end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriksnya adalah $$\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}6&3&-4\\3&-1&1\\-4&1&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$$

Pembahasan
✶ Nomor 6

Nyatakan bentuk kuadratik berikut dalam notasi matriks. $$x_1^2+x_2^2-3x_3^2+3x_1x_2+8x_2x_3$$

Bentuk kuadratik dalam soal dapat dinyatakan sebagai $$x_1^2+x_2^2-3x_3^2+3x_1x_2+0x_1x_3+8x_2x_3$$

Entri-entri pada diagonal utama matriks $A$ adalah koefisien dari suku-suku yang memuat kuadrat variabel, sehingga $$A=\begin{bmatrix}1&\ldots&\ldots\\\ldots&1&\ldots\\\ldots&\ldots&-3\end{bmatrix}$$

Perhatikan suku hasil kali silang $3x_1x_2$. Entri pada pada baris satu kolom dua adalah setengah dari koefisiennya, yaitu $3/2$. Karena $A$ matriks simetri, maka entri pada baris dua kolom satu juga $3/2$, sehingga $$A=\begin{bmatrix}1&3/2&\ldots\\3/2&1&\ldots\\\ldots&\ldots&-3\end{bmatrix}$$

Ulangi cara di atas untuk suku hasil kali silang lainnya. Sehingga diperoleh $$A=\begin{bmatrix}1&3/2&0\\3/2&1&4\\0&4&-3\end{bmatrix}$$

Dengan demikian, notasi matriksnya adalah $$\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&3/2&0\\3/2&1&4\\0&4&-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$$

Pembahasan