Soal dan Pembahasan - Barisan Geometri
Barisan merupakan sebuah fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. Atau secara sederhana, barisan dapat dipandang sebagai kumpulan bilangan yang ditulis dalam urutan tertentu. Di antara barisan-barisan yang mungkin dibuat, ada yang mempunyai hasil bagi tetap antara dua suku berurutan. Barisan inilah yang disebut Barisan Geometri.
Sebelum membahas lebih jauh tentang barisan geometri, mari perhatikan daftar isi berikut.
Apa itu Barisan Geometri?
Definisi
Diberikan sebuah barisan $$U_1, U_2,U_3,U_4,\ldots$$
Jika hasil bagi antara dua suku berurutan bernilai tetap, yaitu $$\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \ldots = \frac{U_n}{U_{n-1}}$$
maka barisan tersebut dinamakan Barisan Geometri.
Suku pertama dari barisan tersebut dilambangkan dengan $a$ dan hasil bagi tetap antara dua suku berurutan (disebut rasio) dilambangkan $r$.
Sebagai contoh, perhatikan barisan berikut. $$3,6,12,24,\ldots$$ Hasil bagi antara dua suku berurutan adalah $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{6}{3}=\textcolor{blue}{2} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{12}{6}=\textcolor{blue}{2} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{24}{12}=\textcolor{blue}{2} \\ &\:\:\vdots&& \end{aligned}$$
Karena hasil baginya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan suku pertama $3$ dan rasio $2$.
Suku ke-n Barisan Geometri
Berikut adalah rumus yang digunakan dalam menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri.
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Suku ke-n dari barisan geometri yang mempunyai suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah $$U_n = ar^{n-1}$$
Sebagai contoh, perhatikan barisan geometri berikut. $$5,10,20,40,\ldots$$ Barisan ini mempunyai nilai $a=5$ dan $r=10/5=2$. Dengan mensubstitusi nilai $a$, $r$, dan $n$ pada rumus suku ke-n, kita bisa menentukan suku ke-n dari barisan tersebut. Suku ke-$7$ dari barisan tersebut adalah $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{n}} &= \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{r}^{\textcolor{green}{n}-1} \\ U_{\textcolor{green}{7}} &= \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{green}{7}-1} \\ &= 5 \cdot 2^6 \\ &= 5 \cdot 64 \\ &= 320 \end{aligned}$$
Soal dan Pembahasan
Suku ke-n dari suatu barisan geometri dinyatakan oleh $$U_n=3^n$$
Tentukan tiga suku pertama dan rasio dari barisan tersebut.
Untuk menentukan suku pertama, kedua, dan ketiga dari barisan tersebut, kita cukup mensubstitusi nilai $n=1$, $n=2$, dan $n=3$ pada rumus suku ke-n barisan tersebut, yaitu $$U_\textcolor{blue}{n}=3^{\textcolor{blue}{n}}$$
Untuk $\textcolor{blue}{n=1}$, diperoleh $$U_\textcolor{blue}{1} = 3^{\textcolor{blue}{1}} = 3$$
Untuk $\textcolor{blue}{n=2}$, diperoleh $$U_\textcolor{blue}{2} = 3^{\textcolor{blue}{2}} = 9$$
Untuk $\textcolor{blue}{n=3}$, diperoleh $$U_\textcolor{blue}{3} = 3^{\textcolor{blue}{3}} = 27$$
Jadi, tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah $3$, $9$, dan $27$, dengan rasio $$r=\frac{U_2}{U_1} = \frac{9}{3} = 3$$
Suku ke-n dari suatu barisan geometri dinyatakan oleh $$U_n=7 \cdot 2^{n-1}$$
Tentukan tiga suku pertama dan rasio dari barisan tersebut.
Untuk menentukan suku pertama, kedua, dan ketiga dari barisan tersebut, kita cukup mensubstitusi nilai $n=1$, $n=2$, dan $n=3$ pada rumus suku ke-n barisan tersebut, yaitu $$U_\textcolor{blue}{n}=7 \cdot 2^{\textcolor{blue}{n}-1}$$
Untuk $\textcolor{blue}{n=1}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{1} &= 7 \cdot 2^{\textcolor{blue}{1}-1} \\ &= 7 \cdot 2^0 \\ &= 7 \cdot 1 \\ &= 7 \end{aligned}$$
Untuk $\textcolor{blue}{n=2}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{2} &= 7 \cdot 2^{\textcolor{blue}{2}-1} \\ &= 7 \cdot 2^1 \\ &= 7 \cdot 2 \\ &= 14 \end{aligned}$$
Untuk $\textcolor{blue}{n=3}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{3} &= 7 \cdot 2^{\textcolor{blue}{3}-1} \\ &= 7 \cdot 2^2 \\ &= 7 \cdot 4 \\ &= 28 \end{aligned}$$
Jadi, tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah $7$, $14$, dan $28$, dengan rasio $$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{14}{7} = 2$$
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$3,6,12,24,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{12}{6} = 2 \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{24}{12} = 2 \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$16,48,96,192,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{48}{16} = 3 \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{96}{48} = \textcolor{red}{2} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{192}{96} = \textcolor{red}{2} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan tidak selalu sama, maka barisan tersebut bukan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$2,-8,32,-128,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{-8}{2} = -4 \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{32}{-8} = -4 \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{-128}{32} = -4 \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$3072,1536,768,384,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{1536}{3072} = \frac{1}{2} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{768}{1536} = \frac{1}{2} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{384}{768} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$324,108,36,18,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{108}{324} = \frac{1}{3} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{36}{108} = \frac{1}{3} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{18}{36} = \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan tidak selalu sama, maka barisan tersebut bukan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$432,-144,48,-16,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{-144}{432} = -\frac{1}{3} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{48}{-144} = -\frac{1}{3} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{-16}{48} = -\frac{1}{3} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$4,2,1,\frac{1}{2},\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{1/4}{1/3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1} = \textcolor{red}{\frac{3}{4}} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{1/5}{1/4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{1} = \textcolor{red}{\frac{4}{5}} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan tidak selalu sama, maka barisan tersebut bukan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$e^2,e^4,e^6,e^8,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{e^4}{e^2} = e^{4-2} = e^2 \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{e^6}{e^4} = e^{6-4} = e^2 \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{e^8}{e^6} = e^{8-6} = e^2 \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$1.0,1.1,1.21,1.331,\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{1.1}{1.0} = 1.1 \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{1.21}{1.1} = 1.1 \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{1.331}{1.21} = 1.1 \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan geometri. $$1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},\ldots$$
Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memperhatikan rasio antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \\ \frac{U_3}{U_2} &= \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \\ \frac{U_4}{U_3} &= \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \end{aligned}$$
Karena rasio dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $1$ dan rasio $2$. Tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut.
Diketahui $\textcolor{red}{a=1}$ dan $\textcolor{blue}{r=2}$. Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{red}{a} \, \textcolor{blue}{r}^{\textcolor{green}{n}-1}$$
diperoleh $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{9}} &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{green}{9}-1} \\ &= 1 \cdot 2^8 \\ &= 2^8 \\ &= 256 \end{aligned}$$
Jadi, suku ke-9 dari barisan tersebut adalah $256$.
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $2$ dan rasio $-3$. Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut.
Diketahui $\textcolor{red}{a=2}$ dan $\textcolor{blue}{r=-3}$. Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{red}{a} \, \textcolor{blue}{r}^{\textcolor{green}{n}-1}$$
diperoleh $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{7}} &= \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{(-3)}^{\textcolor{green}{7}-1} \\ &= 2 \cdot (-3)^6 \\ &= 2 \cdot 729 \\ &= 1458 \end{aligned}$$
Jadi, suku ke-7 dari barisan tersebut adalah $1458$.
Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri berikut. $$3,6,12,24,\ldots$$
Barisan tersebut mempunyai nilai $\textcolor{red}{a=3}$ dan rasio $$\textcolor{blue}{r}=\frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{3} = \textcolor{blue}{2}$$
Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{red}{a} \, \textcolor{blue}{r}^{\textcolor{green}{n}-1}$$
diperoleh $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{8}} &= \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{green}{8}-1} \\ &= 3 \cdot 2^7 \\ &= 3 \cdot 128 \\ &= 384 \end{aligned}$$
Jadi, suku ke-8 dari barisan tersebut adalah $284$.
Tentukan suku ke-9 dari barisan geometri berikut. $$\frac{1}{27},\frac{1}{9},\frac{1}{3},1,\ldots$$
Barisan tersebut mempunyai nilai $\textcolor{red}{a=1/27}$ dan rasio $$\textcolor{blue}{r}=\frac{U_2}{U_1} = \frac{1/9}{1/27} = \frac{1}{9} \cdot \frac{27}{1} = \textcolor{blue}{3}$$
Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{red}{a} \, \textcolor{blue}{r}^{\textcolor{green}{n}-1}$$
diperoleh $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{9}} &= \textcolor{red}{\frac{1}{27}} \cdot \textcolor{blue}{3}^{\textcolor{green}{9}-1} \\ &= \frac{1}{3^3} \cdot 3^8 \\ &= 3^{8-3} \\ &= 3^5 \\ &= 243 \end{aligned}$$
Jadi, suku ke-9 dari barisan tersebut adalah $243$.
Tentukan suku ke-11 dari barisan geometri berikut. $$1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},\ldots$$
Barisan tersebut mempunyai nilai $\textcolor{red}{a=1}$ dan rasio $$\textcolor{blue}{r}=\frac{U_2}{U_1} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}$$
Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{red}{a} \, \textcolor{blue}{r}^{\textcolor{green}{n}-1}$$
diperoleh $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{11}} &= \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{\sqrt{2}})^{\textcolor{green}{11}-1} \\ &= 1 \cdot (\sqrt{2})^{10} \\ &= (\sqrt{2})^{10} \\ &= 2^5 \\ &= 32 \end{aligned}$$
Jadi, suku ke-11 dari barisan tersebut adalah $32$.
Suku ke-7 dari suatu barisan geometri adalah 3645. Jika rasio barisan tersebut adalah 3, maka tentukan suku pertamanya.
Berdasarkan rumus suku ke-n, diperoleh $$\begin{aligned} U_7 &= a \cdot r^{7-1} \\ \textcolor{red}{U_7} &= a \cdot \textcolor{blue}{r}^6 \end{aligned}$$
Karena $\textcolor{red}{U_7=3645}$ dan $\textcolor{blue}{r=3}$, maka $$\begin{aligned} \textcolor{red}{3645} &= a \cdot \textcolor{blue}{3}^6 \\ 3645 &= a \cdot 729 \\ a &= \frac{3645}{729} \\ a &= 5 \end{aligned}$$
Jadi, suku pertama dari barisan tersebut adalah $5$.
Suku ke-6 dari suatu barisan geometri adalah 3072. Jika suku pertama barisan tersebut adalah 3, maka tentukan rasionya.
Berdasarkan rumus suku ke-n, diperoleh $$\begin{aligned} U_6 &= a \cdot r^{6-1} \\ \textcolor{red}{U_6} &= \textcolor{blue}{3} \cdot r^5 \end{aligned}$$
Karena $\textcolor{red}{U_6=3072}$ dan $\textcolor{blue}{a=3}$, maka $$\begin{aligned} \textcolor{red}{3072} &= \textcolor{blue}{3} \cdot r^5 \\ r^5 &= \frac{3072}{3} \\ r^5 &= 1024 \\ r &= \sqrt[5]{1024} \\ r &= 4 \end{aligned}$$
Jadi, rasio dari barisan tersebut adalah $4$.
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ketujuh 125 dan suku kesepuluh 15625. Tentukan rasio barisan tersebut.
Berdasarkan rumus suku ke-n, diperoleh $$\textcolor{red}{U_{10} = ar^9} \quad \text{dan} \quad \textcolor{blue}{U_7 = ar^6}$$
Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \frac{\textcolor{red}{U_{10}}}{\textcolor{blue}{U_7}} &= \frac{\textcolor{red}{ar^9}}{\textcolor{blue}{ar^6}} \\ \frac{15625}{125} &= r^3 \\ 125 &= r^3 \\ r &= \sqrt[3]{125} \\ r &= 5 \end{aligned}$$
Jadi, rasio dari barisan tersebut adalah $5$.