Soal dan Pembahasan - Barisan Aritmatika

Diperbarui 2 Februari 2022 — 19 Soal

Barisan merupakan sebuah fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. Atau secara sederhana, barisan dapat dipandang sebagai kumpulan bilangan yang ditulis dalam urutan tertentu. Di antara barisan-barisan yang mungkin dibuat, ada yang mempunyai selisih tetap antara dua suku berurutan. Barisan inilah yang disebut Barisan Aritmatika.

Sebelum membahas lebih jauh tentang barisan aritmatika, mari perhatikan daftar isi berikut.

Apa itu Barisan Aritmatika?

Definisi

Diberikan sebuah barisan $$U_1, U_2,U_3,U_4,\ldots$$

Jika selisih antara dua suku berurutan bernilai tetap, yaitu $$U_2-U_1 = U_3-U_2=\ldots=U_n-U_{n-1}$$

maka barisan tersebut dinamakan Barisan Aritmatika.

Suku pertama dari barisan tersebut dilambangkan dengan $a$ dan selisih tetap antara dua suku berurutan (disebut beda) dilambangkan $b$.

Sebagai contoh, perhatikan barisan berikut. $$1,3,5,7,\ldots$$ Selisih antara dua suku berurutan adalah $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 3-1=\textcolor{blue}{2} \\ U_3-U_2 &= 5-3=\textcolor{blue}{2} \\ U_4-U_3 &= 7-5=\textcolor{blue}{2} \\ &\:\:\vdots&& \end{aligned}$$

Suku-suku berurutan dari barisan tersebut memiliki selisih yang tetap, yaitu $\textcolor{blue}{2}$. Akibatnya, barisan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan beda $2$. Barisan konstan, seperti $$3,3,3,3,\ldots$$ juga termasuk barisan aritmatika, karena selisih antara dua suku berurutan memiliki nilai tetap. Barisan ini mempunyai nilai $a=3$ dan $b=3-3=0$.

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Berikut adalah rumus yang digunakan dalam menentukan suku ke-n dari suatu barisan aritmatika.

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n dari barisan aritmatika yang mempunyai suku pertama $a$ dan beda $b$ adalah $$U_n = a+(n-1)b$$

Sebagai contoh, perhatikan barisan aritmatika berikut. $$4,6,8,10,\ldots$$ Barisan ini mempunyai nilai $a=4$ dan $b=6-4=2$. Dengan mensubstitusi nilai $a$, $b$, dan $n$ pada rumus suku ke-n, kita bisa menentukan suku ke-n dari barisan tersebut. Suku ke-$11$ dari barisan tersebut adalah $$\begin{aligned} U_{\textcolor{green}{n}} &= \textcolor{red}{a} + (\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b} \\ U_{\textcolor{green}{11}} &= \textcolor{red}{4} + (\textcolor{green}{11}-1)\textcolor{blue}{2} \\ &= 4 + 10 \cdot 2 \\ &= 4 + 20 \\ &= 24 \end{aligned}$$

Soal dan Pembahasan

✶ Nomor 1

Suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dinyatakan oleh $$U_n=7+3(n-1)$$

Tentukan tiga suku pertama dan beda dari barisan tersebut.

Untuk menentukan suku pertama, kedua, dan ketiga dari barisan tersebut, kita cukup mensubstitusi nilai $n=1$, $n=2$, dan $n=3$ pada rumus suku ke-n barisan tersebut, yaitu $$U_\textcolor{blue}{n}=7+3(\textcolor{blue}{n}-1)$$

Untuk $\textcolor{blue}{n=1}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{1} &= 7+3(\textcolor{blue}{1}-1) \\ &= 7 + 3 \cdot 0 \\ &= 7 + 0 \\ &= 7 \end{aligned}$$

Untuk $\textcolor{blue}{n=2}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{2} &= 7+3(\textcolor{blue}{2}-1) \\ &= 7 + 3 \cdot 1 \\ &= 7 + 3 \\ &= 10 \end{aligned}$$

Untuk $\textcolor{blue}{n=3}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{3} &= 7+3(\textcolor{blue}{3}-1) \\ &= 7 + 3 \cdot 2 \\ &= 7 + 6 \\ &= 13 \end{aligned}$$

Jadi, tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah $7$, $10$, dan $13$, dengan beda $$b=U_2-U_1 = 10-7=3$$

Pembahasan
✶ Nomor 2

Suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dinyatakan oleh $$U_n=\frac{1}{2}(n-1)$$

Tentukan tiga suku pertama dan beda dari barisan tersebut.

Untuk menentukan suku pertama, kedua, dan ketiga dari barisan tersebut, kita cukup mensubstitusi nilai $n=1$, $n=2$, dan $n=3$ pada rumus suku ke-n barisan tersebut, yaitu $$U_\textcolor{blue}{n}=\frac{1}{2}(\textcolor{blue}{n}-1)$$

Untuk $\textcolor{blue}{n=1}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{1} &= \frac{1}{2}(\textcolor{blue}{1}-1) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$

Untuk $\textcolor{blue}{n=2}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{2} &= \frac{1}{2}(\textcolor{blue}{2}-1) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 1 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

Untuk $\textcolor{blue}{n=3}$, diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{blue}{3} &= \frac{1}{2}(\textcolor{blue}{3}-1) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \\ &= 1 \end{aligned}$$

Jadi, tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah $0$, $\frac{1}{2}$, dan $1$, dengan beda $$b=U_2-U_1 = \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$$

Pembahasan
✶ Nomor 3

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$11,17,23,29,\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 17-11 = 6 \\ U_3-U_2 &= 23-17 = 6 \\ U_4-U_3 &= 29-23 = 6 \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 4

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$16,9,2,-4,\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 9-16 = -7 \\ U_3-U_2 &= 2-9 = -7 \\ U_4-U_3 &= -4-2 = \textcolor{red}{-6} \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan tidak selalu sama, maka barisan tersebut bukan merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 5

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$-31,-19,-7,5,\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= -19-(-31) = 12 \\ U_3-U_2 &= -7-(-19) = 12 \\ U_4-U_3 &= 5-(-7) = 12 \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 6

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$100,68,36,4,\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 68-100 = -32 \\ U_3-U_2 &= 36-68 = -32 \\ U_4-U_3 &= 4-36 = -32 \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 7

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$2,4,8,16,\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 4-2 = 2 \\ U_3-U_2 &= 8-4 = \textcolor{red}{4} \\ U_4-U_3 &= 16-8 = \textcolor{red}{8} \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan tidak selalu sama, maka barisan tersebut bukan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 8

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$3,\frac{3}{2},0,-\frac{3}{2},\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= \frac{3}{2}-3 = -\frac{3}{2} \\ U_3-U_2 &= 0-\frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \\ U_4-U_3 &= -\frac{3}{2}-0 = -\frac{3}{2} \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 9

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$2.6,4.3,6.0,7.7,\ldots$$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 4.3-2.6 = 1.7 \\ U_3-U_2 &= 6.0-4.3 = 1.7 \\ U_4-U_3 &= 7.7-6.0 = 1.7 \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 10

Periksa apakah barisan berikut merupakan barisan aritmatika. $$\ln 2,\ln 4,\ln 8, \ln 16,\ldots$$

Suku-suku barisan tersebut dapat dituliskan sebagai $$\ln 2,\ln 2^2,\ln 2^3, \ln 2^4,\ldots$$ Berdasarkan sifat logaritma $\textcolor{blue}{\ln a^n = n \: \ln a}$, diperoleh $$\ln 2, 2 \: \ln 2, 3 \: \ln 2, 4 \: \ln 2, \ldots $$

Untuk memeriksa apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, kita perlu memperhatikan selisih antara dua suku berurutan. $$\begin{aligned} U_2-U_1 &= 2 \: \ln 2-\ln 2 = \ln 2 \\ U_3-U_2 &= 3 \: \ln 2-2 \: \ln 2 = \ln 2 \\ U_4-U_3 &= 4 \: \ln 2-3 \: \ln 2 = \ln 2 \end{aligned}$$

Karena selisih dari dua suku berurutan selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Pembahasan
✶ Nomor 11

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $-5$ dan beda $4$. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

Diketahui $\textcolor{red}{a=-5}$ dan $\textcolor{blue}{b=4}$. Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_\textcolor{green}{n} = \textcolor{red}{a}+(\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b}$$ diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{green}{10} &= \textcolor{red}{-5}+(\textcolor{green}{10}-1)\textcolor{blue}{4} \\ &= -5+9 \cdot 4 \\ &= -5 + 36 \\ &= 31 \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah $31$.

Pembahasan
✶ Nomor 12

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $14$ dan beda $\frac{3}{2}$. Tentukan suku ke-21 dari barisan tersebut.

Diketahui $\textcolor{red}{a=14}$ dan $\textcolor{blue}{b=\frac{3}{2}}$. Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_\textcolor{green}{n} = \textcolor{red}{a}+(\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b}$$ diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{green}{21} &= \textcolor{red}{14}+(\textcolor{green}{21}-1) \cdot \textcolor{blue}{\frac{3}{2}} \\ &= 14+20 \cdot \frac{3}{2} \\ &= 14 + 30 \\ &= 44 \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-21 dari barisan tersebut adalah $44$.

Pembahasan
✶ Nomor 13

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $\sqrt{3}$ dan beda $\sqrt{3}$. Tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut.

Diketahui $\textcolor{red}{a=\sqrt{3}}$ dan $\textcolor{blue}{b=\sqrt{3}}$. Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_\textcolor{green}{n} = \textcolor{red}{a}+(\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b}$$ diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{green}{15} &= \textcolor{red}{\sqrt{3}}+(\textcolor{green}{15}-1)\textcolor{blue}{\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{3}+14\sqrt{3} \\ &= 15\sqrt{3} \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah $15\sqrt{3}$.

Pembahasan
✶ Nomor 14

Tentukan suku ke-17 dari barisan aritmatika berikut. $$4,9,14,19,\ldots$$

Barisan aritmatika tersebut mempunyai nilai $\textcolor{red}{a=4}$ dan $$\textcolor{blue}{b}=9-4=\textcolor{blue}{5}$$

Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_\textcolor{green}{n}=\textcolor{red}{a}+(\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b}$$ diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{green}{17} &= \textcolor{red}{4}+(\textcolor{green}{17}-1)\textcolor{blue}{5} \\ &= 4+16 \cdot 5 \\ &= 4+80\\ &= 84 \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-17 dari barisan tersebut adalah $84$.

Pembahasan
✶ Nomor 15

Tentukan suku ke-16 dari barisan aritmatika berikut. $$-1,11,23,35,\ldots$$

Barisan aritmatika tersebut mempunyai nilai $\textcolor{red}{a=-1}$ dan $$\textcolor{blue}{b}=23-11=\textcolor{blue}{12}$$

Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_\textcolor{green}{n}=\textcolor{red}{a}+(\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b}$$ diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{green}{16} &= \textcolor{red}{-1}+(\textcolor{green}{16}-1)\textcolor{blue}{12} \\ &= -1+15 \cdot 12 \\ &= -1+180\\ &= 179 \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-16 dari barisan tersebut adalah $179$.

Pembahasan
✶ Nomor 16

Tentukan suku ke-11 dari barisan aritmatika berikut. $$29,11,-7,-25,\ldots$$

Barisan aritmatika tersebut mempunyai nilai $\textcolor{red}{a=29}$ dan $$\textcolor{blue}{b}=11-29=\textcolor{blue}{-18}$$

Berdasarkan rumus suku ke-n, yaitu $$U_\textcolor{green}{n}=\textcolor{red}{a}+(\textcolor{green}{n}-1)\textcolor{blue}{b}$$ diperoleh $$\begin{aligned} U_\textcolor{green}{11} &= \textcolor{red}{29}+(\textcolor{green}{11}-1)(\textcolor{blue}{-18}) \\ &= 29+10 \cdot (-18) \\ &= 29-180\\ &= -151 \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-11 dari barisan tersebut adalah $-151$.

Pembahasan
✶ Nomor 17

Suku ke-50 dari suatu barisan aritmatika adalah $1000$. Jika beda barisan tersebut adalah $6$, maka tentukan suku pertamanya.

Berdasarkan rumus suku ke-n, diperoleh $$\begin{aligned} U_{50} &= a+(50-1)b \\ \textcolor{red}{U_{50}}&= a+49\textcolor{blue}{b} \end{aligned}$$

Karena $\textcolor{red}{U_{50}=1000}$ dan $\textcolor{blue}{b=6}$, maka $$\begin{aligned} \textcolor{red}{1000} &= a+49 \cdot \textcolor{blue}{6} \\ 1000 &= a+294 \\ a &= 1000-294 \\ a &= 706 \end{aligned}$$

Jadi, suku pertama dari barisan tersebut adalah $706$.

Pembahasan
✶ Nomor 18

Suku ke-41 dari suatu barisan aritmatika adalah $500$. Jika beda barisan tersebut adalah $12$, maka tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut.

Berdasarkan rumus suku ke-n, diperoleh $$\begin{aligned} U_{41} &= a+(41-1)b \\ \textcolor{red}{U_{41}}&= a+40\textcolor{blue}{b} \end{aligned}$$

Karena $\textcolor{red}{U_{41}=500}$ dan $\textcolor{blue}{b=12}$, maka $$\begin{aligned} \textcolor{red}{500} &= a+40 \cdot \textcolor{blue}{12} \\ 500 &= a+480 \\ a &= 500-480 \\ a &= 20 \end{aligned}$$

Nilai $a$ dan $b$ digunakan untuk mencari suku ke-11, yaitu $$\begin{aligned} U_{11} &= 20+(11-1) \cdot 12 \\ &= 20+10 \cdot 12 \\ &= 20+120 \\ &= 140 \end{aligned}$$

Jadi, suku ke-11 dari barisan tersebut adalah $140$.

Pembahasan
✶ Nomor 19

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku keenam 32 dan suku kesebelas 62. Tentukan beda dari barisan tersebut.

Berdasarkan rumus suku ke-n, diperoleh $$\begin{aligned} U_{11} &= a + 10b \\ U_6 &= a + 5b \end{aligned}$$

Karena $U_{11}=62$ dan $U_6=32$, maka diperoleh sistem persamaan $$\begin{cases} 62 = a+10b \\ 32 = a+5b \end{cases}$$

Kurangkan kedua persamaan, sehingga diperoleh $$30 = 5b \quad \Longrightarrow \quad b=\frac{30}{5}=6$$

Jadi, beda dari barisan tersebut adalah $6$.

Pembahasan