Ketunggalan Unsur Identitas pada Grup

Misalkan $G$ adalah sebuah himpunan tak kosong dan $*$ adalah sebuah operasi yang didefinisikan pada $G$. Salah satu syarat yang harus dipenuhi oleh $(G,*)$ agar menjadi sebuah grup adalah keberadaan unsur identitas. Suatu $e \in G$ disebut unsur identitas dari $(G,*)$, jika untuk setiap $a \in G$ berlaku $e*a=a$ dan $a*e=a$. Nah, apakah teman-teman tahu bahwa unsur identitas suatu grup bersifat tunggal? Inilah yang akan kita bahas dalam tulisan ini. Ohya, sebelum melihat pembahasan, dicoba dulu yah. Sedikit hint, kita akan menggunakan pembuktian dengan kontradiksi.

Problem

Misalkan $(G,*)$ adalah sebuah grup. Buktikan bahwa unsur identitas dari $G$ bersifat tunggal.

Solusi

Misalkan $(G,*)$ adalah sebuah grup dengan unsur identitas $e$. Andaikan unsur identitas dari $G$ tidak tunggal. Artinya, terdapat $f \in G$ dengan $e \neq f$ yang juga unsur identitas dari $G$.

Karena $e$ unsur identitas dan $f \in G$, maka $e*f=f$. Di lain pihak, $f$ unsur identitas dan $e \in G$ berakibat $e*f=e$. Kita peroleh $e*f=f$ dan $e*f=e$, sehingga $e=f$. Padahal pada awal pembahasan, kita asumsikan $e \neq f$. Terjadi kontradiksi. Dengan demikian, unsur identitas dari $G$ bersifat tunggal.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Tambah Komentar