Prinsip Sangkar Burung: Dua Titik Lattice dengan Titik Tengah Lattice

Problem

Sebuah titik $(a_1,a_2,\ldots,a_k) \in \mathbb{R}^k$ dikatakan sebuah titik lattice jika $a_i$ adalah bilangan bulat untuk semua $i=1,2,\ldots,k$. Perlihatkan bahwa setiap himpunan $L_k$ yang terdiri dari $2^k+1$ buah titik lattices, terdapat dua titik lattice $l_1,l_2 \in L_k$ sedemikian sehingga titik tengah dari $l_1$ dan $l_2$ adalah sebuah titik lattice.
[ON MIPA-PT Matematika 2014, Tingkat Wilayah]

Solusi

Misalkan $x=(a_1,a_2,\ldots,a_k)$ adalah sebarang titik lattice pada $\mathbb{R}^k$. Kita akan menghitung banyaknya komposisi, berdasarkan ganjil-genapnya komponen-komponen suatu titik. Komponen pertama ($a_1$) dapat bernilai ganjil atau genap, begitupun dengan $a_2,a_3, \ldots, a_k$. Berdasarkan aturan perkalian, diperoleh banyaknya komposisi titik yang mungkin, yaitu $2^k$.

Misalkan $L_k$ adalah sebarang himpunan yang terdiri dari $2^k+1$ titik lattice. Karena terdapat $2^k$ komposisi yang mungkin, maka berdasarkan Prinsip Sangkar Burung, terdapat dua anggota $L_k$ yang memiliki komposisi sama. Misalkan kedua anggota tersebut adalah $l_1$ dan $l_2$, dengan $l_1=(u_1,u_2,\ldots,u_k)$ dan $l_2=(v_1,v_2,\ldots,v_k)$, untuk suatu bilangan bulat $u_1,u_2,\ldots,u_k,v_1,v_2,\ldots,v_k$.

Kita tahu bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap dan jumlah dua bilangan genap adalah genap. Karena $l_1$ dan $l_2$ memiliki komposisi sama, maka untuk $i=1,2,\ldots,k$ berlaku $u_i+v_i$ adalah bilangan genap. Kita misalkan $u_i+v_i=2w_i$, untuk suatu bilangan bulat $w_i$.

Titik tengah dari $l_1$ dan $l_2$ adalah $$\begin{aligned} \left( \frac{u_1+v_1}{2},\frac{u_2+v_2}{2}, \ldots, \frac{u_k+v_k}{2} \right) &= \left( \frac{2w_1}{2},\frac{2w_2}{2}, \ldots, \frac{2w_k}{2} \right) \\ &= \left( w_1,w_2,\ldots,w_k \right) \end{aligned}$$ Karena $w_1,w_2,\ldots,w_k$ adalah bilangan bulat, maka titik tengah dari $l_1$ dan $l_2$ adalah titik lattice. Terbukti.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Tambah Komentar