Prinsip Sangkar Burung: Dua Bilangan dengan Selisih Kelipatan 10

Problem

Diberikan sebelas buah bilangan bulat berbeda. Buktikan bahwa dua di antara bilangan-bilangan tersebut memiliki selisih yang merupakan kelipatan 10.
[ON MIPA-PT Matematika 2007, Tingkat Wilayah]

Solusi

Berikut adalah proposisi yang akan kita gunakan.

Proposisi 1

Misalkan $m \in \mathbb{N}$. Setiap bilangan bulat kongruen modulo $m$ dengan tepat satu anggota dari $\{ 0,1,\ldots,m-1 \}$

Proposisi 2

Misalkan $m \in \mathbb{N}$ dan $p,q,r,s \in \mathbb{Z}$. Jika $p \equiv q \pmod{m}$ dan $r \equiv s \pmod{m}$ maka $p-r \equiv q-s \pmod{m}$.

Kita bentuk himpunan $A_i$, untuk $i=0,1,\ldots,9$, dengan $A_i=\{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv i \pmod{10} \}$. Berdasarkan Proposisi 1, setiap bilangan bulat dapat kita kelompokkan ke tepat satu dari himpunan-himpunan ini.

Secara sederhana, kita mengelompokkan semua bilangan bulat dengan satuan $i$ ke dalam himpunan $A_i$.

Kita telah membentuk sepuluh himpunan. Berdasarkan Prinsip Sangkar Burung, jika diberikan sebelas bilangan bulat, maka terdapat dua bilangan yang berasal dari himpunan yang sama. Misalkan himpunan tersebut adalah $A_k$, untuk suatu $k \in \{0,1,\ldots,9\}$, dan kedua bilangan yang dimaksud adalah $a,b \in \mathbb{Z}$.

Sebagai anggota $A_k$, $a$ dan $b$ secara berturut-turut memenuhi $a \equiv k \pmod{10}$ dan $b \equiv k \pmod{10}$. Berdasarkan Proposisi 2 diperoleh, $a-b \equiv k-k \pmod{10}$ atau $a-b \equiv 0 \pmod{10}$. Artinya, $10 \mid a-b$. Jadi, terdapat dua bilangan dengan selisih merupakan kelipatan 10. Terbukti.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Tambah Komentar