Prinsip Sangkar Burung: Dua Bilangan dengan Jumlah atau Selisih Kelipatan 10

Problem

Perlihatkan bahwa untuk setiap himpunan yang terdiri dari 7 bilangan bulat berbeda, terdapat dua bilangan $x$ dan $y$ pada himpunan tersebut sedemikian sehingga $x+y$ atau $x-y$ adalah kelipatan 10.
[ON MIPA-PT Matematika 2016, Tingkat Wilayah]

Solusi

Berikut adalah proposisi yang akan kita gunakan.

Proposisi 1

Misalkan $m \in \mathbb{N}$. Setiap bilangan bulat kongruen modulo $m$ dengan tepat satu anggota dari $\{ 0,1,\ldots,m-1 \}$.

Proposisi 2

Misalkan $m \in \mathbb{N}$ dan $p,q,r,s \in \mathbb{Z}$. Jika $p \equiv q \pmod{m}$ dan $r \equiv s \pmod{m}$ maka
a) $p+r \equiv q+s \pmod{m}$, dan
b) $p-r \equiv q-s \pmod{m}$.

Berdasarkan Proposisi 1, setiap bilangan bulat kongruen modulo 10 dengan tepat satu dari $\{0,1,2,\ldots,9\}$. Karenanya, kita dapat melakukan partisi pada $\mathbb{Z}$ menjadi $A_0,A_1,\ldots,A_5$ dengan $$A_i = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv i \pmod{10} \text{ atau } x \equiv (10-i) \pmod{10} \}, \; \text{ untuk } i=0,1,\ldots,5$$

Secara sederhana, kita mengelompokkan bilangan bulat dengan satuan 0 ke $A_0$, satuan 1 dan 9 ke $A_1$, satuan 2 dan 8 ke $A_2$, satuan 3 dan 7 ke $A_3$, satuan 4 dan 6 ke $A_4$, serta satuan 5 ke $A_5$.

Kita telah membentuk 6 himpunan. Berdasarkan Prinsip Sangkar Burung, jika diberikan 7 bilangan bulat berbeda, maka terdapat dua bilangan yang berasal dari himpunan yang sama, sebut saja $A_k$ untuk suatu $k=0,1,\ldots,5$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah dua anggota yang dimaksud. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &x \in A_k \quad \Longrightarrow \quad x \equiv k \pmod{10} \text{ atau } x \equiv (10-k) \pmod{10} \\ &y \in A_k \quad \Longrightarrow \quad y \equiv k \pmod{10} \text{ atau } y \equiv (10-k) \pmod{10} \end{aligned}$$

Jika $x \equiv k \pmod{10}$ dan $y \equiv k \pmod{10}$, maka berdasarkan Proposisi 2b diperoleh $x-y \equiv 0 \pmod{10}$, sehingga $10 \mid x-y$. Artinya, $x-y$ adalah kelipatan 10. Hal yang sama terjadi jika $x \equiv (10-k) \pmod{10}$ dan $y \equiv (10-k) \pmod{10}$.

Jika $x \equiv k \pmod{10}$ dan $y \equiv (10-k) \pmod{10}$, maka berdasarkan Proposisi 2a diperoleh $x+y \equiv 10 \pmod{10}$ yang ekuivalen dengan $x+y \equiv 0 \pmod{10}$. Akibatnya, $10 \mid x+y$ yang berarti $x+y$ kelipatan 10. Hal yang sama terjadi jika $x \equiv (10-k) \pmod{10}$ dan $y \equiv k \pmod{10}$. Dengan demikian, $x+y$ atau $x-y$ adalah kelipatan 10. Terbukti.


Bagikan ke:
Click here if solved
Click here to save

Maaf, fitur ini hanya untuk pembaca yang telah terdaftar. Silakan Masuk atau buat akun terlebih dahulu.

Tambah Komentar